第18讲 新九年级暑期成果评价卷（测试范围：特殊的平行四边形、一元二次方程）（教师版）

北师大版新九年级暑期成果评价卷测试范围：特殊的平行四边形、一元二次方程一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣3x＝4 B．x2﹣＝3 C．x3﹣3＝7 D．x2+2x﹣6＝0【考点】一元二次方程的定义．【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数为3次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（4分）已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的一个根是p，则下列一定成立的是（）A．p＝0 B．q＝0 C．p＝0且q＝0 D．p≠0，q＝0【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到p2﹣p2+q＝0，易得q＝0．【解答】解：把x＝p代入方程得p2﹣p2+q＝0，所以q＝0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．（4分）下面对矩形的定义正确的是（）A．矩形的四个角都是直角 B．矩形的对角线相等 C．矩形是中心对称图形 D．有一个角是直角的平行四边形【考点】矩形的性质．【分析】读清楚题意，矩形的定义是矩形的判定，而A、B、C选项都是矩形的性质，故A、B、C错误．【解答】解：根据题意，考查的是矩形的判定，而A、B、C说的全部是矩形的性质，故A、B、C选项错误，有一个角是直角的平行四边形可以判定矩形，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，矩形的各内角为直角性质，本题中读清楚题意是解题的关键．4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB于点D，若CE＝6，CD＝5，则△ABC的面积为（）A．30 B．25 C．36 D．15【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积．【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，然后再利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，CE＝6，∴AB＝2CE＝12，∵CD⊥AB，CD＝5，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×12×5＝30，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．5．（4分）关于x的方程（x+m）2＝n的解是x1＝﹣2，x2＝1（m、n为常数），则方程（x+m+3）2＝n的解是（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝﹣5，x2＝﹣2【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据配方法即可求出答案．【解答】解：∵（x+m+3）2＝n，∴[（x+3）+m]2＝n，∵（x+m）2＝n的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴x+3＝﹣2或x+3＝1，∴x1＝﹣5，x2＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．（4分）下列命题中，假命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．矩形的对角线相等 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【考点】命题与定理．【分析】对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；B、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；C、矩形的对角线相等，是真命题；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．7．（4分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED的度数为（）A．45° B．60° C．65° D．70°【考点】正方形的性质．【分析】由正方形的性质可得∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，由外角的性质可求∠AEB＝65°，由“SAS”可证△ABE≌△ADE，可得∠AED＝∠AEB＝65°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∴∠AEB＝∠ACB+∠CBE＝65°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AED＝∠AEB＝65°，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线平分每一组对角是解题的关键．8．（4分）如图，在菱形ABCD中，BC＝10，点E在BD上，F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为E，EF＝4，则BD长为（）A．8 B．10 C．12 D．16【考点】菱形的性质．【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质得OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，再证EF是△AOD的中位线，得OA＝2EF＝8，然后由勾股定理求出OD＝6，即可求解．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AD＝BC＝10，AC⊥BD，∵FE⊥BD，∴FE∥AC，∵F为AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴OA＝2EF＝8，∴OD＝＝＝6，∴BD＝2OD＝12，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．9．（4分）若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜ B．a＜且a≠﹣1 C．a＞ D．a＞且a≠﹣1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根知（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解之即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解得a＜且a≠﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．10．（4分）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值是（）A． B．2 C． D．4【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得到∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO，证得△AOE≌△DOF，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，求出OE的范围，借助勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：C．【点评】该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；牢固掌握全等三角形的判定等几何知识点，是灵活解题的基础和关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）一元二次方程3x（x﹣2）＝﹣4的一般形式是3x2﹣6x+4＝0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4，去括号，得3x2﹣6x＝﹣4，移项得3x2﹣6x+4＝0，原方程的一般形式是3x2﹣6x+4＝0．故答案为：3x2﹣6x+4＝0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．12．（5分）如图，AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，若对角线AC，BD交于点O，∠1＝∠2，则四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定．【分析】由平行四边形的判定与性质和矩形的判定即可得出结论．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：平行四边形，矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．13．（5分）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是3x2+7x+1＝0．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定义．【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．【解答】解：根据与，可得a＝3，b＝7，c＝1，从而得到一元二次方程为3x2+7x+1＝0．故答案为：3x2+7x+1＝0．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．14．（5分）如图，P是正方形ABCD内一点，AP＝7，BP＝4，CP＝9，则∠APB＝135°，正方形ABCD的面积是65+28．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′，连接PP′，根据勾股定理逆定理可得∠APP′＝90°，进而可得∠APB；过点B作BF⊥AP交AP的延长线于F，可求AF＝AP+PF＝7+2，由勾股定理可求AB2，进而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，如图，将△BCP绕点B逆时针旋转至△BAP′，连接PP′，∴BP′＝BP＝4，∠P′BA＝∠PBC，AP′＝CP＝9，∴∠P′BA+∠ABP＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠P′BP＝90°，∴PP′＝4，∵AP＝7，∴72+（4）2＝49+32＝81＝92，∴AP2+PP′2＝AP′2，∴∠APP′＝90°，∵BP′＝BP，∠P′BP＝90°，∴∠BPP′＝45°，∴∠APB＝90°+45°＝135°；如图，过点B作BF⊥AP交AP的延长线于F，∵∠APP′＝∠P′PF＝90°，∠BPP′＝45°，∴∠BPF＝45°，∴∠FBP＝∠BPF＝45°，∴FB＝FP，∵BP＝4，∴2FB2＝16，∴FB＝2，∴AF＝AP+PF＝7+2，∵AB2＝AF2+BF2＝（7+2）2+（2）2＝65+28，∴正方形的面积为65+28．故答案为：135，．【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形、勾股定理等知识点，熟练运用这些性质、定理得△PP′B是等腰直角三角形是解题关键．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）15．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（x+8）（x+1）＝﹣12．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）根据公式法可以解答此方程；（2）先化简，然后根据因式分解法可以解答此方程．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，∴x＝＝＝＝1，∴x1＝1，x2＝1﹣；（2）∵（x+8）（x+1）＝﹣12，∴x2+9x+20＝0，∴（x+4）（x+5）＝0，∴x+4＝0或x+5＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣5．【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是可以根据方程的特点，选择合适的方法解答方程．16．（8分）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+的值．【考点】一元二次方程的解．【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化简得原式＝a+﹣1，然后通分后再次代入后化简即可．【解答】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+﹣1＝﹣1＝﹣1＝2020﹣1＝2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）17．（8分）四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，求FG的长．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】如图，连接OE，由菱形性质可得：AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，利用勾股定理可得AD＝13，再由直角三角形性质可得OE＝AD＝，再根据矩形性质可得FG＝OE＝．【解答】解：如图，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝24，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，在RtAOD中，AD＝＝＝13，∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝，∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠EFO＝∠EGO＝90°＝∠FOG，∴四边形EFOG是矩形，∴FG＝OE＝．【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．18．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内任意一点，点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∠A＝2∠BDF．求证：四边形DEGF是矩形．【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．【分析】易证DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，推出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，则四边形DEGF是平行四边形，由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，则∠ADE＝∠AED，证∠ADE+∠A＝90°，∠ADE+∠BDF＝90°，推出∠EDF＝90°，即可得出结论．【解答】证明：∵点D、E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点，∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，FG∥BC，FG＝BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEGF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，即2∠ADE+∠A＝180°，∴∠ADE+∠A＝90°，∵∠A＝2∠BDF，∴∠BDF＝∠A，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∴∠EDF＝180°﹣∠ADE﹣∠BDF＝180°﹣90°＝90°，∴四边形DEGF是矩形．【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识；熟练掌握三角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键．五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）19．（10分）用3根火柴棒搭成1个三角形，接着用火柴棒按如图所示的方式搭成2个三角形，再用火柴棒搭成3个三角形、4个三角形…（1）若这样的三角形有6个时，则需要火柴棒13根；（2）若这样的三角形有n个时，则需要火柴棒（2n+1）根；（3）若用了2021根火柴棒，则可组成这样图案的三角形有1010个．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．【分析】（1）根据图形，可以写出前几个搭成的三角形需要的火柴棒的根数，从而可以得到这样的三角形有6个时，需要火柴棒的根数；（2）根据（1）中发现的规律，可以写出这样的三角形有n个时，需要火柴棒的根数；（3）令2n+1＝2021，即可得到n的值，从而可以得到可组成这样图案的三角形的个数．【解答】解：（1）由图可知，搭成1个三角形需要火柴棒：1+2×1＝3（根），搭成2个三角形需要火柴棒：1+2×2＝5（根），搭成3个三角形需要火柴棒：1+2×3＝7（根），搭成4个三角形需要火柴棒：1+2×4＝9（根），…，故这样的三角形有6个时，则需要火柴棒1+2×6＝13（根），故答案为：13；（2）由（1）可得，若这样的三角形有n个时，则需要火柴棒（2n+1）根，故答案为：（2n+1）；（3）令2n+1＝2021，解得n＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现火柴棒根数的变化特点，利用数形结合的思想解答．20．（10分）已知6是关于x的方程x2﹣2ax+3a＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求a的值；（2）求△ABC的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．【分析】（1）直接把x＝6代入方程x2﹣2ax+3a＝0可求出a的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．【解答】解：（1）把x＝6代入方程得36﹣12a+3a＝0，解得a＝4；（2）当a＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）21．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，点E是AB的中点，连接EC，过点E作EF⊥AD，垂足为F，已知AD∥EC．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求线段EF的长．【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CE＝AB＝AE，即可得出结论；（2）由勾股定理得AC＝20，再由菱形的性质得AD＝AE＝，然后证S菱形AECD＝S△ABC，则AD•EF＝BC•AC，即可得出答案．【解答】（1）证明：AB∥CD，AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，点E是AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴平行四边形AECD是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝＝＝20，∵点E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△ACE，由（1）得：AE＝AB＝，四边形AECD是菱形，∴AD＝AE＝，∴S菱形AECD＝2S△ACE，∴S菱形AECD＝S△ABC，∵EF⊥AD，∴AD•EF＝BC•AC，即EF＝×15×20，解得：EF＝12，即线段EF的长为12．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）22．（12分）已知a、b、c是△ABC的三边，a、b使等式a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0成立，且c是奇数，求△ABC的周长．【考点】配方法的应用；三角形三边关系；非负数的性质：偶次方．【