3.6 正多边形与圆（基础达标）（解析版）

3.6正多边形与圆题型一求正多边形的中心角1．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形ABCDEF为正六边形，连接AC,CF，则∠ACF的度数为（

）A．35° B．32° C．25° D．30°【答案】D【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，连接AO，由正多边形的性质，得到∠AOF=60°，OA=OC，则∠ACF=∠OAC，再根据三角形外角的性质求解即可.【详解】解：设正六边形ABCDEF的中心为O，连接AO，则∠AOF=360°6=60°∴∠ACF=∠OAC，∴∠ACF=12．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____度．【答案】1209060【详解】解：正三角形边数n=3，中心角为360°3正方形边数n=4，中心角为360°4正六边形边数n=6，中心角为360°63．已知正多边形一个内角的度数是150°，那么该正多边形中心角的度数是_____．【答案】30°【详解】解：∵该正多边形的一个内角为150°，∴该正多边形的一个外角为180°-150°=30°，∵任意多边形的外角和为360°，∴该正多边形的边数n=360°∵正多边形的中心角和为360°，∴该正多边形的中心角为360°124．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________°．【答案】90【详解】解：∵俯视图呈正八边形，∴正八边形的中心角为360°8即∠AOB=∠BOC=∠COD=45°，∵△OCD是由△OAB绕着点O按逆时针方向旋转得到的，∴线段OA旋转后的对应线段为OC，线段OB旋转后的对应线段为OD，∴旋转角为∠AOC，∴旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+45°=90°．题型二与边长有关的计算1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则AB的长为（

）A．2 B．3 C．3 D．2【答案】B【详解】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，∴∠AOB=360°6=60°∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3．2．已知圆的内接正四边形的边长为4，则这个圆的内接正六边形的边长为______．【答案】2【详解】解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：∵四边形ABCD是正四边形，∴∠AOB=360°又∵AB=4，∴OA=OB,AB∴OA=OB=2正六边形如图所示：连接ON,OM，则∠AOB=360°÷6=60°，∵NO=OM，∴△ONM是等边三角形，∴MN=ON=22故答案为：223．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______．【答案】8【详解】解：如图，由题意：∠AOB=360°6=60°∴△AOB为等边三角形，∴AB=OA=8，即这个正六边形纸片的边长是8．故答案为：8．4．将四个正六边形按如图所示的方式摆放在如图所示的圆中，顶点A，B，C，D，E，F均在圆上．若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长为_____．【答案】13-1/【详解】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，连接MD交ON于R，∵两个大正六边形的边长均为4，∴由正六边形对称性可知，OM=OP=EN=DN=2，由正六边形的性质可得∠ORM=∠DRN=30°，∴RM=2OM=4，RD=2DN=4，∴OR=RM2∴ON=OR+RN=43∴OD=D∴MF=213由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH=1故答案为：13-1题型三与面积有关的计算1．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4 m的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________m【答案】24【详解】解：如图，设正六边形的中心为O，连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D∵多边形是正六边形∴∠AOB=∴△∴OA=OB=AB=4∵OD⊥AB∴AD=在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD=∴∴正六边形的面积为：6×S△2．如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是______．【答案】2+42/【详解】解：∵正方形面积是2，∴其边长为：2，如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，∵正八边形的每个内角为180°-360°∴∠AEF=45°，∴△AEF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE=∴AB=2∴正八边形的面积为：S==4+42∴非阴影部分面积是S正八边形故答案为：2+423．苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形ABCDEF的中心．若CD=1【答案】3【详解】解：∵ABCDEF是正六边形，点O为中心，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，OC=OD，∴∠COD=360°÷6=60°，∴△COD是等边三角形，∴OC=CD=1，正六边形的面积为6S过点O作OH⊥CD，如图所示：∴CH=1∵OH⊥CD，∴OH=C∴6S故答案为：334．如图所示正六边形ABCDEF的面积为6，点M是边EF的中点，连接AE、CM相交于N，若四边形AFMN的面积记作a，四边形CDEN的面积记作b，则b-a的值是（

A．32 B．1 C．3 D．【答案】B【详解】解：连接AD,BE,CF,CE，如图所示：

由正六边形的对称性可知：S∠AOF=∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=360°÷6=60°∴△AOF，∴四边形AOEF,OCDE是菱形S同理，S∵S∴S∵点M是边EF的中点∴S∵S∴Sb-a=故选：B题型四求正多边形的边数1．如图，AB为弦，若∠ABC=30°，弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（

）A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形【答案】B【详解】解：如图，连接OA,OC，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°∵弦AC是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为36060即该正多边形为正六边形2．如图，点A,B,C,D为一个正多边形的部分顶点，点O为正多边形的中心，若∠AOD=120°，则这个正多边形的边数为（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【详解】解：如图：连接OC、∵点O为正多边形的中心，∠AOD=120°，∴∠AOB=1∴360°÷40°=9，∴这个正多边形的边数