人教版八年级上、下册数学概念定义公式

数学是一门逻辑性强、概念严谨的学科。八年级的数学学习，在整个中学阶段承上启下，既是对七年级知识的深化，也为九年级的学习奠定基础。本文旨在系统梳理人教版八年级上、下册数学教材中的核心概念、定义及重要公式，希望能为同学们的学习提供一份清晰、实用的参考。八年级上册一、三角形1.1与三角形有关的线段*三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。*三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。*三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。*三角形的分类（按边）：*三边都相等的三角形叫做等边三角形。*有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。（等边三角形是特殊的等腰三角形）*三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。*三角形三边关系：三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边。*三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。*三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。*三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。1.2与三角形有关的角*三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。*直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。*三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*三角形外角的性质：*三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。*三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。1.3多边形及其内角和*多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。（注：本章所说的多边形均指凸多边形）*多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。*多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。*多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。*n边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°。*多边形的外角和：多边形的外角和等于360°。（与边数无关）二、全等三角形2.1全等三角形*全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。*全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。*对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。*全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。2.2三角形全等的判定*边边边（SSS）判定定理：三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。*边角边（SAS）判定定理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。*角边角（ASA）判定定理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。*角角边（AAS）判定定理：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。*斜边、直角边（HL）判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。三、轴对称3.1轴对称*轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。*两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。*轴对称的性质：*如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。*轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。3.2画轴对称图形*画轴对称图形的方法：找到图形的关键点，作出关键点关于对称轴的对称点，再按原图形的连接方式连接这些对称点。3.3等腰三角形*等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。*等腰三角形的性质：*等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。*等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。*等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。*等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。*等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。*等边三角形的判定：*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。*含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。四、整式的乘除与因式分解4.1整式的乘法*同底数幂的乘法：am·an=am+n(m，n都是正整数)。即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。*幂的乘方：(am)n=amn(m，n都是正整数)。即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。*积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)。即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。*平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。*完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。4.2整式的除法*同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)。即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。*规定：a0=1(a≠0)。即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。4.3因式分解*因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫做分解因式）。*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。*公式法：*利用平方差公式分解因式：a²-b²=(a+b)(a-b)。*利用完全平方公式分解因式：a²+2ab+b²=(a+b)²；a²-2ab+b²=(a-b)²。*十字相乘法（补充）：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。（注：教材中可能以“观察与思考”等形式出现，需掌握其基本原理和应用）五、分式5.1分式*分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。*分式有意义的条件：分母不等于0。*分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0。5.2分式的基本性质*分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。即：A/B=(A·C)/(B·C)，A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。*约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后分式的值不变。*最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。*通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。*最简公分母：为通分，要先确定各分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。5.3分式的运算*分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即：(a/b)·(c/d)=(ac)/(bd)。*分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。即：(a/b)÷(c/d)=(a/b)·(d/c)=(ad)/(bc)。*分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。即：(a/b)n=an/bn(n为正整数)。*分式的加减法法则：*同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。即：a/c±b/c=(a±b)/c。*异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。即：a/b±c/d=(ad)/(bd)±(bc)/(bd)=(ad±bc)/bd。*整数指数幂：*am·an=am+n(m，n都是整数)。*(am)n=amn(m，n都是整数)。*(ab)n=anbn(n是整数)。*am÷an=am-n(a≠0，m，n都是整数)。*(a/b)n=an/bn(n是整数，b≠0)。*a-n=1/an(a≠0，n是正整数)。5.4分式方程*分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。*解分式方程的步骤：1.去分母：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.验根：把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的根是原分式方程的根；否则，这个根不是原分式方程的根（即是增根），原分式方程无解。八年级下册一、二次根式1.1二次根式*二次根式的定义：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。*二次根式有意义的条件：被开方数a必须是非负数，即a≥0。1.2二次根式的性质*(√a)²=a(a≥0)。*√(a²)=|a|={a(a≥0),-a(a<0)}。*√(ab)=√a·√b(a≥0,b≥0)。即：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。*√(a/b)=√a/√b(a≥0,b>0)。即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。1.3二次根式的加减*同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。*二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。（类似于合并同类项）1.4二次根式的乘除*二次根式的乘法法则：√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0)。*二次根式的除法法则：√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0)。二、勾股定理2.1勾股定理*勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.2勾股定理的逆定理*勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。*勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。三、平行四边形3.1平行四边形的性质*平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。*平行四边形的性质：*平行四边形的对边平行且相等。*平行四边形的对角相等。*平行四边形的邻角互补。*平行四边形的对角线互相平分。*平行四边形的面积：S=底×高。3.2平行四边形