第04讲 矩形的判定（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第04讲矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【变式】已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形是矩形B．当时，四边形是矩形C．当OA=OB时，四边形是矩形D．当时，四边形是矩形题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．题型四：矩形的性质与判定求线段长例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【变式1】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求这个平行四边形的面积.【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．【过关检测】一、单选题1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在菱形中，E、F为边、的中点，连接、．若，，则四边形的面积为（

）A． B．1 C．2 D．44．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（）A． B． C． D．6．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）下列四个命题说法正确的是（

）A．一组对角相等的平行四边形是矩形B．对角线互相垂直平分的四边形是矩形C．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形7．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，矩形中，，，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则的最小值是（

）A． B．3 C． D．8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形中，，，点，分别是，上的动点，，则最小值是（

）

A．13 B．10 C．12 D．5二、填空题9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．10．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在菱形中，点，分别在，上，．只需添加一个条件即可证明四边形是矩形，这个条件可以是_______（写出一个即可）．11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在中相交于点，，当______时，是矩形．

12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形中，，是边上两点（），，是边上两点，且，连接，，，．若，，，则阴影部分的面积为_________．14．（2023·青海西宁·统考一模）如图，的边长为，将平移得到，且．则阴影部分的面积是______．三、解答题15．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，、、分别是各边的中点．(1)四边形是怎样的四边形？证明你的结论．(2)请你为添加一个条件，使得四边形是矩形，证明你的结论．16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，求证：．17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，且．求证：在四边形是矩形．

18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂足分别为．若，求证：四边形为矩形．

19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，中，是中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．请从以下三个条件：①；②；③是的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形为矩形．

(1)你添加的条件是；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形为矩形．20．（2023·山东聊城·统考二模）如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．(1)求证：四边形是矩形；(2)设AC＝12，BD＝16，求的长．21．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)若，且