第13讲 重难点专项突破01中点四边形模型（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

重难点专项突破01中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米 B．11米 C．10米 D．9米【答案】A【解析】∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线，∴EF＝AC＝（米），FG＝BD＝（米），HG＝AC＝（米），HE＝BD＝（米），∴四边形EFGH总长度＝EF+FG+GH+HE＝20（米），故选：A．【变式1】在四边形中，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则的值为（）A．18 B．36 C．48 D．64【答案】D【解析】连接、、、，∵E、F、G、H分别是、、、的中点，∴，∴，同理，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∴平行四边形为菱形，∴，，，故选：D．【变式2】如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）cm．A．20 B． C． D．25【答案】A【解析】连接BD，∵H、G是AD与CD的中点，∴HG是△ACD的中位线，∴HG=AC=5cm，同理EF=5cm，∵四边形ABCD是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm，∵H、E是AD与AB的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=BD=5cm，同理FG=5cm，∴四边形EFGH的周长为20cm．故选A．【变式3】如图，点O为四边形ABCD内任意一点，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．9 B．12 C．18 D．不能确定【答案】C【解析】∵E，F分别为OA，OB的中点，∴EF是△AOB的中位线，∴EF=AB=3，同理可得：FG=BC=5，HG=DC=6，EH=AD=4，∴四边形EFGH的周长为=3+5+6+4=18，故选C．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，若△EFG的面积为4，则四边形ABCD的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】记△BEF,△DGH,△CFG,△AEH的面积分别为，四边形ABCD的面积为S.连接AC.∵BF=CF，BE=AE，CG=DG，AH=DH，∴EF∥AC,GH∥AC,∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∴S平行四边形EFGH=2S△EFG=8，∵△BEF∽△BAC，∴同理可得∴同法可得∴∴S四边形EFGH=∴S=2S四边形EFGH=16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（）A．矩形B，菱形C．正方形D．无法确定（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形是和美四边形，若,求的长．【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4）【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，如图，四边形ACBD中，对角线AB⊥CD，即为“和美四边形”，点E、F、G、H分别是AC、AD、BD、BC的中点，∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=CD，EH∥FG∥AB，且EH=FG=AB，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形；故选：A．（3）连接AC和BD，由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴△AOE的面积=△BOE的面积，△BOF的面积=△COF的面积，△COG的面积=△DOG的面积，△DOH的面积=△AOH的面积，∴S1+S3=△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积=S2+S4；（4）如图，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=42+52-22=37，即可得．【变式2】如图，在四边形中，对角线，且，，，，，分别是四边的中点，则四边形的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E、F分别为边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=，∵AC=8，∴EF=4，同理，HE∥BD，HE=，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥HE，∴四边形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面积=HE×EF=12．故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD中，对角线，且，，各边中点分别为、、、，顺次连接得到四边形，再取各边中点、、、，顺次连接得到四边形，……，依此类推，这样得到四边形，则四边形的面积为（）A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴A1B1∥AC，A1B1AC，∴△BA1B1∽△BAC．∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．即S△ABC，同理可证：S△ADC，S△ABD，S△CB1C1S△BDC，∴S四边形ABCD，同法可证，又四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是16．∴四边形AnBn∁nDn的面积．故选：B．【变式1】如图1，，，，分别是四边形各边的中点，且，，．（1）试判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取，，，的中点，，，，再依次取，，，的中点，，，……以此类推，取，，，的中点，，，，根据信息填空：①四边形的面积是__________；②若四边形的面积为，则________；③试用表示四边形的面积___________．【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③【解析】（1）四边形是矩形，证明：∵，，，分别是四边形各边的中点，∴，，∴，同理可得，∴四边形是平行四边形，又∵，易得，∴四边形是矩形；（2）①由题意可知：A1B1=AC=3，A1D1=BD=5，四边形的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A2D2=B2C2=B1D1==，C2D2=B2A2=A1C1==，可知四边形为菱形，∴===；同理可求：=，=，…，=，故当四边形的面积为时，=，解得：n=5；③由②可知：用表示四边形的面积为.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。如图1，矩形中，在上，且，点从点出发，以1个单位每秒的速度在边上向点运动，设点的运动时间为秒。（1）的面积为，求关于的函数关系式，并求出时的值；（2）在点从点向运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）如图2，分别是的中点，在点从向运动的过程中，线段扫过的图形是什么形状_________________，并直接写出它的面积___________________。【答案】（1）x=8；（2）存在，x=6；（3）平行四边形，15.【解析】（1）四边形为矩形，，．，．，，，整理得：．当时，，解得：．（2）存在．理由如下：，，，，，，．当时，，，整理得：，配方得：，解得：．（3）如图所示：当点与点重合时，点位于处，点位于点处，为的中点，点位的中点．当点与点重合时，点位于处，点位于点处，为的中点，点位的中点．，，，．，．四边形为平行四边形．扫过的区域为平行四边形．故答案为：平行四边形；15．【变式1】如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD、AC的中点，依次连接E，G，F，H．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB=CD时，EF与GH有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=°．【答案】（1）见解析；（2）GH⊥EF，见解析；（3）25【解析】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG∥AB，且，同理可证：HF∥AB，且，∴EG∥HF，且EG=HF，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）GH⊥EF，理由如下：∵G、F分别是BD、BC的中点，∴，由（1）知，又∵AB=CD，∴GE=GF，又∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∴GH⊥EF；（3）∵E、H分别是AD、AC的中点，∴EH∥CD，∴∠BDC=∠BPH=70°，∵EG∥AB，∴∠EGD=∠ABD=20°，∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，∵四边形EGFH是菱形，∴∠GEF=∠HEF=∠GEP=25°．故答案为：25．【变式2】如图，、是四边形的对角线，点E、F、G、H分别是线段、、、上的中点（1）求证：线段、互相平分；（2）四边形满足什么条件时，？证明你得到的结论．【答案】（1）见解析；（2）当AB=CD时，EG⊥FH，理由见解析【解析】（1）证明：连接EF、GF、GH、HE，∵点E、F分别是线段AD、DB的中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵点G、H分别是线段BC、AC的中点，∴GH∥AB，GH=AB，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴线段EG、FH互相平分；（2）解：当AB=CD时，EG⊥FH，理由如下：∵点G、F分别是线段BC、BD的中点，∴GF=CD，∵AB=CD，∴EF=GF，∴平行四边形EFGH是菱形，∴EG⊥FH．故答案为:（1）见解析；（2）当AB=CD时，EG⊥FH，理由见解析【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【考点】中点四边形．【分析】满足的条件应为：AC＝BD，把AC＝BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC＝BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．2．（2022春•兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形 B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的 C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和 D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故B选项错误；C．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故C选项错误；D．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．3．（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可．【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．4．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形 B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形 C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形 D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【考点】中点四边形；三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．5．（2022•老河口市模拟）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．对角线相等的四边形【考点】中点四边形；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．【分析】连接AC和BD，根据三角形的中位线定理可判定四边形EFGH的形状．【解答】解：如图，连接AC和BD，∵E，F，G，H分别为各边的中点，∴EF是△BAC的中位线，HG是△DAC的中位线，EH是△ADB的中位线，FG是△DBC的中位线，∴HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD中，AC＝BD，∴EF＝FG＝HG＝EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定、三角形中位线的性质，解答本题关键是作出辅助线，另外要熟练掌握矩形的性质．6．（2022•谷城县模拟）如图，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到四边形EFGH，我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的“中点四边形”．若四边形ABCD是矩形，则矩形ABCD的“中点四边形”一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【考点】中点四边形；三角形中位线定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF＝AC，FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，根据矩形的性质得到AC＝BD，根据菱形的判定定理得出结论．【解答】解：连接AC、BD，∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，当四边形ABCD为矩形时，AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，故选：C．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的性质、菱形的判定定理是解题的关键．二．填空题（共2小题）7．（2020•湘阴县一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是AC⊥BD．【考点】中点四边形．【分析】根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直．【解答】解：如图，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，即AC⊥BD；故答案为：AC⊥BD．【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形．8．（2021秋•崂山区校级月考）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD满足AB＝CD条件时，四边形EFGH是菱形．【考点】中点四边形；三角形中位线定理；菱形的判定．【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，EF＝AB，GH∥AB，GH＝AB，EH＝CD，证明四边形EFGH为平行四边形，再根据菱形的判定定理解答即可．【解答】解：∵点E、F分别是AD、BD的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，同理可得：GH∥AB，GH＝AB，EH＝CD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AB＝CD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故答案为：AB＝CD．【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【考点】中点四边形；三角形中位线定理；矩形的判定．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，得到EF＝GH，EF∥GH，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理解答；（3）根据三角形中位线定理得到EH∥BD，根据矩形的判定定理证明结论．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平相四边形和矩形的判定定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．10．（2021•梧州模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC⊥BD于点O．求证：四边形EFGH是矩形．【考点】中点四边形；三角形中位线定理；矩形的判定．【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，GH＝AC，∴EF＝GH，同理EH＝FG．∴四边形EFGH是平行四边形．又∵对角线AC、BD互相垂直，∴EF与FG垂直．∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及矩形的判断进行证明，是一道综合题．11．（2023•乐清市模拟）如图，O是▱ABCD的对角线的交点，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当∠DEF＝90°，AB＝6，BC＝4时，求四边形DEFG的周长．【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行证明．（2）分析四边形的的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出EF的值，然后通过构造DE延长线段所在的三角形间接求出DE，从而算出周长．【解答】（1）证明：∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，∴△OAB中，EF∥AB且EF＝AB（三角形中位线定理）；DG＝DC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB（平行四边形的对边平行相等），∴DG＝DC＝AB＝EF，DG∥AB∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）解：如图所示，∠DEF＝90°时，延长DE交AB于点H．∵AC、BD分别是平行四边形ABCD的对角线，BC＝4，∴DO＝OB＝DB（平行四边形对角线相互平分），AD＝4（平行四边形对边相等）．∵点E、F分别是OA、AB的中点，AB＝6，∴△OAB中，EF∥AB且EF＝AB＝3（三角形中位线定理）；∵点F是OB的中点，∴OF＝OB＝DB，∴DF＝DO+OF＝DB+DB＝DB，∴＝．∵∠DEF＝90°即DE⊥EF，EF∥AB，∴DH⊥AB即∠DHB＝∠D