第15讲 重难点专项突破03动点在四边形中的分类讨论（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

重难点专项突破03动点在四边形中的分类讨论【知识梳理】动点问题是中考中非常重要的一类问题，也是中考中的热点问题。动点问题体现了数学中变化的思想，分类讨论的思想。四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。解题基本思路解决动点问题的思路，要注意以下几点：1、设出未知数动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t2、动点的运动路径就是线段长度题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。3、方程思想求出时间动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。4、难点是找等量关系这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。5、注意分类讨论因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。【考点剖析】1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．AABDCPQMN【解析】（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，（舍去）．因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意．②当点Q与点M重合时，．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值为．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由，解得．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由，解得．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即．解得．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形2．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．（1）当点M与点B重合时，求t的值；（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；【考点】四边形综合题．【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；（2）分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2＜t≤4时，由全等三角形的性质得出关于t的方程，解方程可得出答案；【解答】解：（1）M与B重合时，如图1，∵PQ⊥AB，∴∠PQA＝90°，∴PA＝AB＝2，∴t＝2；（2）①当0≤t≤2时，∵AM＝2t，∴BM＝4﹣2t，∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝4﹣2t，∴t＝；②当2＜t≤4时，∵AM＝2t，∴BM＝2t﹣4，∵△APQ≌△BMF，∴AP＝BM，∴t＝2t﹣4，∴t＝4；综上所述，t的值为4或；【过关检测】一、解答题1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．

(1)_____，____；（用含的式子表示）(2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由；(3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由．【答案】(1)；(2)四边形为矩形．理由见解析(3)四边形为菱形．理由见解析【分析】（1）根据点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，表示和的长；（2）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可得证；（3）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，进一步说明，即可得证．【详解】（1）解：∵点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，∴，，∵，，，∴，，故答案为：；；（2）四边形PBCQ为矩形．理由如下：∵，∴，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形；（3）四边形APQD为菱形．理由如下：∵，∴，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等，根据点的运动表示出和的长度是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，，分别从点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．

(1)为何值时，四边形为矩形？(2)为何值时，四边形为平行四边形？【答案】(1)当秒时，四边形为矩形(2)当秒时，四边形为平行四边形【分析】（1）根据，矩形的判定和性质，得，求出，即可；（2）根据平行四边形的判定和性质，得，求出，即可．【详解】（1）∵，∴，当时，四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为矩形，∵动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿向点以的速度运动，∴，，∴，∴，解得：，∴当秒时，四边形为矩形．（2）∵，∴，当时，四边形为平行四边形，∴，∴，解得：，∴当秒时，四边形为平行四边形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的判定和性质．3．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动．

(1)当为何值时，四边形是矩形？(2)当为何值时，？(3)当为何值时，？【答案】(1)6(2)4或8(3)6或7【分析】（1）由矩形的性质得，则，计算求解即可；（2）过点作于点，根据勾股定理求得的长度，列出方程求解即可；（3）分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解．【详解】（1）解：由题意得：，，，四边形是矩形，，即，解得：，当为6时，四边形是矩形；（2）解：如图，

①过点作于点，则，，，，时，，，解得：，②过点作于点，则，，

，解得：，此时点与点重合，综上所述，当为4或8时，；（3）解：由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解：①当四边形是平行四边形时，，，，，解得：；②当四边形是等腰梯形时，如图，过作于，过作于，则四边形，是矩形，

由题意知，，，，即，解得：；综上所述，当为6或7时，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向点B同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设P运动的时间为ts．(1)若点P和点Q同时运动了7秒，与有什么数量关系？并说明理由；(2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)存在，【分析】（1）根据点P、点Q的运动时间和运动速度，证明四边形是平行四边形，即可求解；（2）当时，四边形是矩形，即．【详解】（1）解：，由题意得：，，∵，，，∴，，当时，，，∴，∵即∴四边形是平行四边形，∴；（2）解：存在理由：∵在四边形中，，，∴当时，四边形是矩形，∴，解得：，∴当时，四边形是矩形．【点睛】本题考查了动点问题，涉及到矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，灵活运用学知识是解题关键．5．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．(1)求证：；(2)填空：当秒时，四边形是矩形．(3)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，并求出此时四边形的面积；如果不能，说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)能，，面积【分析】（1）由，，证出；（2）当四边形是矩形时，为直角三角形且，求出的值即可；（3）先证明四边形为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则四边形为菱形，得出，，求出的值即可．【详解】（1）证明：在中，，，，．又，；（2）时，四边形为矩形．在中，，．即，．故答案是：；（3）能；理由如下：，，．又，四边形为平行四边形．，，，，若使能够成为等边三角形，则平行四边形为菱形，则，，；即当时，为等边三角形．当时，四边形能够成为菱形．此时，，，此时四边形的面积．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．6．如图所示，在直角梯形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个动点到达端点时停止运动、另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒.(1)设的面积为S，S＝__（用含t的式子表示S）；(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)分别求出当t为何值时，①；②．【答案】(1)（）(2)当时，四边形是平行四边形；(3)①当时，；②当时，DQ＝PQ【分析】（1）由题意知：，，将和的长代入，可求出S与t之间的函数关系式；（2）当四边形为平行四边形时，，即，可将t求出；（3）当时，可得：，从而可将t求出；当时，根据即：可将t求出．【详解】（1）直角梯形中，，，，，依题意，，则，，过点P作于E，则四边形是矩形，，∴（），故答案为：（）（2）当四边形是平行四边形时，，∴，解得：，∴当时，四边形是平行四边形；（3）∵四边形是矩形∴，，①当时，，∵∴解得：，∴当时，；②当时，，∵在中，又∴解得：，∴当时，【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握梯形、平行四边形的特殊性质是解题的关键．7．如图，中，，，，过点作的平行线，与过且垂直于的直线交于点，一个动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作，交折线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，设点的运动时间为秒．(1)当点恰好落在上时，此时的值为______；(2)若与重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形与四边形重叠部分的面积为，请求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)如图，在点开始运动时，上另一点同时从点出发，以每秒个单位长度沿方向运动，当到达点时停止运动，同时点也停止运动，过作交射线于点，以为斜边向左作等腰直角三角形，若点运动到秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一直线上，请直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)满足条件的的值为：或或【分析】（1）根据题意易证为等腰直角三角形，则，进而得出，，根据、均为等腰直角三角形，得出，即可求出，即可求解；（2）根据点P的运动轨迹，进行分类讨论即可，当时，当时，当时；（3）根据点P和点Q的运动轨迹，进行分类讨论即可，当与落在同一直线上时，当与落在同一直线上时，当与落在同一直线上时，【详解】（1）解：，，，∵，，为等腰直角三角形，，过点作于点，如图所示：则为等腰直角三角形，，在中，，，当点落在上时，由题意可知、均为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，，，，当点恰好落在上时，；（2）解：在点运动过程中：当时，如图所示：，；当时，如图所示：，；当时，如图所示：设、分别与交于点、，则、均为等腰直角三角形，，，；综上所述，与之间的函数关系式为：；（3）解：在点、的运动过程中：当与落在同一直线上时，如图所示：此时，为等腰直角三角形，则，，；当与落在同一直线上时，如图所示：此时，为等腰直角三角形，则，，；当与落在同一直线上时，如图所示：，；综上所述，满足条件的的值为：或或．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，根据点的运动状态，正确画出辅助线，进行分类讨论．8．如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒．(1)______，______．（用含t的代数式表示）(2)当四边形为平行四边形时，求t的值；(3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则；（2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可；（3）由，，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可．【详解】（1）解：如图1．

，．在直角梯形中，，，于点，四边形为矩形，，；故答案为：，．（2）四边形为平行四边形时，，，解得：；（3）存在时刻，使四边形为菱形．理由如下：，，当时有四边形为菱形，，解得．【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．

(1)分别求和的长度；(2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由；(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离．【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)存在，的值为或4(4)或【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解；（2）先证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解；（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．【详解】（1）四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，；（2），理由如下：如图1，

动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当时，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，；（3）存在，当为边时，四边形是平行四边形，，，；当为对角线时，四边形是平行四边形，，，，综上所述：的值为或4；（4）如图，当点的对称点在线段上时，

，，是等边三角形，，，，过点作于，则，，，，，，，在中，；如图，当点的对称点在线段的延长线上时，

，，点的对称点在线段的延长线上，，，，，，，，过点作于，则，，

，，，，，在中，；综上所述：点，之间的距离为或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．10．已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，，，，点为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)求点的坐标．(2)动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，连接，设的面积为，点运动的时间为，请用含的式子表示的面积，并直接写出的取值范围．(3)在(2)的条件下，在点运动过程中，在平面内取一点，使、、、四个点组成的四边形为菱形，请求出满足条件的值及点坐标．【答案】(1)，(2)(3)时，，；时，，；时，，；，，【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折可得，，进而勾股定理即可求解；（2）在，设，则，勾股定理求得，当时，点在线段上，，当时，点在线段的延长线上，，根据三角形面积公式即可求解；（3）点在上时，四边形是菱形，时，得出，；当点在的延长线上时，根据菱形的性质得出，当点在的延长线上时，点在轴下方时，得出，当为对角线的情况，可得，根据的中点重合，求得点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：矩形，，，，，，由翻折可得，，∴，点的坐标为，；（2）∵，在，，设，则，∴，解得，，动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，点运动的时间为，，当时，点在线段上，，，∴，当时，点在线段的延长线上，，∴，∴；（3）如图，点在上时，四边形是菱形，

由可得，，，，四边形是菱形，，，，，，∴；如图，当点在的延长线上时，

由可得，，，，四边形是菱形，，，，，，∴；如图，当点在的延长线上时，点在轴下方时，，连接，又四边形是菱形，则，，，三点共线，，

由可得，，，，四边形是菱形，，，，，，，，当为对角线的情况，∵，设，则解得：∴，设，解得：∴，此时，．综上所述，时