第06讲 正方形的判定（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第06讲正方形的判定（4种题型）【知识梳理】一．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】题型一：正方形判定定理的理解例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（

）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形中，对角线与相交O，添加下列条件不能判定矩形是正方形的是（

）A． B． C． D．题型二：添加一个条件使四边形是正方形例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形成为正方形（）

A． B． C． D．【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片折出一个以为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出的平分线，交于点D，第二步，折出的垂直平分线，分别交、于点E、F，把纸片展平，第三步，折出、，得到四边形，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形是菱形；(2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．题型三：证明四边形是正方形例3.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．题型四：根据正方形的判定与性质求线段长例4.如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．题型五：中点四边形例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形为菱形，点E、F、G、H分别、、、边的中点，依次连接E、F、G、H得到四边形，则四边形为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形的对角线，交点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形，四边形可能不是平行四边形；②若，则四边形一定是菱形；③若，则四边形一定是矩形；④若四边形是菱形，则四边形也是菱形．所有正确推断的序号是_____________．【过关检测】一、单选题1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，已知矩形，下列条件能使矩形成为正方形的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（

）A．对角线垂直的四边形是菱形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半3．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（

）A．四边都相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板中，为对角线，，分别为，的中点，分别交，于，两点，，分别为，的中点，连接，，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形是菱形；③四边形的面积占正方形面积的．正确的有（）

A．①③ B．①② C．只有① D．②③二、填空题5．（2023·天津河东·统考二模）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．

6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______．7．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为___________

8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处．当为直角三角形时，___________．

9．（2023·福建·模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．二、解答题10．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在中，，为角平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形．11．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．

(1)如图1，若，求证四边形为正方形；(2)如图2，若，求的面积；(3)当为何值时，的面积最小．12．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形中，相交于点O，点E，F在上，且，连接．

(1)求证：；(2)连接，若，线段满足什么条件时，四边形为正方形．13．（2023·山东泰安·校考二模）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．

(1)求证：①；②矩形是正方形；(2)求的值．14．（2023·山东聊城·统考三模）如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；(2)求证：平分．15．（2023·山东青岛·统考二模）《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图1，知道一个直角三角形较短直角边（"勾"）与较长直角边（"股"）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）其文如下：题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？答：方三步，十七分步之九．术：并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一，得方一步．“题”、“答”、“术”的意思大致如下：问题：一个直角三角形两直角边的长分别为5和12，它的“所容正方形”的边长是多少？答案：．解法：(1)已知：如图1，在中，，若，则“所容正方形”的边长为________．请说明理由：

(2)应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m2，两条对角线长度之和