四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高一新生上学期入学考试数学试题

2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高一（上）入学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）下列各组对象不能构成集合的是（）A．某班级上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数2．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，2，3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∈M D．5∉M3．（5分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，那么（x1+1）（x2+1）的值是（）A． B． C． D．﹣64．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜3}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣3} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|﹣3≤x＜1}5．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（）A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0 B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0 C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0 D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤06．（5分）设命题p：m≥，命题q：一元二次方程x2+x+m＝0有实数解．则￢p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）设集合A＝{﹣1，1}，集合B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）不能是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，1）8．（5分）设集合A，B，C均为非空集合．（）A．若A∩B＝B∩C，则A＝C B．若A∪B＝B∪C，则A＝C C．若A∩B＝B∪C，则C⊆B D．若A∪B＝B∩C，则C⊆B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）在下列命题中，真命题有（）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0（多选）10．（5分）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2（多选）11．（5分）若＜＜0，则下列不等式成立的是（）A．＜ B．|a|+b＞0 C．a﹣＞b﹣ D．a2＞b2（多选）12．（5分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）A．集合A＝{0}为闭集合 B．集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合 C．集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≥m}，若M∩N＝M，则m的取值范围是．14．（5分）下面六个关系式：①∅⊆{a}；②a⊆{a}；③{a}⊆{a}；④{a}∈{a，b}；⑤a∈{a，b，c}；⑥∅∈{a，b}，其中正确的是．15．（5分）某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有人．16．（5分）二次函数y＝x2+（a﹣1））x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}，求∁RA，∁R（A∩B），（∁RA）∩B．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，非空集合B＝{x|a+2≤x+1≤3a}．（1）当a＝3时，求（∁RA）∪B；（2）若A∩B＝{x|a+1≤x≤5}，求a的取值范围．19．（12分）已知A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2﹣12＝0}．（1）若A∩B＝A，求实数a的值．（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．20．（12分）已知集合A的元素是由方程（a2﹣1）x2+2（a+1）x+1＝0的实数解构成．（1）若A为空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．21．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若命题p：∀x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围；（2）若命题q：∃x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围．22．（12分）已知函数y＝x2﹣2ax+a（1）设a＞0，若关于x的不等式y＜3a2+a的解集为A，B＝[﹣1，2]，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围．（2）方程y＝0有两个实数根x1、x2，①若x1、x2均大于0，试求a的取值范围．②若，求实数a的值．

2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高一（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）下列各组对象不能构成集合的是（）A．某班级上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数【考点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性；集合的表示法．【答案】B【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论．【解答】解：根据集合中元素的确定性可知，“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合．故选：B．2．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，2，3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∈M D．5∉M【考点】补集及其运算；元素与集合关系的判断．【答案】C【分析】由补集定义求出M＝{4，5}，由此能求出结果．【解答】解：设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，2，3}，则M＝{4，5}，∴2∉M，3∉M，4∈M，5∈M．故选：C．3．（5分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，那么（x1+1）（x2+1）的值是（）A． B． C． D．﹣6【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】C【分析】由根与系数的关系可得以x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣，从而计算得解．【解答】解：因为x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，所以x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣，所以．故选：C．4．（5分）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜3}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣3} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x＜3} D．{x|﹣3≤x＜1}【考点】交集及其运算．【答案】C【分析】根据集合的交集运算可得答案．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x＜3}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选：C．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，下列￢p形式正确的是（）A．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1≥0 B．￢p：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0 C．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0 D．￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≤0【考点】全称命题的否定．【答案】B【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果，并判断真假即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，则￢P：∃x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，故选：B．6．（5分）设命题p：m≥，命题q：一元二次方程x2+x+m＝0有实数解．则￢p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【答案】A【分析】可得￢p：m＜，由二次方程的解的问题可得q：m≤，由集合的包含关系可得答案．【解答】解：∵命题p：m≥，∴￢p：m＜，由一元二次方程x2+x+m＝0有实数解可得Δ＝1﹣4m≥0，解得m≤，因为集合{m|m＜}是集合{m|m≤}的真子集，故￢p是q的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）设集合A＝{﹣1，1}，集合B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，若B≠∅，B⊆A，则（a，b）不能是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，1）【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】B【分析】根据B⊆A，分类讨论即可求解．【解答】解：∵A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2﹣2ax+b＝0}，又B≠∅，B⊆A，①当B＝{﹣1}时，则，∴；②当B＝{1}时，则，∴；③当B＝{﹣1，1}时，则，∴，综合可得（a，b）可以为（﹣1，1），（1，1），（0，﹣1），故选：B．8．（5分）设集合A，B，C均为非空集合．（）A．若A∩B＝B∩C，则A＝C B．若A∪B＝B∪C，则A＝C C．若A∩B＝B∪C，则C⊆B D．若A∪B＝B∩C，则C⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】C【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题，则可以举反例．【解答】解：由于集合A，B，C均为非空集合，所以对于A，若A∩B＝B∩C，则A＝C是假命题，例如A＝{1，2，3}，B＝{1}，C＝{1，2}，满足A∩B＝B∩C，但A≠C；对于B，若A∪B＝B∪C，则A＝C，是假命题；例如A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{1，2}，满足A∪B＝B∪C，但A≠C；对于C，由于C⊆B∪C，已知A∩B＝B∪C，所以C⊆A∩B，则C⊆B成立；故C正确；对于D，若A∪B＝B∩C，则C⊆B是假命题，例如A＝{1}，B＝{1，2，3}，C＝{1，2，3，4}，满足A∪B＝B∩C，但是B⊆C．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）在下列命题中，真命题有（）A．∃x∈R，x2+x+3＝0 B．是有理数 C．∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10 D．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用；全称量词和全称命题．【答案】BC【分析】直接利用关系式的变换判定A和B，利用赋值法的应用判定C和D的正误．【解答】解：由于，故A错误；由于x为有理数，所以也为有理数，故B正确；当x＝70，y＝100时，3x﹣2y＝10，故选项C正确；当x＝1时，x3﹣x2+1＞0，故D错误．故选：BC．（多选）10．（5分）已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】ABC【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B⊆A，若a＝﹣1，A＝[﹣2，+∞），符合题意，A对；若a＝1，A＝（﹣∞，2]，符合题意，B对；若a＝﹣2，A＝[﹣1，+∞），符合题意，C对；若a＝2，A＝（﹣∞，1]，不符合题意，D错；故选：ABC．（多选）11．（5分）若＜＜0，则下列不等式成立的是（）A．＜ B．|a|+b＞0 C．a﹣＞b﹣ D．a2＞b2【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【答案】AC【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，即可依次求解．【解答】解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，对于A，∵a+b＜0，ab＞0，∴，，∴，故A正确，对于B，∵b＜a＜0，∴﹣b＞﹣a＞0，∴﹣b＞|a|，即|a|+b＜0，故B错误，对于C，∵＜＜0，b＜a＜0，∴，故C正确，对于D，∵b＜a＜0，∴b2＞a2，故D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）A．集合A＝{0}为闭集合 B．集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合 C．集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合 D．若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合【考点】元素与集合关系的判断．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识应用，分别判断a+b∈A，且a﹣b∈A是否满足，即可得到本题的答案．【解答】解：对于A，根据闭集合的定义，得到0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A．故A正确；对于B，当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝（﹣4）+（﹣2）＝﹣6∉A．故A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}不是闭集合．故B错误；对于C，由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故A＝{n|n＝3k，k∈Z}是闭集合．故C正确；对于D，假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，可知集合A1、A2都为闭集合，取3∈A1，5∈A2，但是3+5＝8∉A1∪A2，所以A1∪A2不是闭集合，故D错误．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（5分）已知集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≥m}，若M∩N＝M，则m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【考点】交集及其运算．【答案】（﹣∞，﹣2]．【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：M∩N＝M，则M⊆N，集合M＝{x|﹣2＜x≤3}，N＝{x|x≥m}，则m≤﹣2，故m的取值范围为（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．14．（5分）下面六个关系式：①∅⊆{a}；②a⊆{a}；③{a}⊆{a}；④{a}∈{a，b}；⑤a∈{a，b，c}；⑥∅∈{a，b}，其中正确的是①③⑤．【考点】元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．【答案】①③⑤．【分析】根据题意，利用集合与集合、元素与集合的关系加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆{a}；故①正确；由元素与集合的关系，可知a∈{a}，而不是a⊆{a}，故②错误；根据任意集合是它本身的子集，可知{a}⊆{a}，故③正确，由集合与集合的关系，可知{a}⊆{a，b}而不是{a}∈{a，b}，故④错误；由元素与集合的关系，可知a∈{a，b，c}，故⑤正确；由集合与集合的关系，可知∅⊆{a，b}而不是∅∈{a，b}，故⑥错误．故答案为：①③⑤．15．（5分）某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有9人．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【答案】见试题解答内容【分析】用方程思想解题：设两门都得优的人数是x人，则依据“数学得优人数+语文得优人数+两门都得优人数+两门都不得优人数＝40”列出方程．【解答】解：设两门都得优的人数是x，则依题意得（23﹣x）+（20﹣x）+x+6＝40，整理，得：﹣x+49＝40，解得x＝9，即两门都得优的人数是9人．故答案为：916．（5分）二次函数y＝x2+（a﹣1））x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为．．【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】先根据函数的零点求a，再把a代入解不等式即可．【解答】解：因为函数只有一个零点，所以Δ＝（a﹣1）2﹣4＝0，解方程得a＝﹣1或a＝3，因为a＞0，所以a＝3．3x2﹣8x﹣3≥0，因式分解（3x+1）（x﹣3）≥0，得x≤或x≥3，即x∈．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}，求∁RA，∁R（A∩B），（∁RA）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】见试题解答内容【分析】结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，由A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}＝A，能求出∁R（A∩B）和（∁RA）∩B．【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}，∴结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，又∵A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}＝A，∴∁R（A∩B）＝∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，∴（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，非空集合B＝{x|a+2≤x+1≤3a}．（1）当a＝3时，求（∁RA）∪B；（2）若A∩B＝{x|a+1≤x≤5}，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式及其应用；交、并、补集的混合运算．【答案】（1）{x|x＜﹣2或x≥4}．（2）{a|2≤a≤4}．【分析】（1）把a＝3代入，直接按补集和并集的运算法则计算即可；（2）根据交集的运算法则确定集合A、B端点值的条件，列不等式求解即可．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，则∁RA＝{x|x＜﹣2或x＞5}，当a＝3时，集合B＝{x|5≤x+1≤9}＝{x|4≤x≤8}，所以（∁RA）∪B＝{x|x＜﹣2或x≥4}．（2）因为A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤3a﹣1}且A⋂B＝{x|a+1≤x≤5}，所以，解得2≤a≤4，所以a的取值范围是{a|2≤a≤4}．19．（12分）已知A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，B＝{x|x2+ax+a2﹣12＝0}．（1）若A∩B＝A，求实数a的值．（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【答案】（1）﹣2；（2）{a|a≥4或a＜﹣4或a＝﹣2}．【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解；（2）根据已知条件，结合并集的运算，即可求解．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}＝{﹣2，4}，又A⊆B，B＝{x|x2+ax+a2﹣12＝0}，所以B＝{﹣2，4}，即方程x2+ax+a2﹣12＝0的两根为x1＝﹣2或x2＝4，利用韦达定理得到：﹣2+4＝﹣a，即a＝﹣2；（2）由已知得A＝{﹣2，4}，又B⊆A，所以B＝∅时，则Δ＝a2﹣4（a2﹣12）＜0，即a2﹣16＞0，解得a＞4或a＜﹣4；当B≠∅时，若B中仅有一个元素，则Δ＝a2﹣4（a2﹣12）＝0，即a2﹣16＝0，解得a＝±4，当a＝4时，B＝{﹣2}，满足条件；当a＝﹣4时，B＝{2}，不满足条件；若B中有两个元素，则B＝A，利用韦达定理得到，，解得a＝﹣2，满足条件．综上，实数a的取值范围是{a|a≥4或a＜﹣4或a＝﹣2}．20．（12分）已知集合A的元素是由方程（a2﹣1）x2+2（a+1）x+1＝0的实数解构成．（1）若A为空集，求a的取值范围；（2）若A是单元素集，求a的值；（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．【考点】集合的表示法．【答案】见试题解答内容【分析】（1）分类讨论：a2﹣1＝0时，解出之间验证即可判断出；a2﹣1≠0时，A为空集，可得Δ＜0，解出即可得出．（2）由（1）可知：a＝1时，A＝{﹣}满足条件．a2﹣1≠0时，由Δ＝0，解得a的范围即可判断出结论．（3）由（1）（2）可知：a的取值范围．【解答】解：（1）a2﹣1＝0时，解得a＝±1．a＝1时，方程化为：4x+1＝0，解得a＝﹣，A＝{﹣}≠∅，舍去．a＝﹣1时，方程化为：0+0+1＝0，解得x∈∅，A＝∅，因此a＝﹣1满足条件．a2﹣1≠0时，A为空集，∴Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得：a＜﹣1．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）由（1）可知：a＝1时，A＝{﹣}满足条件．a2﹣1≠0时，由Δ＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＝0，解得：a＝﹣1，而此时A＝∅，舍去．综上可得：a的取值范围是{1}．（3）由（1）（2）可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．21．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若命题p：∀x∈