陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考理科数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页陕西省西安地区八校2023届高三下学期第二次联考理科数学试题一、单选题（本大题共12小题）1.已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2.已知为虚数单位，，则复数（

）A． B． C． D．3.设等差数列的前项和为，且，，则（

）A．285 B．302 C．316 D．3634.已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5.若焦点在轴上的双曲线的离心率为3，则与的关系为（

）A． B． C． D．6.在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量（

）A． B． C． D．7.执行图示程序框图，则输出的值为（

）A． B． C．0 D．38.排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（

）A．30 B．60 C．120 D．3369.根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（

）2456830405070A．60 B．55 C．50 D．4510.已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．11.已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（

）A．67.5π B．π C．π D．π12.将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数的图象，则下列描述不正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．点是函数的图象与轴最近的一个对称中心C．的值域与缩小的倍数无关D．直线是函数的图象与轴最近的一条对称轴二、填空题（本大题共4小题）13.展开式的常数项为______.14.过三点、、的圆的圆心坐标为___________.15.已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为___________.16.已知数列和数列，，.设，则数列的前项和_________.三、解答题（本大题共7小题）17.设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，.(1)求C的值；(2)若，求的面积.18.红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为.(1)求的分布列和数学期望；(2)若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率.19.如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，、分别是、的中点.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.20.已知函数（自然对数的底数）在点处的切线方程为.(1)求、的值；(2)试判断函数在区间内零点的个数？说明你的理由.21.已知椭圆：的焦点为、，离心率为，直线：，、在直线上的射影分别为M、N，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，，求的面积的最大值.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数，）.以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为.(1)若，在极坐标系中，直线经过点，求的值；(2)若，直线与曲线S交于A、B两点，求的最小值.23.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)当时，求证：.

参考答案1.【答案】B【分析】根据集合的交集运算即可求得答案.【详解】由题意集合，集合，则，故选：B2.【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】由得，故选：D3.【答案】B【分析】由题意列方程可得，解方程即可求出，由等差数列的通项公式即可求出答案.【详解】由，可得：，解得：.则.故选：B.4.【答案】C【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案.【详解】由函数是实数集上的减函数，又所以，解得故选：C5.【答案】C【分析】由题意可得，化简不等式即可得出答案.【详解】焦点在轴上的双曲线的方程化简为，则离心率为，解得：，则.故选：C.6.【答案】A【分析】作出图形，根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】如图，为的重心，延长交于点，由题意可知，，所以，所以，故选：A.7.【答案】B【分析】根据程序框图模拟运行即得.【详解】执行框图，可得：第一次循环：，则，此时；第二次循环：，则，此时；即，故跳出循环，输出.故选：B.8.【答案】B【分析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案.【详解】将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.所以种不同坐法.故选：B9.【答案】A【分析】先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解.【详解】由表中数据，计算，，因为回归直线方程过样本中心，，解得，故选：A10.【答案】D【分析】正四面体的外接球球心在正四面体的高上，由可构建外接球半径与棱长的关系，求出半径．【详解】如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为，∵正四面体棱长为，∴，，，，由得，解得，∴．故选：D．11.【答案】A【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为.故选：A12.【答案】D【分析】由图形变换得出的解析式，根据直线函数的图像性质对选项进行逐一判断即可.【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到.则函数的最小正周期为，故选项A正确.函数的对称中心满足：，即当时，，当时，所以函数的图象与轴最近的一个对称中心为，故选项B正确.函数的值域为，函数的值域为，故选项C正确.函数的对称轴：，即当时，，当时，函数的图象与轴最近的一条对称轴为：，故选项D不正确.故选：D13.【答案】【分析】求出展开式的通项，再令未知数的指数等于零，即可得解.【详解】展开式的通项为，令，得，所以展开式的常数项为.故答案为：.14.【答案】【分析】根据圆上点坐标列方程，从而圆的方程可求，即可求出圆的圆心坐标.【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：，所以，所以圆的方程为：.故答案为：.15.【答案】或【分析】由题意可得出，，解方程即可得出答案.【详解】点在抛物线：上，所以，解得：，点为抛物线的焦点，且，由抛物线的定义可得：，解得：或.抛物线的标准方程为或故答案为：或16.【答案】【分析】首先根据所给的以及求出,再结合错位相减法即可求得.【详解】,,则，①，②，两式相减得，即，变形化简可得.故答案为：17.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合角的范围求出，，然后利用三角之和为可得，即可求解；（2）利用正弦定理可得，结合（1）可求得，继而用正弦定理求出，，即可求得面积【详解】（1）∵A、B、C是的内角，得，又，，∴，，∴，∴.（2）由正弦定理可得，∵，，，，∴，得，∴由正弦定理可得，得，.∴的面积为.18.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)【分析】（1）分析骰子向上的面是1或6的各种情况，列出的可能取值及其对应概率即可作出分布列，再按照数学期望的方法计算即可.（2）由（1）知游戏小组一局游戏得分的概率，继而可得符合情况的概率.【详解】（1）由条件可知：当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为，向上的面不是1或6的概率为.∴，，，.∴的分布列为03060的数学期望为.（2）由（1）可知，游戏小组一局游戏.记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件.则.故答案为：19.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在平面内作直线于，易得，从而得到，再利用线面垂直的判定地理得到平面，进而有，再根据证明；（2）以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式求解.【详解】（1）证明：如图所示：在平面内作直线于，连接，∵，.∴.在与中，，、公用.∴.∴.即，即.∵，，.∴平面，又在平面内.∴.∵、分别是、的中点，得.∴.（2）由（1）知，，，，，是二面角的平面角，故.即.∴直线、、两两互相垂直，且相交于一点.以为原点，分别以直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，，.得，.∴，.设平面的一个法向量为，则即取，得，.∴.又平面的一个法向量为.设二面角的大小为，结合图形，知为钝角.∴.∴二面角的余弦值为.20.【答案】(1)，(2)有两个零点，理由见解析【分析】（1）由切点符合切线方程，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，列方程组，解出、的值；（2）由（1）得出函数的解析式，将在区间内零点的个数，转为在区间内零点的个数，对求导，判断出单调性和极值，得出零点个数．【详解】（1）的定义域为.，，，∵在点处的切线方程为，切线的斜率为.，解得，.（2）由（1）知，.∴（为自然对数的底数）.在区间内有两个零点.理由如下：∵总成立，∴在区间内零点的个数等价于在区间内零点的个数，∵，.又∵，由，得.当时，得，得，即，在上单调递减.当时，得，得，即，在上单调递增.∴在处取得极小值，也是最小值..综上所述，在区间和区间内各有唯一零点，即在区间内有两个零点.∴函数在区间内有两个零点.21.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据射影可求出，结合离心率即可求得椭圆方程；（2）设点坐标，联立直线与椭圆方程，使判别式大于零解得m的取值范围，求出弦长及点到直线的距离，写出面积的式子，构造新函数，求导求单调性求最值即可.【详解】（1）解：因为直线：的斜率为-1，所以倾斜角为，所以，即椭圆的焦距，，由椭圆的离心率为，得，得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）由消去，得，令，解得，设，，则，，所以，而点到直线的距离为，所以，设，，所以，，由得，，，当时，点在直线上.故将舍去.当变化时，和的变化情况如下表-223+0-0+0-极大值0极大值因为，，所以，即，故的面积的最大值为.22.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点的极坐标求出点的直角坐标，再将和点的直角坐标代入直线的参数方程即可得解；（2）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，再分和两种情况讨论求出直线所过的定点，再根据当Р为AB的中点时最小，结合圆的弦长公式即可得解.【详解】（1）设点的直角坐标为，因为点的极坐标为.∴，，∴当时，得解之，得∴；（2）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，∴曲线S是以为圆心，半径的圆，当时，若，化直线的参数方程为普通方程：，直线过定点，若，直线的普通方程为：，直线也过点，∴直线恒过定点，∵，∴点Р在圆C内，∴当