新九年级数学暑假同步课 第14讲 成比例线段（原卷版）（北师大版）

第14讲成比例线段（含黄金分割）一、比例线段1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。2．比例中项：如果a:b=b:c,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。3．比例的性质：（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）（2）合比性质：如果如果要点：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．二、黄金分割1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.要点：≈0.618AB(叫做黄金分割值).2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点：一条线段的黄金分割点有两个.例1．已知，则（）A． B． C． D．例2．已知，则下列各式中不正确的是（）A． B． C． D．例3．在比例尺为的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约，它的实际长度约为（）A． B． C． D．例4．下列各组数中，能成比例的是（）A． B． C． D．例5．已知，则的值为（）A． B． C． D．例6．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（）．A． B． C． D．例7．线段2cm，8cm的比例中项为多少cm．（）A．4 B．4.5 C．±4 D．±8例8．若点为线段的黄金分割点，且，则下列各式中不正确的是（）A． B．C． D．例9．四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的字形和字形，那么字形图中高与宽的比值为（）A． B． C． D．例10．已知三条线段的长分别为1cm，2cm，cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．例11．已知，求的值．例12．已知，且.求证：.一、单选题1．下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，52．如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是（

）A． B． C． D．3．在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是4cm，那么A、B两地的两地的实际距离是（

）A．200000米 B．500千米 C．20千米 D．2千米4．已知，则下列各式成立的是（

）A． B．C． D．5．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（

）A．AP：BP=AB：AP B．C． D．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（

）A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项7．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（

）A． B． C． D．8．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cmC．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm9．若，设，，，则、、的大小顺序为（

）A． B． C． D．10．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（

）A． B． C． D．二、填空题11．若，则＝_____．12．线段，点为线段的黄金分割点（），则的长为______．13．若，且，则_________．14．已知，则________．15．已知点C是线段的黄金分割点，即，那么____.16．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．17．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________．18．，，，，，满足关系：，则代数式的值是______．三、解答题19．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．（2）已知x：y＝4：3，求的值．20．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．21．已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．22．已知：.（1）求代数式的值；（2）如果，求的值.23．如图，设线段AC＝1.（1）过点C画CD⊥AC，使CDAC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B．（2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？24．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．（1）请你证明这个结论；（2）延长交于点I，则正方形与矩形的面积有怎样的关系，说出你的理由．25．阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：已知：（x+y+z≠0），求的值．26．阅读理解：如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．