【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题03 倍长中线模型的综合应用（解析版）（北师大版）

专题03倍长中线模型的综合应用模型说明题型精讲例1.（基本模型模型）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三边关系得：，又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，∵DE⊥DF，∴．

在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．例2.（四边形中的倍长中线模型）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（PA≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】解：（1）如图1，连接AF，∵四边形AOBP是正方形，△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD=AP，在Rt△ADF和Rt△APF中，，∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），∴DF=PF；（2）AE=AO+BE，理由如下：如图2，延长AC、BF交于点G，连接∵C为OB中点，∴OC=BC，∵AO∥BP，∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，在△△AOC和△GBC中，，∴△AOC≌△GBC（AAS），∴BG=AO，∵△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，∴AD=BG，∠CAE=∠G，∴△AEG为等腰三角形，∴AE=EG，∵，∴AE=AO+BE；（3）∵AO∥PB，∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，又∵∠OAC=∠CAE，由（2）知∠AEC=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH=∠CAE=∠CEA=45°，即△ACE是等腰直角三角形，CH平分∠ACE，如图3，由（2）知：∵OA=a，BE=b，例3.（培优综合1）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）如图一中，延长使得，连接、，先证明，再证明即可解决问题．（2）补充图形如图二所示，延长交的延长线于，只要证明，再证明是等腰直角三角形即可．（3）如图三中，如图一中，延长使得，连接、，，先证明，再证明即可．【详解】（1）证明：如图一中，延长DM使得MN=DM，连接BN、CN．

在△DME和△NMB中，，∴△DME≌△NMB，∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，∴DE∥NB，∴∠ADE=∠ABN=90°，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∴∠CBN=45°=∠A，在△ACD和△BCN中，，∴△ACD≌△BCN，∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，∴DM=CM．DM⊥CM（2）解：如图二所示延长DM交CB的延长线于N，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∵∠EDC+∠DCN=180°，∴DE∥CN，∴∠EDM=∠N在△DME和△NMB中，，∴△DME≌△NMB，∴DE=BN=AD，DM=MN，∴CD=CN，∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，∴DM=CM．DM⊥CM．（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．

∵DE∥AB，∴∠MBN=∠MED，在△DME和△NMB中，，∴△DME≌△NMB，∴DE=BN=AD，DM=MN，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，∵∠AED+∠BAE=180°，∴∠BAE=135°，∵∠BAC=∠EAD=45°，∴∠DAC=∠CBN=45°在△ACD和△BCN中，，∴△ACD≌△BCN，∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，∴DM=CM．DM⊥CM【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，记住中线延长一倍是常用辅助线，属于中考常考题型．例4.（培优综合2）已知：等腰和等腰中，，，．（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为；（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．【详解】（1）设交于，如图1，是等腰和是等腰即故答案为（2）如图2，过点作的垂线交的延长线于,是等腰和是等腰又，，又，，即是的中点（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图，即，是等腰和是等腰，在与中，，（SAS），，点是的中点，，，（SAS），，（SAS），，，，即，，，，【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．迁移应用1．（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解【详解】解：（1）∵，∴∴，在中根据三角形三边关系可得出：，即，∴，故答案为：；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，同（1）可得出，∵∴在中，∴；（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，∵∴∴∴∵∴，∴（SAS），∴∴，∴．2．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，．（1）如图，若点与点重合，求证：；（2）如图，请写出与之间的关系并证明．【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,证明详见解析.【分析】(1)利用条件先△DAE≌△DBF,从而得出△FDE是等腰直角三角形,再证明△AEF是等腰直角三角形,即可.(2)延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,先证明△BGM≌△EGD,再证明△BDM≌△DAF即可推出.【详解】解:（1）证明:设BE与AD交于点H..如图，∵AD,BE分别为BC,AC边上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G为BE中点,∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,∵点G为BE的中点,BG=GE.∵∠BGM∠EGD,∴△BGM≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF⊥DG.∴AF=2DG,且AF⊥DG3．在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或【详解】（1）证明：如图1，直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论∵直线于点．直线于点，直线于点，∴，①如图3，当直线与线段交于一点时，由（1）可知，，即，，，，∵，．②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．由（2）得：，，，∴，即，．④当直线与线段的延长线交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．4．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．【答案】（1）SAS，＜AD＜；（2）见解析；（3）2AD=MN，AD⊥MN，理由见解析【分析】（1）阅读理解：由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系即可得出结论．（2）问题解决：延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND，由全等三角形的性质得出BF=CN，由线段垂直平分线的性质得出MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系即可得出结论．（3）问题拓展：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，由（1）得：△BAD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠BAD=∠E，AB=CE，证出∠ACE=∠MAN，证明△ACE≌△NAM得出AE=MN，∠EAC=∠MNA，则2AD=MN．延长DA交MN于G，证出∠AGN=90°，得出AD⊥MN即可．【详解】解：（1）阅读理解：如图1中，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴BE=AC=8，在△ABE中，由三角形的三边关系得：BE-AB＜AE＜BE+AB，∴8-5＜AE＜8+5，即3＜AE＜13，∴＜AD＜，故答案为：SAS，＜AD＜；（2）问题解决：证明：如图2中，延长ND至点F，使FD=ND，连接BF、MF，同（1）得：△BFD≌△CND（SAS），∴BF=CN，∵DM⊥DN，FD=ND，∴MF=MN，在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，∴BM+CN＞MN．（3）问题拓展：解：结论：2AD=MN，AD⊥MN．理由：如图3中，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，延长DA交MN于G．由（1）得：△BAD≌△CED，∴∠BAD=∠E，AB=CE，∵∠BAM=∠NAC=90°，∴∠BAC+∠MAN=180°，即∠BAD+∠CAAD+∠MAN=180°，∵∠E+∠CAD+∠ACE=180°，∴∠ACE=∠MAN，∵△ABM和△ACN是等腰直角三角形，∴AB=MA，AC=AN，∴CE=MA，∴△ACE≌△NAM（SAS），∴AE=MN，∠EAC=∠MNA，∴2AD=MN．∵∠NAC=90°，∴∠EAC+∠NAG=90°，∴∠MNA+∠NAG=90°，∴∠AGN=90°，∴AD⊥MN．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．5．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①AP＝2PM；②成立，证明见解析【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（SAS），∴∠ACE＝∠CBD，∵∠BPC+∠DBC+∠BCP＝180°，∴∠BPC+∠ACE+∠BCP＝180°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°；（2）①解：AP＝2PM，理由如下：∵△ABC为等边三角形，点M是边BC的中点，∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，∵AM⊥BC，点M是边BC的中点，∴PB＝PC，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，∴PC＝2PM，∠ACP＝30°，∴∠PAC＝∠PCA，∴PA＝PC，∴AP＝2PM，故答案为：AP＝2PM；②解：①中的结论成立，理由如下：延长PM至H，是MH＝PM，连接AF、CH，∵∠BPC＝120°，∴∠CPF＝60°，∵PF＝PC，∴△PCF为等边三角形，∴CF＝PF＝PC，∠PCF＝∠PFC＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCF，∴∠BCP＝∠ACF，在△BCP和△ACF中，，∴△BCP≌△ACF（SAS），∴AF＝BP，∠AFC＝∠BPC＝120°，∴∠AFP＝60°，在△CMH和△BMP中，，∴△CMH≌△BMP（SAS），∴CH＝BP＝AF，∠MCH＝∠MBP，∴CH∥BP，∴∠HCP+∠BPC＝180°，∴∠HCP＝60°＝∠AFP，在△AFP和△HCP中，，∴△AFP≌△HCP（SAS），∴AP＝PH＝2PM．6．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．【答案】（1）；（2）且【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围；（2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系．【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则，∵D是的中点，∴，在和中，，∴，∴，在中，可得：，即，∵，∴，∴，∴边上的中线的取值范围为：；（2）且，证明如下：如下图，延长，使得，延长与交于点H，由（1）可易证，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，

∴，∵，∴，∴，综上所述，且．【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大．7．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴(SAS)，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴(SAS)，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴(SAS)，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=∠ADC，∴∠EDF=∠FDH，∴∠EDF=∠EDH，∵DE=DE，∴(SAS)，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．8．