材料力学（I）（第5版）课件 ch3 轴向拉压变形、ch4 扭转

第

3

章轴向拉压变形单辉祖：材料力学Ⅰ（第５版）单辉祖：材料力学Ⅰ2第

3

章轴向拉压变形

本章主要研究：

轴向拉压变形分析的基本原理

简单拉压静不定问题分析

热应力与初应力分析

单辉祖：材料力学Ⅰ3

§1

拉压杆的变形

§2

节点位移与小变形

§3

应变能概念

§4

简单拉压静不定问题

§5

热应力与初应力

单辉祖：材料力学Ⅰ4§1

拉压杆的变形

轴向变形与胡克定律

横向变形与泊松比

例题单辉祖：材料力学Ⅰ5

轴向变形与胡克定律分析基础－胡克定律

比例极限内,正应力与正应变成正比E－弹性模量,应力-应变图直线段的斜率值轴向变形

拉压杆沿轴线方位的变形横向变形

拉压杆垂直轴线方位的变形单辉祖：材料力学Ⅰ6轴向变形基本公式

EA－杆截面的

拉压刚度

Dl－伸长为正,缩短为负在比例极限内,拉压杆的轴向变形Dl,与轴力FN及杆长l成正比,与乘积EA成反比－仍称胡克定律单辉祖：材料力学Ⅰ7轴向变形一般公式

n－总段数FNi－杆段

i

的轴力

变截面变轴力杆

阶梯形杆单辉祖：材料力学Ⅰ8

横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内,e’

e,并异号,m－泊松比

Db－杆的横向变形－杆的横向正应变b－杆的宽度引入比例常数m,得单辉祖：材料力学Ⅰ9

例题例题

已知

l=54mm,di=15.3mm,E=200GPa,m=

0.3,

拧紧后,AB

段Dl=0.04mm,试求螺栓s,Dd与受力。解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

3.螺栓受力单辉祖：材料力学Ⅰ10例

题图示螺纹杆,承受轴向载荷F,横截面面积为A,弹

性模量为E,试计算螺纹杆的轴向变形。解：1.计算简图载荷集度为设AD段的外力沿杆轴均匀分布单辉祖：材料力学Ⅰ11杆段AD：2.轴向变形分析杆段DB：结论：单辉祖：材料力学Ⅰ12例

题图示椭圆形截面杆,承受轴向载荷F作用。已知弹性常数E与m，试计算杆件的体积改变量。

解：展开并略去高阶小量单辉祖：材料力学Ⅰ13§2

节点位移与小变形概念

节点位移分析

小变形概念

例题单辉祖：材料力学Ⅰ14

节点位移分析1.轴力与变形分析

图示桁架,杆1与2分别用钢与松木制成。F

=

10

kN;E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。试求节点

A的水平与铅垂位移。单辉祖：材料力学Ⅰ15

圆弧法

切线代圆弧法2.作图法求节点位移3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图单辉祖：材料力学Ⅰ16

小变形概念小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形应用：在小变形条件下,通常即可：

按结构的原有几何形状与尺寸,计算约束反

力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移单辉祖：材料力学Ⅰ17例

题

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.计算FN与Dl

例题3.位移计算2.画变形图刚体EA由Dl与C点垂线确定C’,再由BC’延长线与A点垂线AA’确定A’单辉祖：材料力学Ⅰ18解：1.计算FN与Dl3.位移计算2.画变形图例

题图示桁架,承受载荷F作用,各杆EA相同,求节点A的位移。

由Dl1与Dl2确定B’

；A点铅垂线与A2水平线相交,确定A’单辉祖：材料力学Ⅰ19解：例

题梁BD为刚体,承受F作用,各杆E相同,

A1=2A2=2A3,

求C点位移，

过B1作水平直线,过B作杆2垂线,二者相交于B’,代表刚杆的水平位移

过D1作水平直线,取,D’即节点D的新位置

取,过C1作铅垂线,与轴线B’D’相交于C’,此即中点C的新位置单辉祖：材料力学Ⅰ20§3

应变能概念

应变能与功能原理

外力功与应变能计算

拉压与剪切应变能

例题单辉祖：材料力学Ⅰ21

应变能与功能原理应变能与外力功

弹性体因变形而储存的能量－应变能

Ve

外力在变形过程中所作之功－外力功

W

功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大,弹性体的动能与热能等的变化均可忽略不计。

根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，数值上等于外力所作的功弹性体功能原理单辉祖：材料力学Ⅰ22

外力功与应变能计算

线弹性杆的外力功

线弹性拉压杆的外力功与应变能单辉祖：材料力学Ⅰ23

拉压与剪切应变能单位体积内应变能－应变能密度拉压应变能密度剪切应变能密度单辉祖：材料力学Ⅰ24

例题解：1.

轴力分析例题用能量法计算DBy2.应变能计算3.位移计算单辉祖：材料力学Ⅰ25解：例题承载刚性杆AB,由钢丝、光滑滑轮支持。钢丝产生单位轴向变形所需之力为k,试求端点B的铅垂位移DB钢丝应变能：外力功：功能原理：单辉祖：材料力学Ⅰ26例

题

图示隔振器，钢杆与钢套可视为刚体，橡皮的切变模量为G

。求橡皮管内的应力

t

与钢杆的位移

D。解：1.应力分析单辉祖：材料力学Ⅰ272.应变能计算3.位移计算单辉祖：材料力学Ⅰ28§4

简单拉压静不定问题

静不定概念

拉压静不定问题分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ29

静不定概念

静不定度未知力数与独立平衡方程数之差增加杆AD,增加一未知力两个未知力,两平衡方程

静不定问题仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静定问题仅由平衡方程即可确定全部未知力的问题

静不定问题特点

存在多余杆件或约束，于是静定变为

静不定,同时限制了各杆变形,使其相互关联单辉祖：材料力学Ⅰ30

拉压静不定问题分析

建立平衡方程

建立补充方程补充方程变形协调方程

联立求解求解思路多余约束使各杆变形满足一定关系单辉祖：材料力学Ⅰ31

平衡方程

补充方程

联立求解－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例－补充方程单辉祖：材料力学Ⅰ32综合考虑三方面

外力与FNi

满足静力平衡方程

各

Dli

之间满足变形协调方程

Dli

与FNi

间满足给定物理关系（如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点

内力不仅与载荷有关,而且与截面刚度有关

一般讲,对于杆i,

EiAi

加大,FNi也加大内力特点：单辉祖：材料力学Ⅰ33

例题例题求两端固定杆的支反力解：联立求解式(a)与

(b)一度静不定单辉祖：材料力学Ⅰ34解：

画变形图与受力图注意受力图与变形图协调

伸长～拉力；缩短～压力例题已知

F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

MPa，

A1=A2。试问

A1=?A2=?

建立平衡方程

建立补充方程单辉祖：材料力学Ⅰ35

截面设计

内力计算联立求解平衡方程与补充方程结构条件：A1=

A2单辉祖：材料力学Ⅰ36例题图示桁架,承受水平载荷F作用,杆1长l,各杆各截面EA相同,

试计算各杆轴力。

求解

节点A存在双侧约束,只能水平移动。解：问题分析

设节点A位移至A’,各杆均伸长,

未知力3个,独立平衡方程两个,一度静不定。各杆均受拉。联立求解,得单辉祖：材料力学Ⅰ37例题图示桁架,承受铅垂载荷F作用,各杆各截面EA

相同,杆3长度为

l,a=45º,试求各杆的轴力。

分析：A,B两节点,4平衡方程,5未知轴力,一度静不定。节点C下移,杆1

3均受拉；变形协调方程为节点B随之下移,杆4,5均受压单辉祖：材料力学Ⅰ38解：变形协调方程为利用胡克定律,得补充方程为根据节点B与C的平衡,得

联立求解平衡方程与补充方程,得并从而有

单辉祖：材料力学Ⅰ39§5

热应力与初应力

热应力与初应力概念

例题单辉祖：材料力学Ⅰ40

热应力与初应力概念引起应力的非力学因素1.温度变化2.杆长制造误差强致安装后两端固定杆,温度变化DT两端固定杆,制造误差d单辉祖：材料力学Ⅰ41热应力与初应力

由于杆长制造误差或温度变化,结构在未受载时即已存在的应力,分别称为初应力与热应力

在静不定结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,因此,温度变化或杆长制造误差,一般将引起应力

由于杆长制造误差或温度变化，静不定结构将可能存在热应力与初应力－静不定结构特点

由于杆长制造误差或温度变化，静定结构将发生外形改变,但不会引起热应力与初应力－静定结构特点单辉祖：材料力学Ⅰ42

例题例题杆1温度升高

DT,求

FN1,FN2与支座

C

反力解：1.画变形图2.画受力图注意分清哪一段是弹性变形

Dl,哪一段是热膨胀

dT注意轴力

FN与轴向变形

Dl的协调3.建立平衡方程单辉祖：材料力学Ⅰ434.建立补充方程5.联立求解单辉祖：材料力学Ⅰ44例

题结构左右对称,杆3误差d,试建立平衡与补充方程解：画变形图画受力图

建立平衡与补充方程

单辉祖：材料力学Ⅰ45例

题AC为刚体,各杆EA相同,热胀系数al,杆1长度误差d,杆2温度

升高DT,并承受载荷F作用,试求各杆轴力。

设刚梁位于直线AB’C’位置,则且均为伸长变形,各杆均受拉解：单辉祖：材料力学Ⅰ46解：变形协调方程为利用胡克定律,得补充方程为根据节点B与C的平衡,得

联立求解平衡方程与补充方程,得并从而有

单辉祖：材料力学Ⅰ47e’e横向应变e’

与轴向应变e第

4

章扭转单辉祖编著：材料力学Ⅰ第

4

章扭转

单辉祖：材料力学Ⅰ49

圆截面轴的扭转应力与变形

圆截面轴的扭转强度与刚度

矩形等非圆截面轴扭转

薄壁截面轴扭转本章主要研究：

§1

引言

§2扭矩

§3

圆轴扭转应力

§4

圆轴扭转强度与合理设计

§5

圆轴扭转变形与刚度条件

§6

简单静不定轴

§7

非圆截面轴扭转

§8

薄壁杆扭转单辉祖：材料力学Ⅰ50§1引言

扭转实例

扭转及其特点单辉祖：材料力学Ⅰ51

扭转实例MFF

扭转及其特点变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转,轴线仍为直线－扭转变形外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转

以扭转为主要变形的杆件－轴扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭转角：横截面饶轴线间的相对角位移§2

扭矩

功率、转速与扭力偶矩的关系

扭矩与扭矩图

例题单辉祖：材料力学Ⅰ54

功率、转速与扭力偶矩的关系传动轴是一种常见受扭构件。现研究轴的转速n(r/min),

所传递功率P(kW)与扭力偶矩M(N.m)间的关系。设角速度为

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,则

扭矩与扭矩图扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用

T

表示符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，

矢量方向与横截面外法线方向一致

的扭矩为正，反之为负扭矩扭矩图（m－轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩在x

-T平面内,扭矩沿杆轴变化的图线,称为扭矩图根据上述方程，画扭矩沿杆轴的变化曲线

例题例

题

MA=76N

m,MB=191N

m,MC=115N

m,画扭矩图解：§3

圆轴扭转应力

扭转试验与假设

扭转应力分析

薄壁圆管扭转切应力

极惯性矩与抗扭截面系数

例题单辉祖：材料力学Ⅰ59

扭转试验与假设单辉祖：材料力学Ⅰ60圆轴扭转时,横截面仍保持平面,其形状、大小与间距均不改变,而且,半径仍为直线,称为扭转平面假设

当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变扭转平面假设扭转试验

各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面单辉祖：材料力学Ⅰ61扭转变形交互式动画,演示正或负扭矩及其大小变化下圆轴的变形或通过按钮点击画面

扭转应力分析物理方面几何方面dj

/

dx－扭转角变化率静力学方面应力与变形公式－极惯性矩－抗扭截面系数公式的适用范围：圆截面轴；

薄壁圆管扭转切应力单辉祖：材料力学Ⅰ64假设

切应力沿壁厚均匀分布适用范围适用于所有匀质薄壁杆,包括弹性、非弹性、各向同性与各向异性情况公式精度在线弹性情况下,当

d≤R0/10

时,误差≤4.53

极惯性矩与抗扭截面系数单辉祖：材料力学Ⅰ65

空心圆截面

实心圆截面

例题单辉祖：材料力学Ⅰ66例

题已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。解：单辉祖：材料力学Ⅰ67例

题直径为d圆截面轴,应力应变关系为t=kgn,式中,k与n为材料常数,试利用平面假设建立扭转切应力公式。

解：根据平面假设由静力学可知于是得由此得扭转切应力为单辉祖：材料力学Ⅰ68例题图示托架,承受铅垂载荷F作用。各铆钉的材料相同,直径均为

d,试求铆钉的最大剪切应力。

在分析中,视托架为刚体。解：

在F作用下,托架刚性铅垂下移,各铆钉的剪切应力均为

将载荷F平移至铆钉群剪切面形心C,得集中力F与矩为Fl的附加力偶M。

在M作用下,托架绕C点刚性转动。设铆钉1的剪切应力为tM1,则铆钉2的剪切应力

tM2=tM1/3,从而有§4

圆轴扭转强度与合理设计

扭转极限应力

圆轴扭转强度条件

圆轴合理强度设计

例题单辉祖：材料力学Ⅰ69

扭转极限应力单辉祖：材料力学Ⅰ70塑性材料屈服断裂脆性材料断裂扭转屈服应力与扭转强度极限,统称为扭转极限应力tu圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式

圆轴扭转强度条件单辉祖：材料力学Ⅰ71tu－扭转极限应力n-安全因数塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]

脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]为保证轴不因强度不够而失效,要求轴的最大扭转切应力不超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态,又有

圆轴合理强度设计单辉祖：材料力学Ⅰ721.

合理截面形状若

Ro/d

过大将产生皱褶空心截面比实心截面好2.

合理截面变化－采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓应力集中

例题单辉祖：材料力学Ⅰ73例

题已知T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴，并进行比较。解：1.确定实心圆轴直径2.

确定空心圆轴外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻单辉祖：材料力学Ⅰ74解：1.扭矩分析例

题R0=50

mm的薄壁圆管,左、右段的壁厚分别为

d1=5mm,d2=4mm,m=3500N

.m/m,l=1m,[t]=50MPa,

试校核圆管强度。2.

强度校核危险截面：截面A与B单辉祖：材料力学Ⅰ75例

题密圈螺旋弹簧应力分析与强度条件解：1.内力分析密圈螺旋弹簧—螺旋升角a

很小的弹簧单辉祖：材料力学Ⅰ762.应力分析3.应力修正公式4.强度条件[t]－纯剪切许用切应力§5

圆轴扭转变形与刚度条件

圆轴扭转变形

圆轴扭转刚度条件

例题单辉祖：材料力学Ⅰ77

圆轴扭转变形单辉祖：材料力学Ⅰ78圆轴扭转变形一般公式GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度常扭矩等截面圆轴

圆轴扭转刚度条件单辉祖：材料力学Ⅰ79圆轴扭转刚度条件[q

]－单位长度的许用扭转角

注意单位换算:

一般传动轴，

[q

]=0.5~1

()/m

例题单辉祖：材料力学Ⅰ80例题已知：MA=180N.m,MB=320N.m,MC=140N.m,Ip=3105mm4,l=2m,G=80GPa,[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.变形分析单辉祖：材料力学Ⅰ812.刚度校核注意单位换算！单辉祖：材料力学Ⅰ82例题试计算图示圆锥形轴的扭转角解：单辉祖：材料力学Ⅰ83例题图示密圈弹簧,由n圈弹簧丝组成,弹簧直径为Ｄ,切变模量为

Ｇ,在拉力F作用下，试计算弹簧的轴向伸长l。解：弹簧的轴向伸长主要是弹簧丝的扭转变形造成的。

微段ds的扭转角与应变能分别为根据功能原理弹簧丝的总长为

弹簧的应变能为

§6

简单静不定轴

扭转静不定问题分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ84

扭转静不定问题分析单辉祖：材料力学Ⅰ85问题

试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析未知扭力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定单辉祖：材料力学Ⅰ86建立补充方程计算支反力偶矩联立求解方程(a)与(b)

例题单辉祖：材料力学Ⅰ87例题

已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2，试求圆盘的转角。解：1.建立平衡方程单辉祖：材料力学Ⅰ882.建立补充方程3.扭矩与圆盘转角联立求解方程(a)与(b)

单辉祖：材料力学Ⅰ89例题由铜管与钢轴组成组合轴,二者的截面极惯性矩分别为Ipc与Ips,且Ipc/Ips=b,钢与铜的切变模量分别为Gs与Gc,且Gs/Gc=2,扭力偶矩为M,试求铜管的扭矩。解：§7

非圆截面轴扭转

矩形截面轴扭转

椭圆等非圆截面轴扭转

例题单辉祖：材料力学Ⅰ90

矩形截面轴扭转单辉祖：材料力学Ⅰ91

圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象

截面翘曲,角点处

g为零,侧面中点处

g最大单辉祖：材料力学Ⅰ92应力分布特点

横截面上角点处,切应力为零

横截面边缘各点处,切应力

//

截面周边

横截面周边长边中点处,切应力最大单辉祖：材料力学Ⅰ93弹性力学解系数

a,b,g表长边中点

t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

单辉祖：材料力学Ⅰ94狭窄矩形截面扭转h－中心线总长推广

椭圆等非圆截面轴扭转单辉祖：材料力学Ⅰ95

Wt,

It的量纲分别与

Wp,

Ip相同

计算公式见《材料力学Ⅰ》的附录D椭圆、三角形等非圆截面轴

例题解：1.边宽a与直径d的关系例题

材料、横截面面积与长度均同的两轴,一为正方形截面,一为圆形截面。在同值扭力偶矩

M作用下,试比较tmax与扭转变形。2.方形轴的应力与变形4.比较圆形截面轴的抗扭性能比方形截面轴好3.圆形轴的应力与变形单辉祖：材料力学Ⅰ98解：1.闭口薄壁圆管例题试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设

R0＝20d2.开口薄壁圆管3.抗扭性能比较闭口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好§8

薄壁杆扭转

开口与闭口薄壁杆

闭口薄壁杆扭转应力与变形

开口薄壁杆扭转简介

薄壁杆合理截面形状

例题单辉祖：材料力学Ⅰ99

单辉祖：材料力学Ⅰ100截面中心线－截面壁厚平分线闭口薄壁杆－截面中心线为闭合曲线的薄壁杆开