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2025年数论考试题型及答案一、选择题（每题3分，共15分）1.设a=2025，b=A.45B.60C.75D.902.同余式3xA.1B.2C.3D.53.设π(n)表示不超过n的素数个数，根据素数定理，当nA.78498B.86858C.9592D.1085734.设n=××A.24B.48C.72D.965.关于Legendre符号()A.1B.-1C.0D.无法确定二、填空题（每题4分，共20分）1.计算gcd(2.解同余方程5x≡7(m3.计算Legendre符号()4.模p=5.Pell方程2=1的最小正整数解为三、计算题（每题10分，共40分）1.用扩展欧几里得算法求整数x,y，使得解答：首先计算gcd(123=45=33=12=9=故gcd(反向代入：3==12=3=3因此x=−42.解同余方程组：{x≡解答：首先解前两个方程x≡2(mod5)和x≡3(mod7)。设再与第三个方程x≡4(mod9)联立，设x=35n+17，代入得35n+17≡4(mo3.用连分数法求Pell方程3=解答：Pell方程D=1的最小解可通过的连分数展开周期确定。对于D=3，的连分数展开为计算连分数的收敛项：第0项：1=第1项：1+第2项：1+验证3×=2527=再下一个收敛项[1;1,2,1,24.计算mod11解答：由费马小定理，≡1(mod计算=49≡5(mod四、证明题（每题10分，共30分）1.证明：存在无穷多个素数p，使得p≡证明：假设只有有限个素数,,…,满足≡3(mod4)，构造N=4·s1若q是,…,之一，则q∣N且q∣4·s，故2.证明：若p为奇素数，a为整数且p∤a，则证明：由费马小定理，≡1(mod若a是模p的二次剩余，则存在x使得≡a(mod若a是模p的非二次剩余，考虑多项式f(x)=a在模p下无零点，由拉格朗日定理，13.证明：不定方程+=证明：假设存在正整数解(x,y,z)，不妨设x,y,z互素（否则可约去公因子）。由勾股数定理，z必为奇数，x,考虑模4的情况：≡1(mod4)进一步，将方程视为(+(2=，即,2,z构成勾股数。由于y奇，2偶，故存在互素的正整数m由2=2mn得=mn，因m,n互素，故代入==，即=，即(=，即由于y和+y互素（若d∣y且d∣+y，则d∣2y和d∣2，但s,t互素，y相加得2=+，即=。由于u,v一奇一偶（因m,n一奇一偶，=m奇，=n偶，故u奇，但≡1(mod五、应用题（15分）RSA加密系统中，取素数p=11，q=（1）计算模数n和欧拉函数ϕ(（2）求私钥d；（3）用公钥加密明文m=5，求密文（4）用私钥解密密文c=12，求明文解答：（1）n=pq（2）私钥d满足ed≡1(m120=7=故1=12017×7（3）加密c=modn=mod143。计算=25，=（4）解密=mo

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