【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题07 对角互补模型的综合应用（解析版）（北师大版）

专题07对角互补模型的综合应用模型说明应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。题型精讲例1.（基本模型）【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系．【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°．（1）如图①，当α＝60°时，线段AB、CD所在直线夹角（锐角）为；（2）如图②，当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角α存在怎样的数量关系？请说明理由；【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角．【答案】（1）60°；（2）互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；（3）【详解】解：（1）如图1，延长交于，交于，，，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，故答案为：；（2）直线与直线所夹锐角角与旋转角互补，理由如下：如图2，延长，交于点，线段绕点顺时针旋转得线段，，，，，，，，，，直线与直线所夹锐角角与旋转角互补．形成结论由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补．故答案为：相等或互补．【变式训练】已知，点为等边三角形所在平面内一点，且．(1)如图（1），，求证：；(2)如图（2），点在内部，且，求证：；(3)如图（3），点在内部，为上一点，连接，若，求证：．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）证明即可；（2）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，首先证明是等边三角形，从而得出，再利用含角的直角三角形的性质，可得答案；（3）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，同理得是等边三角形，过点C作平行于，交的延长线于点N，再利用证明，得，再证明，从而解决问题．【详解】（1）是等边三角形，，，，，，；（2），，将绕A逆时针旋转，得到，点P的对应点为E，连接，则，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）将绕A逆时针旋，得到，点P的对应点为E，连接，同理可知，是等边三角形，∴，，，又，过点C作交的延长线于点N，则又，由旋转得，∴又，∴，在和中，，∴，∴，∴，在和中，，∴【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．例2.（正方形中的互补模型）探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵

∠EAF＝45°∴

∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵

∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴

△GAF≌△________．∴

_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【详解】解：（1）如图①所示；根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案为FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵

，∴

．∵

∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．【变式训练】在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E．(1)如图①，当时，则的值是________．(2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)2；(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2【分析】（1）由等腰三角形的性质和为斜边的中点可知，，所以的值可求；（2）结论成立．连接，通过证明≌．可得，所以；（3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，通过证明≌，得到．所以．【详解】（1）连∵P是的中点，，∴∵，∴∴四边形是矩形，∴又∵∴∴；故答案为：2；（2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点，，，．，．．又，．≌．，．（3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③，由（2）可知：，，，，．，又，≌，．．的周长是2．【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目．迁移应用1．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；【详解】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；2．在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）在中，根据点D是的中点，得出，由，是直角三角尺，得出，从而得到，在和中，立即证明全等，由性质即可解答；（2）根据，得出，，，从而得到，由于是含45°直角三角尺，推出，利用即可证明和全等，从而求解；（3）猜想：，理由：根据和，得出，又根据，等量代换得到从而证明．【详解】（1）证明：在中，∵，，∴，又∵点D是的中点，∴，且，∴，又∵是直角三角尺，∴，即，∴在和中∴，∴；（2）证明：∵∴，，∴，且由于是含45°直角三角尺，∴，∴即在和中∴，∴；（3）解：作图正确（如图所示）猜想：，理由如下：∵，∴，∵，∴又∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质．3．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．【答案】【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究应用】109．2米．【解析】解：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴GF=EF．又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，BE+DF=EF．【类比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．4．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．(1)求证：(2)求证：四边形BFGH是正方形；(3)求证：ED平分∠CEI【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）先证明∠FEG=∠EDC，即可利用AAS证明全等；（2）首先证明四边形FBHG是矩形，再证明FB=FG即可解决问题；（3）延长BC到J，使得CJ=AI．证明△IDE≌△JDE（SAS）即可解决问题．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠DCE=∠ABC=∠ABF=90°，∵GF⊥CF，GH⊥AB，∴∠F=∠GHB=∠FBH=90°，∴四边形FBHG是矩形，∵ED=EG，∠DEG=90°，∵∠DEC+∠FEG=90°，∠DEC+∠EDC=90°，∴∠FEG=∠EDC，在△DCE和△EFG中∴△DCE≌△EFG（AAS），（2）∵△DCE≌△EFG∴FG=EC，EF=CD，∵CB=CD，∴EF=BC，∴BF=EC，∴BF=GF，∵四边形FBHG是矩形∴四边形FBHG是正方形．（3）延长BC到J，使得CJ=AI．∵DA=DC，∠A=∠DCJ=90°，AI=CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），∴DI=DJ，∠ADI=∠CDJ，∴∠IDJ=∠ADC=90°，∵∠IDE=45°，∴∠EDI=∠EDJ=45°，∵DE=DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI=∠DEJ，∴DE平分∠IEC．【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）见解析；（2），见解析【详解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：过点作，交于点，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．6．如图①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．(1)S△ABD=．（直接写出结果）(2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α(α<90°)，在旋转过程中：探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由；探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形．【答案】(1)4(2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则；（2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化；②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即．【解析】（1）解：，，，，；故答案为4；（2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下：在中，，，，，，，，又，，，在和中，，（ASA），；②时，四边形是正方形．理由如下：，当时，而，四边形为矩形，，，四边形是正方形，此时，即．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．7．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.【答案】6【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO是等边三角形，∴DO=CO，∴DO=BO=AD．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，∴∠OBE=120°，∴∠ODF=∠OBE．∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°∴∠FOD=∠EOB．在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（ASA）．∴FC=EB．OF=OE．∵AE=AB+BE，∴AE=AB+DF，∴AE=AB+AD+AF，∴AE-AF=AB+AD．∵AB+AD=AB，∴AE-AF=AB．∵AB=4，∴AE-AF=6.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．8．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．(1)你尝试添加了怎样的