小学三年级数学“数学广角-搭配（二）”单元整体教学设计

小学三年级数学“数学广角——搭配（二）”单元整体教学设计

一、课标解读与单元大观念锚定

  本单元隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“综合与实践”领域中的“主题式学习”范畴，同时深度融入“数与代数”及“统计与概率”领域的核心思想。课标在第二学段（3-4年级）明确提出，学生应“在简单的实际情境中，了解等可能现象，能列出所有可能的结果，体验事件发生的随机性；通过实例感受简单的排列与组合，能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性，发展合情推理能力”。本单元“搭配（二）”正是对这一要求的具象化落实，其本质是引导学生从“无序”走向“有序”，从“经验”走向“模型”，是对“分类讨论”、“数形结合”和“模型思想”等数学核心素养的初步培育。

  单元大观念（BigIdea）凝练为：“有序思考是解决复杂计数问题的核心策略，它通过建立结构化的数学模型（如乘法原理、树状图、列表），将现实世界中的组合选择问题转化为可计算、可推理的数学过程，以实现不重复、不遗漏的系统化问题解决。”这一大观念超越了具体知识的记忆，指向了可迁移的思维方式和问题解决能力，是本单元所有教学活动的灵魂与统帅。

二、学情分析与教学挑战研判

  从认知发展角度看，三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡期。他们的思维以具体形象为主，但对抽象的数学模型已具备初步的接纳与建构能力。在知识前备上，学生已熟练掌握表内乘法，具备良好的加法、乘法运算技能，并对生活中的简单分类有直观体验。在“数学广角——搭配（一）”中，学生初步接触了排列组合的简单实例（如用1、2组成两位数），对“不重复、不遗漏”有了朦胧的认识。

  然而，本单元教学面临的核心挑战在于：

1.思维跃迁之困：从直观的“摆一摆”、“画一画”到抽象的“算一算”（运用乘法原理解释），学生需要完成思维层次的跨越，理解“为什么可以用乘法计算”是难点。

2.策略固化之隘：学生容易满足于用一种方法（如画图）解决问题，对多种策略（列表、连线、算式）的优化选择与自觉运用意识薄弱。

3.情境干扰之惑：实际问题背景（如穿衣、用餐、路线、比赛）的多样性可能干扰学生对问题本质（“组合”还是“排列”）的辨识，导致模型误用。

4.语言表达之乏：学生能用操作得到结果，但用清晰、有条理的数学语言描述思考过程，阐释策略原理的能力普遍不足。

  基于此，教学设计必须搭建坚实的脚手架，引导学生在“做数学”与“说数学”的交互中，实现思维的可视化、结构化与符号化。

三、单元学习目标（素养导向）

  根据课程标准、单元大观念及学情，本单元的学习目标设定如下，旨在实现从知识技能到核心素养的贯通：

1.知识与技能：

1.2.在具体情境中，能通过观察、操作、实验等活动，找出简单事物的排列数与组合数。

2.3.初步理解排列与组合的不同，能区分“与顺序有关”的排列问题和“与顺序无关”的组合问题。

3.4.掌握用有序思考的方法解决问题，能运用连线、列表、文字枚举等策略，做到不重复、不遗漏。

4.5.初步感知简单事件发生的可能性，能列出所有可能的结果。

6.过程与方法：

1.7.经历从现实问题抽象出数学问题、探索解决方法、验证结论并解释应用的完整过程。

2.8.在解决问题的过程中，体验策略的多样性，学会比较、评价不同策略的优劣，并能根据具体问题选择简洁有效的策略。

3.9.初步学会用数学的语言（如图、表、式）表达现实世界中的简单组合关系。

10.情感、态度与价值观：

1.11.感受有序思考在解决问题中的价值，养成有条理、全面思考问题的习惯。

2.12.在合作探究与交流中，体验数学的严谨性与趣味性，增强学习数学的信心和兴趣。

3.13.体会数学与日常生活的密切联系，认识到数学是解决实际问题的有效工具。

四、单元评价设计（贯穿全程）

  评价与教学一体化设计，采用多元评价方式，覆盖全过程，旨在诊断学情、促进学习、改进教学。

1.过程性评价：

1.2.课堂观察量表：聚焦学生的“四参与”——思维参与（是否尝试有序思考）、操作参与（能否规范使用学具）、表达参与（能否清晰阐述思路）、合作参与（是否倾听与协作）。教师即时记录典型行为，作为调整教学节奏和提供个别化支持的依据。

2.3.学习单分析：设计阶梯式探究学习单，包含“我的尝试”、“我的发现”、“我的疑问”、“我的方法比较”等环节。通过批阅学习单，评估学生思维的层次性、策略的适切性及反思的深度。

3.4.口述与对话：通过“说思路”、“当小老师”、“辩论会”（如“这两种方法谁更好？”）等形式，评价学生数学语言的组织与逻辑推理能力。

5.表现性评价（单元核心任务）：

1.6.任务名称：“校园文化艺术节筹备顾问”

2.7.任务情境：学校将举办艺术节，需要从三年级各班选拔主持人（2名，一男一女）、布置舞台背景（从3种主色调和2种图案中选择搭配）、安排班级表演顺序（3个班级）。请你作为筹备顾问，为组委会提供一份策划方案，计算出所有可行的选择方案数量，并说明你的计算方法和理由。

3.8.评价量规：

1.4.9.问题识别与建模（优秀：能准确识别三个子任务分别为组合、搭配、排列问题，并选用正确模型；合格：能基本识别，模型选择基本正确）。

2.5.10.策略应用与过程（优秀：能清晰展示多种解决策略（如树状图、列表、算式），过程有序、完整、无遗漏；合格：能用至少一种策略正确解决问题）。

3.6.11.解释与表达（优秀：能书面或口头清晰解释每一步的思考过程及策略选择的理由，表达有逻辑；合格：能给出基本解释）。

4.7.12.反思与扩展（优秀：能提出新的相关性问题或对方案进行优化建议；合格：能完成基本任务）。

13.终结性评价（单元检测）：

1.14.设计涵盖基础、综合与拓展三个层次的检测题。基础题侧重对有序思考方法和简单模型的应用；综合题创设复合情境，考察模型辨识与选择能力；拓展题引入稍复杂的计数问题（如含约束条件的搭配），考察思维的灵活性与深刻性。试题形式避免机械记忆，强调理解与应用。

五、单元教学整体规划

  本单元计划用时4课时，遵循“情境导入-分层探究-模型建构-迁移应用-综合实践”的认知逻辑进行整体编排。

1.第1课时：生活化的有序启航——服装搭配中的学问。聚焦最简单的组合问题（两类物品的搭配），核心目标是建立“有序思考”的意识，掌握连线、文字枚举等基本方法。

2.第2课时：从具象到抽象的跨越——数字卡片组数解密。聚焦排列问题（数字组成几位数），核心目标是在操作中感悟“顺序”的意义，初步尝试用算式（乘法原理）概括规律，实现从操作到计算的思维过渡。

3.第3课时：模型的辨析与选择——丰富的世界与多样的策略。在更复杂的生活情境（如早餐搭配、路线选择、比赛场次）中，引导学生辨析排列与组合，并根据问题特征自主优化选择解决策略（列表、画图、计算）。

4.第4课时：综合应用与创意拓展——我是问题解决设计师。以“表现性评价任务”或类似的综合项目为载体，让学生整合运用本单元所学，解决真实或模拟的真实问题，并完成创造性的输出与展示。

六、分课时教学实施过程详案

第一课时：生活化的有序启航——服装搭配中的学问

（一）核心任务驱动，激活已有经验

  教师创设情境：“明明明天要参加一个重要的活动，他从衣柜里找出了2件上衣（一件T恤，一件衬衫）和3件下装（一条短裤，一条长裤，一条牛仔裤）。他想每天穿得不一样，这些衣服可以支撑他几天不重复的穿搭呢？”

  学生基于生活经验进行猜测。教师不急于评判对错，而是板书：“猜测：____天。我们需要验证。”

（二）分层探究，建构有序方法

1.独立尝试，暴露原生态思维：给学生提供上衣和下装的图片卡片，让学生动手摆一摆，找出所有的搭配方法。教师巡视，有意识地收集不同层次的成果：无序重复或遗漏的；有序但表达不清的；有序且表达清晰的。

2.展示交流，聚焦“有序”价值：选取2-3份典型作品进行投影展示。

1.3.展示一份有重复或遗漏的作品：“大家看看，他的搭配全了吗？有什么问题？”引导学生发现“乱”会导致错误。

2.4.展示一份用文字或符号无序罗列但结果正确的作品：“他的结果对了，但看起来感觉怎么样？”引导学生感受“无序”带来的混乱感，不易检查。

3.5.展示一份用连线法清晰呈现的作品（如先固定T恤，分别连三条下装；再固定衬衫，分别连三条下装）：“这位同学的方法给你什么感觉？为什么能做到不重复不遗漏？”关键提问引导出“先固定一件上衣，按顺序去搭配下装”或“先固定一条下装，按顺序去搭配上衣”的思考顺序。板书核心词：固定一个，有序搭配。

6.方法优化，从操作到图示：引导学生将摆卡片的操作过程，用更简洁的数学方式——画“连线图”或“列举图”表示出来。教师示范规范的画法，强调符号的统一与清晰。让学生在自己的学习单上重新整理自己的方法。

7.初步建模，感受乘法原理：在学生用连线图清晰展示所有6种搭配后，教师追问：“如果不画图，你能根据刚才‘固定一个’的思路，列一个算式快速算出有几种搭配吗？”引导学生说出：一件上衣有3种搭配，2件上衣就是2个3种，算式是2×3=6（种）。初步渗透“每件上衣有3种选择，有2件上衣，所以是2个3”的乘法原理思想。此时不要求抽象概括，只求直观理解。

（三）巩固内化，变式练习

1.基础练习：教材例题变式。如“2顶帽子，4条围巾，一顶帽子配一条围巾，有几种配法？”要求学生用两种方法（连线图和算式）解答，并说说算式中每个数的含义。

2.辨析练习：出示问题“从明明这些衣服中，选择一件上衣和一条裤子（假设只有两条裤子是‘裤子’），有几种搭配？”引导学生关注问题条件的变化，理解“分类”在搭配中的作用。

3.拓展联系：连接语文或美术。“用‘红、黄、蓝’三种颜色给地图上的两个相邻区域（如A区和B区）涂色，相邻区域颜色不同，有多少种涂法？”（此题为后续排列问题做铺垫，但此处仍作为搭配的直观应用）。

（四）课堂小结与反思

  引导学生用“我学会了……”、“我发现关键是……”的句式进行总结。教师提炼升华：“今天，我们通过搭配衣服，找到了解决‘一共有多少种不同选择’这类问题的金钥匙——有序思考。无论是摆卡片、画连线还是列算式，‘固定一个，按顺序来’都能帮助我们看得清、数得准。”

第二课时：从具象到抽象的跨越——数字卡片组数解密

（一）复习导入，孕伏新知

  快速回顾上节课的服装搭配问题及“固定法”和“连线图”。提出新问题：“用数字卡片1、3、5、7，能组成多少个没有重复数字的两位数？”让学生直觉判断：这个问题和搭配衣服一样吗？

（二）操作探究，感悟“顺序”

1.小组合作，探索方法：四人小组，分发数字卡片。任务：（1）用卡片摆出所有可能的两位数；（2）想办法把你们组摆的过程清楚地记录下来，让别人一看就懂。

2.策略多样化展示：小组汇报。预计会出现以下策略：

1.3.无序摆放，后经整理。

2.4.交换位置法：先摆出13，再交换位置得31，以此类推。教师追问：“这种交换，说明了什么？”（数字的位置不同，数就不同）板书强调：顺序不同，数就不同。

3.5.固定十位法：把1固定在十位，个位可以是3、5、7，得到13、15、17；再把3固定在十位……教师将其与上节课的“固定法”建立联系，并高度评价其有序性。

4.6.列表法：画出表格，十位、个位分别枚举。

7.沟通联系，比较异同：引导学生对比“服装搭配”和“组数”两个问题。

1.8.相同点：都需要有序思考，都可以用固定法、连线（列表）法。

2.9.不同点：服装搭配中，T恤配短裤和短裤配T恤是同一种穿着；但组数中，13和31是两个不同的数。教师揭示数学概念雏形：像组数这样，顺序改变结果就不同的问题，我们称为“排列”；像搭配衣服那样，顺序改变结果相同的问题，我们称为“组合”。（此处仅作描述性介绍，不要求严格定义）

（三）抽象概括，初建模型

1.算式提炼：在学生用固定十位法得到所有12个数后，引导列式计算：“用固定十位法，十位有几种选择？（4种）确定十位后，个位有几种选择？（3种）那么一共可以组成多少个两位数？”得出算式：4×3=12（个）。让学生结合操作解释“4”和“3”的含义。

2.模型初步建立：教师总结：“看来，解决这类‘从几个不同的东西里选几个排顺序’的问题，我们可以先确定第一位有多少种选择，再确定第二位在剩下的里面有多少种选择，然后把它们乘起来。”板书：第一位选择数×第二位选择数=总的排列数。

（四）分层应用，深化理解

1.基础层：用0、2、4、6组两位数（强调0不能在最高位）。这是一个关键变式，让学生发现“0”带来的限制，体会“选择数”的动态变化。先预测，再操作验证，最后用算式4×3？还是3×3？进行辩论，深化对乘法原理每一步含义的理解。

2.综合层：解决“3个人排成一排照相，有几种不同的排法？”鼓励学生用字母或符号代表人，尝试用刚学的“位置选择”思路推理：第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第三个位置有1种选择，列式3×2×1=6（种）。可简单操作验证。

3.反思层：引导学生对比本课的“组数”、“排队”和上节课的“搭配”，再次强化对“顺序是否影响结果”的感性认识。

第三课时：模型的辨析与选择——丰富的世界与多样的策略

（一）情境串导入，引发认知冲突

  教师呈现一组生活化问题串：

  1.早餐搭配：饮料有牛奶、豆浆，点心有包子、油条、面包，一种饮料配一种点心，有几种搭配？（组合）

  2.路线选择：从家到学校有2条路，从学校到图书馆有3条路，从家经学校到图书馆有几种走法？（组合的拓展，本质是分步）

  3.握手问题：3个小朋友，每两人握一次手，共握几次？（组合）

  4.比赛场次：4支球队进行单循环赛（每两队赛一场），一共要赛几场？（组合）

  5.拍照问题：从4名同学中选出2名，分别担任正、副班长，有几种选法？（排列）

  让学生快速判断哪些问题“感觉”和服装搭配类似，哪些和数字组数类似。聚焦争议点（如握手和比赛）。

（二）深度探究，辨析模型本质

1.聚焦“握手”与“比赛”：这是学生最容易与排列混淆的组合问题。让学生角色扮演“握手”。请3位学生上台（A、B、C）。

1.2.排列视角干扰：如果让A和B握手，问“A握B的手”和“B握A的手”一样吗？在握手情境中，学生能直观感受到这是一次握手。教师追问：“那在‘选正副班长’里，A当正B当副，和B当正A当副一样吗？”通过对比，强烈凸显“顺序是否产生实质差异”。

2.3.策略探究：如何数清握手次数？鼓励学生用画图法（在两人之间连线）、列表法（画表格，打勾表示已握过）。引导学生发现，为了避免重复，也需要有序思考：A和B、C握（2次），B再和C握（1次），因为A已经和B握过了，B就不用再和A握了。总次数2+1=3（次）。

3.4.与排列对比：如果是“两个人互相写信”，A写给B和B写给A就是两封不同的信，这就是排列问题。再次强化区分的关键在于：交换两个元素的位置，是否产生新的、不同的情况。

5.归纳与提炼：师生共同总结一个简易的“模型选择流程图”：

1.6.第一步：问题是“选择”还是“排队/安排职位”？（初步感觉）

2.7.第二步：选出的东西，交换位置后，结果是否不同？（核心检验）

3.8.第三步：若交换后结果不同，是排列，考虑用“分步乘法”；若交换后结果相同，是组合，考虑用“有序枚举（连线、列表）或加法原理”。

（三）策略超市，自主优化

  出示一个稍复杂的问题：“有红、黄、蓝、绿四种颜色的信号灯，每次亮两盏（颜色不同），可以表示多少种不同的信号？”

  1.独立思考：学生判断这是排列还是组合？（灯的顺序有意义，红黄与黄红表示不同信号，是排列）

  2.策略尝试：鼓励学生尝试用不同方法解决：连线图、列表、算式。

  3.策略比较会：展示不同方法，讨论“哪种方法你觉得最好？为什么？”引导学生根据问题特点（元素数量、是否便于画图等）选择策略。达成共识：对于这类数量适中的排列问题，算式（4×3=12）既快又准；但画图或列表能帮助我们直观理解，防止错误。

（四）综合练习，灵活应用

  设计一组需要先辨析再解决的题目，如：

  *从5本不同的书中选2本送给小丽和小红各一本，有几种送法？（排列：书不同，人不同）。

  *从5本不同的书中选2本放入书包，有几种选法？（组合）。

  要求学生先圈出关键词，判断类型，再选择策略解答并验证。

第四课时：综合应用与创意拓展——我是问题解决设计师

（一）发布表现性任务，明确要求

  正式发布“校园文化艺术节筹备顾问”任务（或一个类似的项目），发放任务书和评价量规。详细解释任务背景、三个子问题及成果要求（一份包含方案、计算过程和说明的策划书，并可选择制作海报或进行口头汇报）。

（二）自主规划与协作探究

1.个人规划：学生独自阅读任务，分析每个子问题属于什么类型（组合、搭配、排列），构思解决方法，列出初步计划。

2.小组协作：组建3-4人顾问小组。小组内分享个人计划，讨论最优解决策略，分工合作完成策划书。教师巡视，扮演“组委会主任”角色，接受小组咨询，提供必要的思维支架（如提示他们用不同颜色区分问题类型），但不直接给出答案。

3.成果制备：各小组整理计算过程、结论及说明，形成最终策划书。鼓励学有余力的小组用思维导图美化方案，或准备简短的汇报。

（三）成果展示与多维评价

1.小组展示：每组派代表展示策划方案，重点阐述：（1）如何识别不同问题类型；（2）采用了哪些解决策略及理由；（3）计算过程和结果。

2.互动答辩：其他小组作为“评委”或“其他顾问”，可以就方案的合理性、策略的优化、计算的准确性进行提问。展示小组需答辩。

3.评价与反思：结合评价量规，引导学生开展小组自评、互评。教师进行总结性点评，不仅关注答案正确与否，更要高度评价在解决问题过程中展现出的有序思维、模型辨析能力、策略选择意识和团队协作精神。将优秀作品在班级“数学园地”展示。

（四）单元总结与视野延伸

  1.绘制单元思维导图：师生共同回顾本单元学习历程，以“有序思考”为中心，梳理我们研究了哪两类问题（排列、组合），学会了哪些方法（连线、列表、枚举、算式），这些方法在什么情况下特别有用，核心的数学思想是什么（分类、分步、数形结合）。

  2.生活链接与展望：展示排列组合在生活中的广泛应用简图，如密码设置、彩票号码、赛事编排、食谱设计、物流路线规划等。让学生感受到本单元所学是通往更广阔数学世界（概率论、运筹学、计算机科学）的一扇小窗，激发持续探索的兴趣。

  3.个性化挑战作业（选做）：发布如“用1元、2元、5元的纸币凑成10元，有几种不同的凑法？”或“设计一个关于我们班级的搭配/排列问题并解答”等开放性任务，满足不同层次学生的发展需求。

七、教学资源与技术支持建议

  主要教学资源：

1.实物学具：不同颜色的上衣、下装卡片；数字卡片（0-9）；学生姓名卡（用于角色扮演）。

2.多媒体课件：动态演示连线过程、列表生成过程；展示复杂情境图片（地图、菜单等）。

3.学习单系列：设计探究式学习单、巩固练习单、单元整理复习单。

4.阅读材料：准备简单的数学绘本或故事，如《乱七八糟的魔女之城》（关于规律和排序），作为课外延伸阅读。

  技术支持建议：