青岛版七年级数学上册《6.1单项式和多项式》学案

同学们，我们已经学习了用字母表示数，这为我们进入更广阔的代数世界打开了大门。今天，我们将学习代数式家族中的两位重要成员——单项式和多项式。它们是构建代数表达式的基础，掌握好它们，对我们后续学习方程、函数等知识至关重要。让我们一起探索它们的“真面目”吧！一、学习目标1.理解单项式、多项式及整式的概念，能准确识别单项式和多项式。2.掌握单项式的系数和次数的概念，并能熟练确定一个单项式的系数和次数。3.掌握多项式的项、常数项、次数的概念，能指出一个多项式是几次几项式。4.在探索概念的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，培养观察、分析和归纳能力。二、学习重点与难点*重点：单项式的概念，单项式的系数和次数；多项式的概念，多项式的项、次数。*难点：准确理解单项式的系数（包括符号）和次数；多项式次数的确定。三、学习过程（一）温故知新，引入新课在之前的学习中，我们接触过像`3x`、`-5y`、`a`、`4`、`x²`、`2ab`这样的式子，也见过`2x+3`、`a²-2b+1`这样的式子。这些式子有什么共同的特点？又有什么不同之处呢？今天我们就来给它们分分类，并深入研究它们。（二）新知探究（一）：单项式活动1：观察与发现请观察下列代数式，它们在组成形式上有什么共同特点？1.`3x`2.`-5y`3.`a`4.`4`5.`x²`6.`2ab`思考：这些式子是不是都是数与字母的乘积形式？有没有其他运算？（比如加减、除法）归纳总结：像上面这些代数式，都是由数与字母的乘积组成的，这样的代数式叫做单项式。特别地：*单独的一个数也是单项式，例如：`4`、`-7`等。*单独的一个字母也是单项式，例如：`a`、`b`、`x`等。小试牛刀：判断下列代数式是不是单项式：1.`5x`（）2.`a+b`（）3.`-6`（）4.`m/n`（）(提示：这是除法形式)5.`x+1`（）活动2：单项式的系数与次数单项式是数与字母的积，那么其中的数字因数和字母部分又有什么专门的名称呢？*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：*`3x`的系数是`3`；*`-5y`的系数是`-5`；（注意系数包括前面的符号！）*`a`可以看作`1·a`，所以它的系数是`1`；*`-b`可以看作`-1·b`，所以它的系数是`-1`；*`4`可以看作`4·1`（或`4·x⁰`，`x⁰=1`），所以它的系数是`4`。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：*`3x`中字母`x`的指数是`1`，所以它的次数是`1`，称为“一次单项式”；*`x²`中字母`x`的指数是`2`，所以它的次数是`2`，称为“二次单项式”；*`2ab`中字母`a`的指数是`1`，字母`b`的指数是`1`，指数和是`1+1=2`，所以它的次数是`2`，也是“二次单项式”；*`4`中没有字母，我们规定它的次数是`0`，称为“零次单项式”。例题解析：指出下列单项式的系数和次数：(1)`5a²b`解：系数是`5`；字母`a`的指数是`2`，字母`b`的指数是`1`，所以次数是`2+1=3`。(2)`-3/4x³y`解：系数是`-3/4`；字母`x`的指数是`3`，字母`y`的指数是`1`，所以次数是`3+1=4`。(3)`m`解：系数是`1`；字母`m`的指数是`1`，所以次数是`1`。巩固练习：写出下列单项式的系数和次数：1.`-2x²y³`系数：______，次数：______2.`πr²`（`π`是常数）系数：______，次数：______3.`-7`系数：______，次数：______（三）新知探究（二）：多项式活动3：观察与思考请观察下列代数式，它们与我们刚才学习的单项式有什么不同？又有什么联系？1.`2x+3`2.`a²-2b+1`3.`x³y-xy+5`思考：这些式子是不是由几个单项式通过什么运算连接而成的？归纳总结：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。例如：*多项式`2x+3`有两项，分别是`2x`和`3`，其中`3`是常数项。*多项式`a²-2b+1`有三项，分别是`a²`、`-2b`和`1`，其中`1`是常数项。（注意：项包括它前面的符号！）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。一个多项式含有几项，就叫几项式。例如：*多项式`2x+3`中，最高次项是`2x`，次数是`1`，所以这个多项式是一次二项式。*多项式`a²-2b+1`中，最高次项是`a²`，次数是`2`，所以这个多项式是二次三项式。*多项式`x³y-xy+5`中，`x³y`的次数是`3+1=4`，`-xy`的次数是`1+1=2`，`5`是常数项（次数0），最高次项是`x³y`，次数是`4`，所以这个多项式是四次三项式。例题解析：指出多项式`3x²y-4xy²+x³-5`的项、常数项、次数，并说明它是几次几项式。解：多项式的项有：`3x²y`、`-4xy²`、`x³`、`-5`；常数项是：`-5`；各项的次数依次为：`3`（2+1）、`3`（1+2）、`3`、`0`；最高次项的次数是`3`；所以这个多项式是三次四项式。巩固练习：1.多项式`-2a³b+3ab-1`有______项，分别是____________________，常数项是______，次数是______，它是______次______项式。2.请写出一个关于`x`的二次三项式：____________________。（四）概念辨析：整式思考：我们学了单项式和多项式，它们统称为整式。那么，什么样的代数式不是整式呢？（提示：回想一下我们判断是不是单项式时遇到的`m/n`）总结：整式包括单项式和多项式。分母中含有字母的代数式（分式）不是整式。例如`1/x`、`a/(b+1)`等都不是整式。（五）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.我知道了什么是单项式，以及单项式的______和______。2.我知道了什么是多项式，以及多项式的______、______和______。3.单项式和多项式统称为______。（六）拓展延伸1.若`(m-2)xⁿy`是关于`x`、`y`的一个四次单项式，且系数为`1`，则`m=______`，`n=______`。2.多项式`x|m|+(m-2)x+1`是关于`x`的二次三项式，求`m`的值。四、课后作业1