第19讲 平行线分线段成比例（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第19讲平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例及其推论.2.平行线分线段成比例及其推论的应用.一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式成立.要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：等等.（2）有推论可以得出以下结论：二、把已知线段AB五等分.已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.作法以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式∵AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,∴点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.考点1：A字三角形例1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4例2．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（

）A． B． C． D．2例3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4例4．如图，，，，则的长是（

）A．3 B．4 C．6 D．10例5．如图，在中，若，，，则的长是______．例6．已知：如下图，，，，，则_______．例7．如图，在中，，，，则______．例8．如图，在中，，则的长为_______．例9．如图，已知：中，．(1)若，，，求的长；(2)若，，，求的长．考点2：X字三角形例10．如图，已知，那么（

）A．3 B．4 C．5 D．6例11．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（

）A．4 B．6 C．8 D．例12．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(

)A．5 B．8 C．10 D．15例13．如图，，求的长．考点3：类A字三角形例14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．例15．如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是(

).A． B． C． D．例16．如图，在△ABC中，已知MN∥BC，DN∥MC．小红同学由此得出了以下四个结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确结论的个数为(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点4：类X字三角形例17．如图，若，则有（

）A． B． C． D．考点5：A型平行线分线段成比例例18．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（）A． B． C． D．1例19．如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（

）A． B． C． D．例20．如图，，下面等式成立的是（

）A． B．C． D．考点6：X型平行线分线段成比例例21．如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．例22．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，且，DF=15，则DE=（）A．3 B．6 C．9 D．10考点7：由平行线分线段成比例判断平行或求值例23．已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（）A． B．C． D．例24．已知：，，，则满足关系式的图形是（）

B．

C．

D．

考点8：平行线分线段成比例拓展例25．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（）A． B． C． D．例26．如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．例27．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．例28．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．例29．如图，中，为边上一点，过作交于，为的中点，作交于，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．一、单选题1．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在中，，，若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（

）

A． B． C． D．3．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（

）A． B． C． D．4．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（）A． B． C． D．5．（2020·四川成都·统考中考真题）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6．（2019·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（

）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3二、填空题7．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．8．（2020·吉林·统考中考真题）如图，．若，，则______．三、解答题9．（2018·湖南永州·中考真题）如图1．在△ABC中，矩形EFGH的一边EF在AB上，顶点G、H分别在BC、AC上，CD是边AB上的高，CD交GH于点I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好为正方形．（1）求正方形DFGI的边长；（2）如图2，延长AB至P．使得AC＝CP，将矩形EFGH沿BP的方向向右平移，当点G刚好落在CP上时，试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG，将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N，求△MNG′的周长．一、单选题1．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(

)A． B． C． D．2．中，直线交于，交于点，那么能推出的条件是（

）A． B． C． D．3．如图，已知：AB、CD相交于点O，由下列哪一组条件可以推出AC∥BD（

）A．， B．C． D．4．如图，已知直线a//b//c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，则＝()A． B． C． D．15．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，BE的延长线交AD于点G，且，则下列结论中错误的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则（

）A． B．2 C． D．7．如图，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（

）A． B．C． D．8．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，，已知，则的长是A． B．3 C． D．410．在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．二、填空题11．如图，已知，、交于点，若，则______．12．如图，已知，则______，______，______，______．13．如图，，如果，那么________．

14．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.16．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．17．如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是_____．18．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．三、解答题19．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB的长．20．已知，如图，在中，，求证：

(1)(2)．21．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行．(1)，，，；(2)，，，；(3)，，，；(4)，．22．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，求的值．23．如图，为平行四边形的对角线上一点，，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值．

24．在中，，，、分别为、的中点，与的延长线交于点，求证：．

25．如图，中，过D的直