第19讲 九年级上学期开学考数学试卷（测试范围：三角形的证明、因式分解、分式与分式方程、一元二次方程、四边形）（教师版）

北师大版九年级上学期开学考数学试卷测试范围：三角形的证明、因式分解、分式与分式方程、一元二次方程、四边形一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．3x2++6＝0 B．x2﹣1＝（x﹣2）2 C．ax2+bx+c＝0 D．4x2＝0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A、该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意；B、方程化简可得4x＝5，是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、当a＝0时该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D、该方程是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．（3分）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）A．x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1 B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4【考点】因式分解的意义．【分析】利用因式分解的定义判断．【解答】解：x2+5x﹣1＝x（x+5）﹣1，A选项不是因式分解；x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，B选项不是因式分解；x2+6x+9＝（x+3）2，C选项是因式分解；（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，D选项不是因式分解．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义．3．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项中不能判定平行四边形ABCD是菱形的条件是（）A．∠ABD＝∠CBD B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断A，C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断B，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断D．【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵平行四边形ABCD中，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；C．∵平行四边形ABCD中，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．4．（3分）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A． B． C． D．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，则x2﹣3x+＝﹣1+，即（x﹣）2＝，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（3分）如图，E，F分别是▱ABCD的两对边AD，BC的中点，则图中平行四边形一共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再证AE＝ED＝BF＝CF，得四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，则AF∥CE，BE∥DF，然后证四边形GFHE是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：设AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E、F分别为平行四边形ABCD两对边AD、BC的中点，∴AE＝ED＝AD，BF＝CF＝BC，∴AE＝ED＝BF＝CF，∴四边形ABFE、四边形CDEF、四边形AECF、四边形BEDF都是平行四边形，∴AF∥CE，BE∥DF，∴四边形GFHE是平行四边形，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴图中平行四边形一共有6个，故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6．（3分）运用分式的性质，下列计算正确的是（）A． B． C． D．【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的变号法则对A进行判断；根据约分对B．C．D进行判断．【解答】解：A.＝﹣，故A选项错误；B.＝＝，故B选项错误；C.＝＝x﹣y，故C选项正确；D.＝＝，故D选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的性质是解题关键．7．（3分）在平行四边形ABCD中，AD＝8，AF平分∠BAD交直线BC于点F，DF平分∠ADC交直线BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（）A．3 B．5 C．2或3 D．3或5【考点】平行四边形的性质；角平分线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：①如图1，在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴AB＝5；②如图2：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∵EF＝2，∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝8，∴AB＝3；综上所述：AB的长为3或5，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质是解答本题的关键．8．（3分）计算（4y2﹣x2）÷（x2﹣4xy+4y2）的结果是（）A． B． C． D．【考点】整式的除法．【分析】先分解因式，再根据整式除法法则进行计算．【解答】解：原式＝（2y+x）（2y﹣x）÷（x﹣2y）2＝，故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解，整式的除法，关键在于运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）9．（3分）若分式无意义，则x的值为±3．【考点】分式有意义的条件．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意得：|x|﹣3＝0，解得x＝±3．故答案是：±3．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件是分母不等于0，无意义的条件是分母等于0．10．（3分）如图是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE是一个正五边形，则图中∠ABC的度数是108度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，再根据正五边形的各个内角都相等求得∠ABC的度数．【解答】解：∵ABCDE是一个正五边形，∴五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，∴∠ABC＝540°÷5＝108°．【点评】掌握多边形的内角和定理以及正多边形的性质．11．（3分）长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为30．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，∴2（a+b）＝10，ab＝6，故a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝30．故答案为：30．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题关键．12．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD，连接GH，则GH的最小值为．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】连接CG．证明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH＝CD＝，∴CH＝CD﹣DH＝2﹣＝，∴最小值＝CH•sin45°＝×＝．故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，解决此题的关键是△ADE≌△CDG得到∠DCG＝∠DAE＝45°，证明出点G的运动轨迹是射线CG．13．（3分）一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4m＝0，解得m＝．故答案为．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AE＝AD，过点D作DF⊥AE于点F，若AB＝3，BC＝5，则四边形DFEC的面积为3．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】连接DE，由AE＝AD，根据题意求得DC＝DF，由勾股定理，求出AF＝4，从而得出EF＝1，然后把四边形DFEC分成两个直角三角形，从而求其面积．【解答】解：如图：连接DE，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵DF⊥AE，∴∠EDF+∠AED＝90°，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠FDE＝∠CDE，又DE＝DE，∠DFE＝∠C＝90°，∴△CDE≌△FDE（AAS），∴EC＝EF，DC＝DF，∵AB＝3，BC＝5，∴AF＝4，EF＝1，∴S四边形DFEC＝S△CDE+S△EDF＝3×1÷2×2＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．还考查到同角的余角相等，把四边形的面积转化成两个三角形的面积来计算．三．解答题（共6小题，满分58分）15．（5分）先化简，再求值：，b＝a+1．【考点】分式的化简求值．【分析】先将分母分解因式，然后通分，再根据同分母分式加法的法则计算即可化简题目中的式子，然后将b＝a+1代入化简后的式子即可．【解答】解：＝+＝＝＝，当b＝a+1时，原式＝＝﹣．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．16．（15分）解下列方程：（1）；（2）2x2﹣5x﹣1＝0；（3）x2﹣4x+2＝0；（4）（x+3）（x﹣6）＝﹣8．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解分式方程；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可；（2）利用公式法求解即可；（3）利用配方法求解即可；（4）整理为一般式，再利用因式分解法求解．【解答】解：（1）两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：3（x+1）＝2（x﹣1），解得x＝﹣5，检验：当x＝﹣5时，（x+1）（x﹣1）＝24≠0，∴分式方程的解为x＝﹣5；（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，∴△＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，则x＝＝，即x1＝，x2＝；（3）∵x2﹣4x＝﹣2，∴x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，则x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（4）方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣10＝0，则（x﹣5）（x+2）＝0，∴x﹣5＝0或x+2＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．（7分）已知：∠A和∠A一边上的点B．求作：▱ABCD，满足∠A是它的一个内角，且对角线BD⊥AD．【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质；平行四边形的判定．【分析】先过B点作∠A的另一边的垂线得到BD，再分别以B、D为圆心，AD、AB为半径画弧，两弧相交于点C，则四边形ABCD满足条件．【解答】解：如图，▱ABCD为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．18．（9分）某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用4天；如果甲、乙先合做2天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成全部工程所用的时间．【考点】分式方程的应用．【分析】设甲单独完成全部工程需要x天，则乙单独完成全部工程需要（x+4）天，根据甲完成的工程量+乙完成的工作量＝总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲单独完成全部工程需要x天，则乙单独完成全部工程需要（x+4）天，依题意得：+＝1，整理得：2x﹣8＝0，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：甲单独完成全部工程需要4天．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求四边形DEBF的面积S四边形DEBF．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据矩形的性质得出DC∥AB，根据平行线的性质得出∠FDO＝∠EBO，根据全等三角形的判定得出△DFO≌△BEO，根据全等三角形的性质得出DF＝BE，根据平行四边形的判定得出即可；（2）根据菱形的判定推出三角形DEBF是菱形，根据菱形的性质得出DE＝BE，根据勾股定理求出BE，再求出面积即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，∵O是BD的中点，∴DO＝BO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DC∥AB（即DF∥BE），∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，AD＝6，∴BD＝＝＝10，∵四边形DEBF是平行四边形，DE＝DF，∴四边形DEBF是菱形，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，在Rt△DAE中，AD2+AE2＝DE2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，即BE＝，∴四边形DEBF的面积S四边形DEBF＝BE×AD＝×6＝．【点评】本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．（12分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图2，连接QP并延长，分别交AB、CD于点M、N．①求证：PM＝QN；②若MN的最小值为2，直接写出菱形ABCD的面积为8．【考点】四边形综合题．【分析】（1