第04讲 矩形的判定（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第04讲矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．【变式】已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形是矩形B．当时，四边形是矩形C．当OA=OB时，四边形是矩形D．当时，四边形是矩形【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形的对角线相等，则可得平行四边形是矩形．【总结】考察矩形的证明方法．题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是∠A＝90°（答案不唯一）．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件AC＝BD，使▱ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD．【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO＝OA，OF＝OC，∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF；（2）解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，∵AE＝OE，∴AC＝2BD，∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型四：矩形的性质与判定求线段长例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据线段的和差关系可得，根据平行四边形的性质可得，，即可得出，可证明四边形为平行四边形，根据即可得结论；（2）根据矩形的性质可得，可得为直角三角形，利用面积法可求出的长，即可得答案．【详解】（1），，即，是平行四边形，，，，，四边形为平行四边形，，，四边形为矩形．（2）四边形为矩形，，，，∴，∵，，，为直角三角形，，，，．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）证明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四边形ABCD∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM，∴EN=PM=2，∵·BF·EN=5，∴BF=5，∵EF⊥BP，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=，∴CF=BC-BF=-5．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF是矩形；（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDF＝DF•AF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．【变式1】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形.∴△ABO≌△DCO又∵△ABO是等边三角形∴△DCO也是等边三角形，即AO＝BO＝CO＝DO∴AC＝BD∴ABCD为矩形.∵AB＝4，AC＝AO＋CO

∴AC＝8在Rt△ABC中，由勾股定理得：

BC＝∴矩形ABCD的面积为：AB·BC＝16【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理求出的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴，，，∵O为矩形的对角线的中点，∴，在和中，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形．（2）解：四边形是矩形，，设菱形的边长为，则，，，在中，，即，解得，，则四边形的面积为．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．【详解】解：当时，由题意可知，，，∴四边形是平行四边形，∵,∴四边形是矩形，故选：D【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可.【详解】解：点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，四边形是平行四边形，四边形是矩形，故选：【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键.3．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在菱形中，E、F为边、的中点，连接、．若，，则四边形的面积为（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】连接，由菱形的性质可证和是等边三角形，从而求得，根据点E、F是、的中点可得，，进而证明四边形是矩形，再利用勾股定理求出，即可求出结果．【详解】解：连接，∵四边形是菱形，，，，，，，，∴和是等边三角形，，∵点E、F是、的中点，，，，，∴四边形是矩形，，∴在中，，∴矩形的面积为：，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据矩形的性质得出，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴.∵由勾股定理得：，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵，∴，∴是菱形，故选项不符合题意；B、∵四边形是平行四边形，，∴是菱形，故选项不符合题意；C、∵四边形是平行四边形，，∴是菱形，故选项不符合题意，D、∵四边形是平行四边形，，∴是矩形，故选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．6．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）下列四个命题说法正确的是（

）A．一组对角相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；如图所示，在菱形中，分别是的中点，∴是的中位线，∴，同理得，∴，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，∴，∴四边形是矩形；D、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．7．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接，于点，于点，，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，由勾股定理得：，当时，最小，则最小，此时，，即，，的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（

）

A．13 B．10 C．12 D．5【答案】B【分析】延长，取点，使得，连接，根据全等三角形的判定得到，得到，故当，，三点共线时，的值最小，即为的值．【详解】延长，取点，使得，连接，如图

∵，四边形是矩形∴四边形和四边形是矩形∵，，∴∴∴∵点，分别是，上的动点故当，，三点共线时，的值最小，且的值等于的值在中，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，做出辅助线，构建使得是解决本题的关键．二、填空题9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；∵S△BCD＝BC•CD＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．10．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在菱形中，点，分别在，上，．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形，，∴，即，且，∴四边形是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形是平行四边形，，∴，平行四边形是矩形；②四边形是平行四边形，若，∴，平行四边形是矩形；故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键．11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在中相交于点，，当______时，是矩形．

【答案】4【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．【详解】解：四边形为平行四边形，要使四边形为矩形，则，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，∴四边形B′C′CB为平行四边形，∵BB′⊥BC，∴四边形B′C′CB为矩形，∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC=S矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，是边上两点（），，是边上两点，且，连接，，，．若，，，则阴影部分的面积为_________．【答案】【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出，，进而可得阴影部分的面积；【详解】解：在矩形中，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键．14．（2023·青海西宁·统考一模）如图，的边长为，将平移得到，且．则阴影部分的面积是______．【答案】【分析】利用平行的性质可得，，，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，同时可证得，再证明四边形是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算．【详解】解：∵将平移得到，∴，，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴四边形是矩形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形是矩形是解题的关键．三、解答题15．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，、、分别是各边的中点．(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析(2)，四边形为矩形，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理证明．【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：∵，，分别是各边的中点，∴，∴四边形是平行四边形；（2），四边形为矩形，理由如下：由（1）得：四边形为平行四边形，又∵°，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证；（2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证．【详解】（1）证明：∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．（2）证明：∵四边形是矩形，∴，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：在四边形是矩形．

【答案】见解析【分析】首先证明四边形是平行四边形，得出，，根据，得出，即可证明．【详解】解：证明：∵，，∴四边形为平行四边形，∴，．又∵，∴，∴平行四边形为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂足分别为．若，求证：四边形为矩形．

【答案】见解析【分析】利用证明，得出，利用证明，得出，结合平行四边形的性质可得出，然后利用矩形的判定即可证明．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，又∴，∴，又，∴，∴，又，，∴平行四边形是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，证明是解题的关键．19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，中，是中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．请从以下三个条件：①；②；③是的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形为矩形．

(1)你添加的条件是；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形为矩形．【答案】(1)①(2)见解析【分析】（1）根据已知可得四边形是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；（2）先证明四边形是平行四边形，①根据三线合一得出，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明，可得，进而根据已知得出，不能证明四边形是矩形．【详解】（1）解：添加的条件是①故答案为：①．（2）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，①；∵中，是中点，∴∴四边形是矩形；②添加；四边形是平行四边形，不能证明四边形是矩形；③是的中点∴，∵，∴，又，∴，∴，又，∴，∴③不能证明四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．20．（2023·山东聊城·统考二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．(1)求证：四边形是矩形；(2)设AC＝12，BD＝16，求的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明平行四边形为菱形，可得，通过，证明四边形为平行四边形，结合即可证明；（2）由（1）可得平行四边形为菱形，故，，结合四边形是矩形，运用勾股定理即可求得的长．【详解】（1）∵四边形为平行四边形，，∴平行四边形为菱形，∴，∵，，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形为矩形．（2）∵，，∴，，在中，，由（1）知四边形为矩形，∴．【点睛】本题考查了菱形的判