3.3 圆的对称性（第2课时）教学课件

第三章圆3.3圆的对称性（2）学

习

目

标12理解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．掌握垂径定理内容，能准确区分条件与结论，规范书写几何推理语言．3会运用垂径定理解决求弦长、半径、弦心距等问题，能结合实际模型分析求解．知识回顾什么样的图形叫做轴对称图形？

如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴．圆是轴对称图形吗？若为轴对称图形，它有多少条对称轴？

圆是轴对称图形．经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴．问题引入

假如你手里有一张圆形的纸片，在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，你能否只通过折纸的方式，快速、准确地找到它的圆心？数学活动1．如图，在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折，

你发现了什么？OAB直径两旁的部分完全重合.数学活动2．如图，任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D

关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？OABCDP

点C、D关于直线

AB对称.圆上任意一组到直线

AB距离相等且分别在

AB两侧的点都关于

AB对称．新知归纳圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．

注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴．通过以上活动，我们得到如下结论：观察思考根据圆的轴对称性，你能在图中找到哪些相等关系？OCDPAB

叠合法观察思考找出的相等关系，你能给出证明吗？OCDPAB

新知归纳垂径定理垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．①②条件③④结论知二推三①

AB是⊙O的直径，

②

AB⊥CD于点P③

PC＝PD，

OCDPAB新知巩固下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由．是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE怎样修改图

(2)、(4)能够满足垂径定理的条件？(1)(2)(3)(4)

垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”．这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?例题讲解例2

如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝10．

求直径CD的长．OABCDE分析：①

看到垂直于弦的直径，你能联想到什么？②

要求直径CD，可以先求什么？③

图中有哪些半径？④

直角三角形三之间边有什么关系？例题讲解例2

如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝10．

求直径CD的长．OABCDE例题讲解例2

如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝10．

求直径CD的长．OABCDE解：如图，连接OA．设

OA＝r，则

OE＝OC－CE＝r－1．∵AB⊥CD，AB＝10，∴AE＝EB＝5（垂径定理）．在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2．∴r2＝52＋(r－1)2．解这个方程，得

r＝13．∴CD＝2r＝2×13＝26．思路总结：见垂直，想定理，得半弦；连半径，构直角，列方程．变式训练∟·

如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE＝3．

求弦CD的长．OABE

CD归纳总结OAB.

CPDdar1．垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”．

2．在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形．求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求．hd＋h＝r弦心距└EACDBO例题讲解例3

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于

C，D．求证：AC＝BD．方法1：连接OA，OB，OC，OD．证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)．方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明．方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证．哪种方法更简洁？└EACDBO例题讲解例3

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于

C，D．求证：AC＝BD．解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E．∵OE⊥AB，∴

AE＝BE，CE＝DE

(垂径定理)．∴AE－CE＝BE－DE，即

AC＝BD．方法总结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长．新知巩固1．问题引入中，你能在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，只通过折纸的方式，快速、准确地找到圆形纸片的圆心吗？O折痕的交点为圆心O└新知巩固NM

ACDBO

新知巩固

∟3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动．

求OP的取值范围．·OABCP探究交流

在一个给定的圆中能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形．

(1)

正三角形；

(2)

菱形；

(3)

梯形．·OAEFBC解：(1)正三角形可以作出．作法如下：

①

在圆周上任取一点A；

②

以A为圆心、圆半径长为半径画弧，

交⊙O于E、F；

③

分别以E、F为圆心、圆半径长为

半径画弧，交⊙O于B、C；

④

顺次连接A、B、C．△ABC即为圆内接正三角形．探究交流·

在一个给定的圆中能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形．

(1)

正三角形；

(2)

菱形；

(3)

梯形．解：(2)菱形：只有正方形这种特殊菱形能内接

于圆，普通菱形不行．

正方形的作法如下：

①

作直径AC；

②

过O点作直径AC的垂线，交⊙O于B、D；

③

顺次连接A、B、C、D．

四边形ABCD即为圆内接正方形．OACBD解：(3)梯形：可以作出圆内接等腰梯形．

圆内接等腰梯形的作法如下：

①

画一条弦CD；

②

分别以C、D为圆心，相同的半径为半径

画弧，分别交⊙O于A、B；

③

连接AC、AB、BD．

四边形ABCD即为圆内接等腰梯形．探究交流·

在一个给定的圆中能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形．

(1)

正三角形；

(2)

菱形；

(3)

梯形．OCDAB能力提升└1．如图，过⊙O内一点P画弦AB，满足什么条件时，P是AB的中点？

说明理由．·OPAB·解：当AB⊥OP时，P是AB的中点．

理由如下：∵直线OP经过圆心O，AB⊥OP，

根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，∴P是弦AB的中点．能力提升2．如图，AB、AC为是⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6．

求⊙O的半径．解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足分别为

D、E，连接OA．DE└└在矩形ADOE中，在Rt△OAD中，由勾股定理得，

∴⊙O的半径为5．·OABC能力提升3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB

为

0.6m，积水的最大深度为

0.1m．

(1)

求此下水管道横截面的半径；

DC└能力提升3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽