2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题01集合及其运算（教师版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题01集合及其运算

基础知识复习

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

∉

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

*

符号NN(或N＋)ZQR

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

【知识拓展】

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．ABA∩B＝AA∪B＝B.

3．A⊆∩(⇔UA)＝；A⇔∪(UA)＝U；U(UA)＝A.

∁∅∁∁∁

典型习题强化

1．已知集合，，则（）

2

R

A．�=�0B<．�<4�=��−C5．�+6=0∁�D∩．�=

【答∅案】A122,3

【解析】

由解得或，即.

2

又�−5�+6=0或�=，2所以�=3�=．2,3

故选∁�：�=A�|�≤0�≥4∁��⋂�=∅

2．已知全集，集合，则=（）

A．或U=��>0�=��(�−B．2)<0或∁��

C．��>2�<0D．��≥2�≤0

【答案��】>D2��≥2

【解析】

因为，

又全集�={�|�(�−2)<，0}={�|0<�<2}

所以U=��>0.

故选：∁UD�.=��≥2

3．已知全集为，集合，，则（）

1

2�R

A．R�=��=log�+1B．�=�≥1�∩∁�=

C．��>1或D．�0<�≤1或

【答案�−】1C<�≤0�>1�−1<�<0�>1

【解析】

由，得，所以，

由�+1，>得0�>，−则1�=�，�>得−1，

11−�

�(1−�)≥0

�≥1�≥00<�≤1

所以，所�≠以0或，

所以�=�0<�≤1∁或R�=�，�≤0�>1

故选：�∩C∁R�=�−1<�≤0�>1

4．已知全集，集合，集合，用如图所示的阴影部分表示的集合

�=0,1,2,3,4,5,6�=0,2,4,5�=2,3,4,6

为（）

A．{2，4}B．{0，3，5，6}

C．{0，2，3，4，5，6}D．{1，2，4}

【答案】B

【解析】

，，阴影部分为.

�故∩选�：=B．{2,4}�∪�=0,2,3,4,5,60,3,5,6

5．已知集合，，则（）

2

A．�=�1≤B�．≤3�=�∈��C．−6�+5<0�⋂D�．=

【答∅案】D{1,2,3}(1,3]{2,3}

【解析】

由题，，故

故选：D�=�∈��−1�−5<0=2,3,4�∩�=2,3

6．已知集合，，则集合的子集个数为（）

2

A．2�=�,�B�．=4��=�,��C=．82�−1�D⋂．�16

【答案】B

【解析】

由题意得，

2�−1,�≥0

�=2�−1=

当时，联−立2�−1,�，<解0得；当时，联立，解得；

2�=12�=−1

�≥0�=2�−1�=��<0�=−2�−1�=�

故抛物线与曲线有两个公�共=点1，分别为，，，，�=1

2

则集合�=有�两个元素�，=所2以|�|−1的子集个数为，(−11)(11)

2

故选:B．�⋂��⋂�2=4

7．已知集合，则的元素个数为（）

A．3�={�∈ZB|．−42≤�<4},�=�|Clo．g25�+1<2�⋂D�．6

【答案】A

【解析】

由题设，

所以�={−2,−1，,0共,1,有2,33},个�元=素{�.|−1<�<3}

故选：�∩A�={0,1,2}

8．已知集合，集合，，则的取值范围是（）

�−2

�−1

A．�=�,�=1�=�B,．���+�且−2−�=0�⋂�=∅�

C．�=−1且D．�∈R且�≠1且

【答�案∈】RC�≠−1�∈R�≠1�≠−1

【解析】

集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，

在方程��−2=�−1中，令1,2可得，

�−1=0�=1

��−1+�−2=0

集合表示过定点且斜率存在的�直−线2，=0�=2

由�得两直线1,2斜率不同，则，解得．

故选�⋂：�C=.∅−�≠1�≠−1

9．设集合，，则（）

�

21

A．�=��=�B,．�>0�=��=C．2,�>0�∪�=D．

【答(案0,1】)B(0,+∞)(1,+∞)∅

【解析】

由，得，所以，，所

�

221

以�>0�>0.�=��=�,�>0=��>0�=��=2,�>0=�0<�<1

故选�∪：�B=(0,+∞)

10．已知集合，则（）

�+3

�−1

A．(-3，1)�={−3B,−．2[-,3−，11,0],1},�=�∈C�．∣{-3，<-02，-1，�0⋂，�1=}D．{-2，-1，0}

【答案】D

【解析】

由不等式，解得，所以集合，

�+3

�−1

又由<0−3<，�所<以1�=−2.,−1,0

�={−3,−2,−1,0,1}�⋂�={−2,−1,0}

故选：D.

11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A．B．

C．�∩�∪�D．∁��∩�∪�

【答�案∩】∁�AD�⋃��∩�∪�∩�

【解析】

在阴影部分区域内任取一个元素，则或，

故阴影部分所表示的集合为��或∈�⋂��∈�⋂�.

故选：AD.�∩�∪��∩�∪�∩�

12．下面说法中，正确的为（）

A．B．

C．��+�=1=��+�=1D．�,��+�=2=��+�=2

【答案��】>AC2D=��>21,2=2,1

【解析】

解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；

�+�=表1示直线上点的集合�，�而+�=1=R，所�以�+�=1=R

�，,�所以�+B�错=误2；�+�=2��+�=2=R�,��+�=2≠��+�=

2集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；

由于集�合�的>元2素具�有�无>序2性，所以，所以D正确．

故选：ACD．1,2=2,1

13．已知集合A，B均为R的子集，若，则（）

A．�⋂�=B∅．

C．�⊆∁��D．∁��⊆�

【答�案⋃】�A=D�(∁��)∪(∁��)=�

【解析】

如图所示

根据图像可得,故A正确；由于，故B错误；,故C错误

�⊆∁���⊆∁���⋃�⊆�

故选：AD∁��∪∁��=∁��∩�=�

14．已知集合，，则_______.

2�

【答案】�=.��≥�,�∈R�=��=2,�∈R�⋂�=

【解析】0,+∞

，；，；.

2�

∵故�答案≥为0：∴�=0,.+∞∵2>0∴�=0,+∞∴�⋂�=0,+∞

15．集合0,+∞，则_________．

�+1�−1

R

【答案】�=��−2≤0,�∈R,�=�2<1,�∈R�∩∁�=

【解析】1,2

由题意，.

�−10

故答案为：�=[−.1,2),�=�|2<2=−∞,1,∁R�=[1,+∞),∴�∩∁R�=[1,2)

16．集合满[1足,2)，则集合的个数有________个.

15∗∗

�

【答案】3�1,3�⊆��=,�∈�,�∈��

【解析】

因为，即，所以，，

15∗∗

�

1,3，�即⊆集合��的=个数,�有∈3�个,.�∈�1,3�⊆1,3,5,15�=1,3,5�=1,3,15�=

故1,答3,5案,1为5：3.�

17．设全集为，，.

2

(1)若，求��={�|；�+2�−15=0}�={�|��−1=0}

1

5�

(2)若�=，求�实∩数(∁的�)取值组成的集合.

【答案�】⊆(�1)��

(2)−5,3

11

【解−析5】,3,0

(1)解：，

2

当，�则={�|�+2�−15=0}=，−5,3

1

则�=5�={�|��；−1=0}=5

(2)�解∩：(当∁��)=时−5，,3，此时满足，

当时�，=∅�，=此0时若满足�⊆，�

1

�≠∅�={�}�⊆�

则或，解得或，

1111

�=−5�=3�=−53

综上.

11

53

18．已�=知集−合,,0，集合．

�

(1)求；�=�2<2<8�=�2<�<5

(2)设集�⋃合�，若，求实数的取值范围．

【答案】(�1)=�|2�<�<�+2；�⊆�⋃��

(2).�∪�={�|1<�<5}

1

【解[2析,+】∞)

(1)由，得，所以；

�

(2)当2<2时<：81<�，<即3，�∪�={�|1<�<5}

�=∅2�≥�+2�≥2

当时：，解得，

2�<�+21

�≠∅2�≥12≤�<2

综上所述，的�取+值2≤范围5为.

1

2

19．（1）已知�全集[,+∞)，集合={}，={}，

求（分别�用=描述�|法−和5列≤举�≤法1表0示,�结∈果Z）；��|0≤�≤7,�∈Z��|−2≤�<4,�∈Z

（2(∁）��已)知⋂�全集，若集合，求集合；

（3）已知集合�=�∪�=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，当集�⋂合∁�只�有=一2个,4,元6,8素时，求实�数的值，并求出这

2

个元素.�={�|��+2��+1=0,�∈R,�∈R}��

【答案】（1），；（2）；（3），元素为.

【解析】�|4≤�≤7,�∈Z4,5,6,70,1,3,5,7,9,10�=1−1

（1）由，={}，

得：�=�|−5≤�≤10,或�∈Z��|−2≤，�而<4,�∈Z，

所以∁��={�|−5≤�<−24≤�≤10,�∈Z.}�={�|0≤�≤7,�∈Z}

(∁��)⋂�=�|4≤�≤7,�∈Z=4,5,6,7

（2）由，，得，

所以�=�∪�=0,1,2,3,4,5,6,7.,8,9,10�⋂∁��=2,4,6,8∁��={2,4,6,8}

（3）�当=∁�(∁�时�)，=0,1,，3,5不,7符,9,合10题意，

当�时=，0因集合�P=只∅有一个元素，则方程有等根，，

22

此时�≠0，集合中的元素为，��+2��+1=0Δ=4�−4�=0

所以�=1，这个元�素是.−1

20．设�=集1合为非空数集−，1定义，、，，、．

+−

(1)若�，，写出集合�、={�；|�=�+���∈�}�={�|�=|�−�|��∈�}

+−

(2)若�={−，11，}，，��，且，求证：；

−

(3)若�={�1�2�2，�4}�1<且�2<�3<�4，求集�合=�元素个数的�最1+大�值4=．�2+�3

+−

【答案�】⊆({1�)|0⩽�⩽2021�，∈�}�⋂；�=∅�

+−

(2)证明见解析�；=−2,0,2�=0,2

(3)1348.

【解析】

(1)由题意知，，，

得，�=，{−，11}，；

+−

(2)�由于=集{−合202，}�，=，{02，}，且，