2.4 用一元二次方程解决问题（第3课时）教学设计

.4用一元二次方程解决问题（3）教学设计1.教学内容本课为新教材苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.4“用一元二次方程解决问题（3）”。核心知识点：1.销售利润模型：总利润=单件利润×销量；2.分段收费模型：先判区间，再以“人数×人均收费=总收入”列式2.内容解析本节课继续深化“实际问题—列方程—求解—检验”的数学建模思想，以“价格变化引起的利润变化”和“分段收费”两类典型情境为载体，要求学生在列表比较中抽象出待定量，用两种乘积关系构建一元二次方程，再利用求根公式或因式分解得解，并能将隐含条件（盈利为正、单价不低于下限、人数为整数等）转化为根的筛选标准。通过对例4、例5及变式的递进训练，学生既巩固了列方程技巧，又体会到函数思想和分段思想在初中代数中的价值。课堂重在把“区间判断—代数表示—方程建立—根的检验”串成完整链条，帮助学生形成可迁移的解决问题策略。1.教学目标•掌握销售利润问题等量关系：总利润=单件利润•掌握分段收费解题步骤：判断区间→用含参代数式表示单价→依据“人数×人均单价＝总收入”列方程。•熟练检验方程的根，结合题目限制条件舍去不符合实际的解。2.目标解析•能够先算出分界点费用，判断未知数区间，再写出对应的人均收费式a-•求得的根能逐一代入原式与约束，指出舍弃理由，答案表述完整（含价、量等关键量）。3.重点难点•教学重点：两类模型的等量关系与方程建立方法。•教学难点：分段收费的区间判断与代数表示。学生已掌握一元一次方程及基本一元二次方程求根方法；具有简单的列表与数量关系分析经验。对“列方程”已有初步经验，但面对变量相互联动或分段条件的实际题，易出现符号混淆与区间判断失误。可能困难：1将“利润增减”同时体现在单价与销量的反向变化；2解析分段函数的临界点，并据此选择正确的代数式；3理解增根产生原因，做到规范的根的检验与舍选。教学对策：•借助表格与数形结合直观呈现量变关系；•设置“极端值”及“反例”强化区间判断；•通过多媒体演示“单价—销量—利润”动态变化，培养函数视角；•设计同伴互评环节，强化检验与规范表述意识。创设情景，引入新课问题情境：教师提问：同学们，假如你经营一家饮品店，原本每天能卖出200杯鲜果茶，每杯赚8元。为了吸引更多顾客，你计划降价促销。但降价多少既能让顾客受益，又能保证每天1800元的利润呢？

学生自由发言，提出猜想

教师提问：这正是我们今天要解决的“销售利润问题”。同样，在旅游、快递等行业，还会遇到“分段收费”问题——先按常规收费，人数或重量超过某一临界点后，再按优惠价计算。你能想到怎样用数学模型来处理吗？

学生自由讨论

教师总结：要搞定这些实际问题，我们需要借助“用一元二次方程建模并求解”的方法。今天的学习目标有三个：1.掌握销售利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销量，并能根据“涨价/2.熟练掌握分段收费问题的四步法：判区间→列单价式→列方程→验根；能结合题目中的成本、最低收费等限制，检查并舍去不符合实际的方程根。【设计意图】通过贴近生活的“鲜果茶促销”情境激活学生已有经验，提出“降价多少”“怎样定价”等真实问题，激发探究兴趣，明确本节课的学习目标与方向。探究点：销售利润模型的建构与应用1.例题讲解例4饮品店销售某种鲜果茶，平均每天可售出200杯，每杯盈利8元．饮品店降价促销，发现该鲜果茶的单价每降1元，平均每天可多售出50杯，饮品店要想使该鲜果茶的利润达到1800元/天，那么应降价多少元？分析：①不降价时，每天卖200杯，每杯盈利8元，总利润是多少？②如果每降1元多卖50杯，降2元多卖多少杯？降x元呢？③降价后，利润如何计算？设该鲜果茶的单价降x元，可以列表分析如下：等量关系：总利润＝单件利润×销量解：设该鲜果茶的单价降了x元．根据题意，得(8－x)(200＋50x)＝1800，化简，得x2－4x＋4＝0解这个方程，得x1=x答：该鲜果茶的单价需降2元．检验根的实际意义：降价2元后，每杯盈利：8－2＝6＞0，不亏本，符合经营逻辑；降价后销量：200＋50×2＝300＞0，销量为正数，合理；总利润：6×300＝1800，与目标一致．2.新知巩固：1．某网店销售一种防晒衣，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元/件时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．网店要想盈利2000元，需要卖出多少件防晒衣？应如何定价？解法1：设每件涨价x元，则定价为(50＋x)元，单件利润为(50＋x－40)＝(10＋x)元销量为(200－10x)件．根据题意，得(50＋x－40)(200－10x)＝2000，化简，得x2－10x＝0解这个方程，得x1＝0，x2＝当x＝0时，定价50元，单件利润＝10＋0＝10元，销量＝200－10×0＝200件；当x＝10时，定价60元，单件利润＝10＋10＝20元，销量＝200－10×10＝100件．两组解单件利润、销量均为正数，都符合题意．答：定价50元卖出200件，或定价60元卖出100件．（结合单件利润、销量等隐藏约束条件，检验根，舍去不合理的解）解法2：设售价为x元，则单件利润为(x－40)元，销售量为[200－10(x－50)]件．根据题意，得(x－40)[200－10(x－50)]＝2000，化简，得x2－110x＋3000＝0解这个方程，得x1＝50，x2＝当x＝50时，单件利润＝50－40＝10元，销量＝200－10(50－50)＝200件；当x＝60时，单件利润＝60－40＝20元，销量＝200－10(60－50)＝100件．两组解单件利润、销量均为正数，都符合题意．答：定价50元卖出200件，或定价60元卖出100件．2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价0.5元，每星期可多卖出10件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？解法1：设该商品应降价x元，则销售单价定为(60－x)元．根据题意，得(60－x－40)(300＋100.5×x)＝解这个方程，得x1＝4，x2＝∵要使顾客实惠，∴x＝4．∴定价为60－4＝56元．答：应将销售单价定为56元．解法2：设销售单价定x元．根据题意，得(x－40)[300＋100.5×(60－x)]＝解这个方程，得x1＝59，x2＝∵要使顾客实惠，∴x＝56．答：应将销售单价定为56元．3.新知归纳销售利润问题：价格变化引起单件利润和销量的联动变化．设降（涨）价x元．降价类：(原单件利润－x)×(原销量＋每降1元增量·x)＝总利润；涨价类：(原单件利润＋x)×(原销量－每降1元增量·x)＝总利润．易错点：1．符号混淆：降价时利润用减、销量用加；涨价题则利润加、销量减；2．忘记检验：既要检验符合方程，又要检验是否满足其它的附加条件；3．答语要完整：不仅要回答降价/涨价多少，有时还需回答销售量和定价．4.例题讲解例5某旅行社推出云南跟团游活动，下面是收费信息：这次活动中旅行社的收入为14万元，你能确定参加活动的人数吗？∵30×4000＝120000_＜_140000，∴参加这次旅游的人数x_＞_30人．∵增加了_(x－30)_人，∴人均收费降低了50(x－30)元，∴每个人实际交费4000－50(x－30)元．根据等量关系：“_总收入＝人数×人均单价_”建立方程．因为人均收费不低于_2750_元，所以必须检验求得的解是否符合题意．解：设参加活动的共有x人，由4000×30＜140000，可知x＞30．根据题意，得x[4000－50(x－30)]＝140000．化简整理，得x2－110x＋2800＝0解这个方程，得x1＝40，x2＝当x＝40时，4000－50(x－30)＝4000－50×(40－30)＝3500＞2750．当x＝70时，4000－50(x－30)＝4000－50×(70－30)＝2000＜2750．(不合题意，舍去)答：共有40人参加活动．变式训练若旅行社收入为146250元，则有多少人参加活动？解：设参加活动的共有x人，由4000×30＜140000，可知x＞30．根据题意，得x[4000－50(x－30)]＝146250.化简整理，得x2－110x＋2925＝0解这个方程，得x1＝45，x2＝当x＝45时，4000－50(x－30)＝4000－50×(45－30)＝3250＞2750．当x＝65时，4000－50(x－30)＝4000－50×(65－30)＝2250＜2750．(不合题意，舍去)答：共有45人参加活动．5.讨论交流解决分段收费问题的基本步骤是什么？(1)确定“分界点”，判断“所在区间”：找出题目中收费标准发生变化的临界数值，计算临界点时的费用，将目标值与临界值比较，判断未知数位于哪个区间；(2)列出“分段代数式”：根据判断出的区间，用含未知数的式子表示出该区间下的单价或费用；(3)建立方程并求解：利用等量关系（如：人数×人均单价＝总收入）列出一元二次方程，并解出根；(4)双重检验，舍去增根：解出的根必须在第二步判断的区间内，且检验人数是否为非负整数，并判断价格是否低于最低限价．【设计意图】通过“分段收费”典型题，强调“四步法”解题流程，重点训练“判区间—列分段式—建立方程—双重检验”能力，帮助学生克服“见数就代”“忽视限制”两大误区，提升数学建模与逻辑推理水平。某旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．某单位组织员工到该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元．问：(1)该单位去风景区旅游的人数是否超过25？解：(1)当该单位去风景区旅游的人数为25时，旅游费用为25×1000＝25000(元)，∵27000＞25000，∴该单位去风景区旅游的人数超过25．(2)该单位去风景区旅游的人数是多少？解：(2)设该单位去风景区旅游的人数为x，则人均费用为[1000－20(x－25)]元，根据题意，得x[1000－20(x－25)]＝27000，整理，得x2－75x＋1350＝0解得