【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题05 半角、倍角模型的综合应用（原卷版）（北师大版）

专题05半角、倍角模型的综合应用模型说明应用：①利用旋转构造全等三角形；②利用翻折构造全等三角形。题型精讲例1.（基本模型1）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【培优变式训练】如图，，，，，．（1）求的度数；（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．例2.（正方形中的半角模型）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【培优变式训练】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．迁移应用1．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．2．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3．已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.4．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________；（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．5．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．6．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．7．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的