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文档简介
高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)
专题09导数与函数的单调性
基础知识复习
1.函数的单调性
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y
=f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
(1)一般地,求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③考查f′(x)在方程f′(x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得
极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调
递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小
值.
【知识拓展】
1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.
2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,
b)上的任何子区间内都不恒为零.
3.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
典型习题强化
1.已知偶函数的定义域为R,导函数为,若对任意,都有恒成立,
则下列结论正确�的(�是)()�'��∈0,+∞)2��+��'�>0
A.B.C.)D.
【答�案0】<C09�−3<�14�2>�(−1�1<�2
【解析】
令,则,则A错误;
令�=02�(,0)则+0>0,∴�(0)>0,
22
当�(�)=时�,�由(�)�'(�)=2��(�,)+��'(�)
�>02��+,�则�'�>在0上单调递增,
2
∴又2因��为(�偶)函+数��'(�)的>定0义域为��R,(0,+∞)
∴�(�为)偶函数,在上单调递增,
2
�(�)=��(�),��(0,+∞),故B错误;
∴�(−3)=�3,>�(1)9�(−3),>故�(C1)正确;
∴由�题(2意),>不�(妨−假1)设4�(2)>�(−(c1为)常数)符合题意,此时,故D错误.
故选:C.�(�)=�>0�1=�2=�
2.函数的单调减区间是()
1�
A.��=�−2eB.
C.(−∞,ln2)D.(ln2,+∞)
【答(案–∞】,2B)(2,+∞)
【解析】
,
1�
�由'(�)=1−,2e得,
所以�'(�)<的0单调递�>减l区n2间为.
故选:�(�B)(ln2,+∞)
3.若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是()
1
A.�(�)=2sin2B�.+�cos�(0,�)C.D.
【答(案−】∞A,−1][−1,+∞)(−∞,−1)[1,+∞)
【解析】
解:在区间上是增函数,
1
∵�(�)=2sin2�+�cos�在(上0,恒�)成立,
∴�'(�)=cos2�−�sin�≥,0因为(0,�),所以
2
∴令1−2sin,�则−�sin�≥,0即�∈(0,�),sin�∈0,,1
2
�=sin�,�令∈0,1−2�,−��+1≥,0则�∈0,1,
111
2
∴�≤−在2�+�上单调�递�减=,−2�+��∈0,1,即�'�=−2−�,<0
∴故�选�:A.0,1∴�≤�1=−1�∈−∞,−1
4.已知函数的单调递减区间是,则()
322
A.3��=��B.+3�−1�−�+C1.�2>0D.0,4�=
11
32
【答案】B
【解析】
函数,则导数
3222
令��=,�即�+3�−1�−�+1,�>0�'�=3��+6�−1�
2
∵�'�<,0的3单�调�递+减6区�间−是1�<0,
∴�0,>40是方�程�0,4的两根,
2
∴3�,�+6�−,1�=0
21−�
∴0+4=�0×4=0
1
故选�:=B3.
5.已知函数的导函数的图像如图所示,则下列判断正确的是()
���'�
A.在区间上,是增函数B.在区间上,是减函数
C.为−1的,1极小值�点�D.2为−的3,极−大2值点��
【答−案2】D����
【解析】
由导函数的图像可知,
在区间�'�上为单调递减,在区间上为单调递增,则选项不正确;
在区间−1,0上,,则0,是1增函数,则选项不正确A;
由图像可−知3,−2�',�且>0�为�单调递增区间,B为单调递减区间,则为的极大值点,
则选项不�正'确−2;=0−3,−2−2,0−2��
由图像可C知,且为单调递增区间,为单调递减区间,则为的极大值点,则选项
正确;�'2=01,22,32��D
故选:D.
6.函数在定义域内可导,图像如图所示,记的导函数为,则不等式
3
的解集�为=(��)−2,3�=���=�'��'�≥
0
A.B.
1148
C.−3,1⋃2,3D.−1,2∪3,3
313148
【答案−】2,C−3∪1,2−2,−3∪3,3
【解析】
的解集即为单调递增区间
�结'合�图≥像0可得�单=调�递�增区间为
31
则的�解=集�为�−2,−3,1,2
31
故选�':�C≥.0−2,−3∪1,2
7.已知函数有最小值,且最小值为负数,则m的取值范围是()
�
A.(0,1)��=ln�+�B.
1
C.(0,e)D.(0,,e+∞)
【答案】B
【解析】
解:由题意可得.
1��−�
22
当m≤0时,�'�=恒成�−立�,=则�在(0,+∞)上单调递增,从而没有最小值,故m≤0不符合题意;
当m>0时,�由'�>0,得x>m,�(由�),得0<x<m,�(�)
所以函数的增区�'间�为>0,减区间�'为�<0,
所以函数的最小值为(�,+∞)(0,�)
解得.�(�)=ln�+1<0
1
故选:0B<�<e
8.已知函数,若恒成立,则的最小值是()
�
A.��=ln�B−.��−1−�−1�≠C0.,�∈�∀�>0,�D�.≤0�
−1−2
【答1案+】�B1−�1−�e
【解析】
解:由题意得:
1
当时,,函数在上∵单�'调�递=增,−无�最大值,不符合题意;
�
1
当�<0时,令�'�=�−�>0,解得���,当时,,函数在上单调递增,当
'1111
�>0时,��=�−,�函=数0在�=�上�单∈调0递,�减,所�以'�>0��0,�
1111
�∈�,+∞�'�<0.���,+∞��max=��=−ln�−��−1−�−
1令=−ln,�则+�−�−,2所≤以0,设,则
�1
若�=��,=即��,则−ln�+1−,�此�时−2≤0单调递�减�,=符−合ln题�意+;1−��−2�'�=−�+1−�
若1−�,≤由0�≥,1得�'�,<此0时��,解得,所以的最小值为.
1
故选�<:1B�'�=0�=1−���min=ln1−�−1≤0�≥1−��1−�
9.函数的一个单调递增区间为,,则减区间是()
3
A.�(�)=2�−�B�.+6C.[1+∞)D.,
【答(案−】∞B,0)(−1,1)(0,1)(−∞,1)(0,1)
【解析】
函数,则,
32
当�(�)时=,2�−��+恒6成立�,'(函�)数=6�在−其�定义域内是递增.
当�≤0时,令�'(�)≥0,解得:�(�),
�
�>0�'(�)=0�=±6
当时,,函数是递增.
�
�∈6,+∞�'(�)>0�(�)
函数的一个单调递增区间为,故得:,解得:,
�
∵在�(�)时,,函数1,+是∞递减.6=1�=6
∴故�选:(B−.1,1)�'(�)<0�(�)
10.已知函数,下列命题:(1)当时,函数一定存在极小值;(2)当
时,方程��有=且(�只+有�)一ln个�零点(3)函数�<可0能既有极�小=值�,(�也)有极大值;(4)函数�>0
可能为单调��递增=函0数;则正确命题的个数是(�=)�(�)�=�(�)
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
解:因为,所以定义域为,
'�+��ln�+�+�
(1)当��=时(�+�)ln�,令0,+∞�'�=,(则�+�)'ln�+(�+,�)令ln�=ln�,+解�得=�,
�ln�+�+�−2
所以�<0时�'�=,�即在��=�ln上�单+调�+递�减,�'�=ln�+时2�'�,=即0在�=�
−2−2−2−2
上单调�∈递增0,,�当�'�时<0��,0,��∈,�,+∞时�'�>0,�所�以存在�,+∞
+−2−2
�→0��→�<0��=−�+�<0�→+∞��→+∞�0∈
,使得,所以在上单调递减,在上单调递增,即一点存在极小
−2
值�,+∞,故(1)�正�确0;=0��0,�0�0,+∞��
(�2)�0当时,所以或,因为且,所以(舍去),
所以方程�>0�有�且=只(�有+一�个)ln零�点=,0故(2)�正=确1;�=−��>0�>0�=−�
(3)因为��=0是由上(下)平移个单位,由(1)可知
的图象如下�所�示=,�由ln图�+可�知+,�当��=�ln时�,+�与轴有两个�交点,设为��,=此�时ln�+�在
−2
上单调递增,在0<�<上�单调递减�,�此时�既有极大值�1,�2,�也1<有�极2小值��,故
(0,3�)1正,确�2,;+∞�1,�2�=�(�)��1��2
(4)由(3)可知当,即时,完全移至轴上方,此时恒
−2−2
成立,所以−恒�成立+,�所>以0�>��在�定=义�域ln�上+单�调+递�增,故(�4)正确;��>0
故选:D�'�>0��=(�+�)ln�
11.函数,下列说法正确的是()
�
A.当��时=,e−�在cos�处的切线的斜率为1
B.当�=1时,��在0,��上单调递增
C.对任�=意1��在−π,+∞上均存在零点
D.存在�>0,�'在�−π,+∞上有唯一零点
【答案】�A<D0,�'�−π,+∞
【解析】
对于A,当时,,
��
,�故=1在��=处e的−切co线s�的,�斜'�率为=e1,+Asi正n�确;
�对'于0B=,1当��时,0,��,
��
作出函数�=1��=在e−cos�,�'�上=的e图+象s如in�图示,
�
�=e,�=−sin��∈−π,+∞
可以看到在有两交点,
�
即�=e,�=有−两si个n�零点�∈−π,,0不妨假设,
�
当�'�=e+时si,n�,�1,递�2增,当�1<时�,2,递减,当时,,
�∈递增−π,,�1�'�>0���∈�1,�2�'�<0���∈�2,+∞�'�>0
�故�当时,在上不是单调递增函数,故B错误;
对于�C=,1��−π,+,∞,
�
令�'�=e+�sin,�则�∈−π,0,
1sin�
�x
�'�=e+�sin�=0−�=e
令,π,
sin�cos�−sin�−2sin(�−4)
x��
令�(�)=e,,得�∈−π,0�'(�)=e,=e
π
故当�'(�)=0�=�π+4,时�≥,−1,�∈Z,递减,
π5ππ
当�∈(4+2�π,4+2�π)时,2sin(�−4)>0,�'(�)<0�,(�)递增,
5πππ
所以�∈当(4+2�π,4+2π+2�π)时,2sin(�取−到4)极<小0,值�',(�)>0�(�)
5π
即当�=2�π+4时,,�≥−1取,�到∈极Z小值,�(�)
3π5π
�=−4,4,⋯�(�)
又3π5π,即,
sin(−4)sin43π5π
3π5π
−
4<4>⋯�(−4)<�(4)<⋯
又因e为在e上,递减,故,
3π
3π3π24
当(−π,−4]�(�时),取�到(�极)大≥值�(,−4)=−2e
π
即当�=2�π+4,�时≥,0,�∈取Z到极大�(值�),
π9π
�=4,4,⋯�(�)
又π9π,即,故,
sin4sin4π9ππ2
π9ππ
4
4>4>⋯�(4)>�(4)>⋯�(�)≤�(4)=2e
当ee时,,
3π
22
4π
4
�∈−π,+∞−2e≤�(�)≤2e
所以当即,时,在上无零点,故C错误;
3π
2
1243π'
−�<−2e�<e4�(�)−π,+∞
当,即时2,与的图象只有一个交点,
π
121sin�
π4�
4
即存−�在=2e�=在−2e上�=有−唯�一零�点=,e故D正确,
�<0,�'�−π,+∞
故选:AD
12.下列命题为真命题的个数是()
A.B.
π
C.ln3<3ln2D.ln�<e
15
【答2案】<AC15D3eln2<42
【解析】
设函数,则11,
ln��⋅�−ln�⋅2�2−ln�
当�(�)=时�,,�>0,�当'(�)=时,�=2�,�
22
故0<�≤e�在'(�)>0上递�增>,e在�'(�)<上0递减,
ln�22
对于�(�A),=由�,�>0(0,,e故),(即e,+∞),
2ln3ln4
即3<4<e,A�(正3)确<;�(4)3<4
ln32ln2
3<2,ln3<3ln2
对于B,,故,即,即,B错误;
2lnelnπππ
e<π<e�(e)<�(π)e<πlnπ>e=e
对于C,,故,即,
2ln16ln154ln2ln15
故16>15>e�,(1则6)<�(15)16<15,,故4<C正15确;
ln15
1515
对于ln2<,15,15,ln故2<ln15ln,2即<ln15,2<1,5
D2
22ln8lne3ln22
2
即8>e,D正�确(8,)<�(e)8<e,22<e
故选3e:lnA2C<D42
13.已知,若不等式在上恒成立,则a的值可以为()
2�−11211
A.�(�)=�−1B.e−2�C�.ln1�>��−1(1,+D∞.)
【答−案】2AD−12
【解析】
设,则,
1
所以�=�−1−ln�(�在>1)�上'=单1调−递�增>,0所以,
所以�=�−1−ln�(1,+∞),∴�,−1−ln�>0
∴ln�<�−.1,�∈(1,+∞)0<ln�<�−1
11
又ln�>�−1>0在上恒成立,
11
所以�ln�在>��−1上(1单,+调∞递)增,
所以�(�)(1,+∞)对恒成立,即恒成立.
�
2�−12�−1
令�'(�)=�−1e−,�当≥0∀时�,∈(1,+∞),故�−1≥e,
�1−�
�−1�−1
�(�)=e,�'(�)=e�>1�'(�)<0�(�)<�(1)=1
∴,解得或,
2
所以�−a的1值≥可1以为�≥,2,�≤−2
故选:AD.−22
14.已知定义在区间上的函数,则的单调递增区间是__________.
【答案】##(0,�)�(�)=�sin�+cos��(�)
��
【解析】0,20,2
对函数进行求导,
'
当�(�),=�sin�+c,os故�的单调�递(�增)区=间sin是�+�co.s�−sin�=�cos�
�'�
故答�∈案为0,:2�(�.)>0�(�)0,2
�
15.若函数0,2在,上单调递增,则实数的取值范围是____
2�13
【答案】��=�+��+5e22�
【解析】�≥−4
解:,
2'�2�'2�
要使函�'数�=�+��+5e+在�区+间��+5上e单调=递�增,+需2+��+5在+�e上恒成立;
2�1313
即��=�+��+5e在2上,2恒成立,即�'(�)≥02,2在上恒成立,
2�13213
即�+2+�在�+5上+恒�成e立≥,02,2�+2+��+5+�≥02,2
2
−�−2�−513
而�≥1+�2,2
22
−�−2�−5−�+1−4
1+�1+�
=,
444
=−1+�−1+�=−1+�+1+�≤−21+�⋅1+�=−4
当且仅当,即时等号成立,此时符合题意.
4
即.1+�=1+��=1
故答�≥案−为4:
16.已知�≥−4,则下列说法正确的有______________
|�|
�
①函数�(�)=有�唯一零点x=0
②函数�=�(�)的单调递减区间为和
③函数�=�(�)有极大值点(−∞,−1)(1,+∞)
1
④若关于�=x�的(�方)程有1三,�个不同的根,则实数a的取值范围是
1
【答案】①④�(�)=�0,e
【解析】
由得:,即,故函数有唯一零点,故①正确;
�(�)=0|�|=0�=0�(�)�=0
由题意可知:�,
�
�e,�≥0
��
�(�)=e=�
当时,,则−e,�<0,
�1−�
��
当�≥0�时(�,)=e�,'(�)=递e增;当时,,递减,
则此0时≤�<的1极大�值'(为�)>0�(;�)�>1�'(�)<0�(�)
1
当�(时�),�(1),=e,在上单调递减,
��−1�
���
由此�<可0作出�(�)=−的e图>象0如下�':(�)=e<0�(�)=−e(−∞,0)
�=�(�)
观察图象可得函数的单调递减区间为,,②错,
函数在�=时�有(�)极大值,即函数(−∞有,0)极大(1值,+点∞为)1,③错误,
若关于�=x�的(�方)程�=1有三个不同的根,�则=实�数(�)的取值范围是,④正确,
1
故答案为:①④�.(�)=��(0,e)
17.已知函数.
�
(1)当时ℎ,�求函=数�e−�的�单,�调�区=间l:n�+�+1
(2)若�=1在ℎ�恒成立,求实数的取值范围.
【答案ℎ】�(⩾1�)答�案见�解∈析0,+∞�
(2)
【解析】
−∞,0
(1)当时
��
设�=1ℎ�=�e−�,ℎ',�则=�+1e−1
��
��=ℎ'�=�+1e−1�'�=�+2e≥0⇒�≥−2
�
即在递减,在�'�=递�增+,2e<0⇒�<−2
∴当��ℎ'�−∞,−2−2,+∞,当
�
而当�∈−∞,−2,ℎ'�=�+1⋅e所−以1当<0�∈−2,0,ℎ'�<ℎ递'0减=;0
�∈0,+∞,ℎ'�≥ℎ'递0增=.0�∈−∞,0,ℎ'�<0,ℎ�
�故∈函数0,增+区∞间,ℎ为'�≥0,ℎ,�减区间为
0,+∞,−∞,0
(2)�
�ln�1�e−ln�−1
令�+1≤e−�−�=��∈0,+∞
�2�
�e−ln�−1�e+ln�
2
��=�,�'�=�,�∈0,+∞
令
2��21
在递增,而��=�e+ln�,�'�=e�,+2�+>0,�∈0,+∞
1�
1e−2
∴��0,+,∞使�,e即=e−1<0,�1>0
12�1
∴当∃�1∈e,1时,��1=0在�1e+递ln减�1,=当0∗时,在递增
�∈0,�1�'�<0,��0,�1�∈�1,+∞�'�>0,���1,+∞
�1ln�11
∴�(�)min=��1=e−−
因为可变形为11
�1�
2�1�1111ln�11
1
又�1e+ln�=0∗�1e=−在�1ln�1=�递1ln增�,1=eln�1∗∗
���
由(∵�**=)�可e得,�'=�+1e>0,∴�=�e0,+∞
1�11
�1=ln�1=−ln�1,e=�1
�11
min1ln�111
故取值范围为∴�(�)=��=e−−=+1−=1∴�+1≤1∴�≤0
�1�1�1�1
18�.已知函数−∞,0.
12
(1)当时,�求�=�s的in单�调+区cos间�;+2��,�∈0,�
(2)当�=0时,讨论��的零点个数.
【答案�】>(01)单调增区�间�为,单调减区间为
��
(2)答案见解析0,22,�
【解析】
(1)解:当时,函数,
可得�=0��=�sin�+c.os�,�∈0,�
当在�区'�间=sin�上+变�化co时s�,−sin�,=f(�cox)s�的变化如下表:
�0,��'�
x0
���
0,,��
0+2202-
�'�
f(x)极小值1极大值-1
�
↗2↘
所以的单调增区间为;的单调减区间为.
��
(2)解�:�由题意,函数0,2��2,�,
12
可得��=�sin�+cos�+2��,�∈0,�
当�'�时=,��+�cos�=在��+co上s�恒成立,
所以�≥1�时+,cos�≥0,[0所,π以]在上单调递增.
又因为�∈[0,�],所�'以�f(≥x0)在��上有[0,个π]零点.
�0=1[0,π]
当时,令,可得.
由0<�<1可知�存'在�唯=一0的cos�=使−得�,
�
所以−1当<−�<0时,,�0∈单2,调�递增;cos�0=−�
当�∈[0时,�,0)�'�,≥0�单�调递减,
因为�∈�0,�,�'�<0,��,
12
0
①当�0=1�(�,)即>1��=时2,��−在1上有0个零点.
12
22
②当2��−1>0,即�<�<1时,��在[0,π]上有1个零点.
12
22
综上可2�得�,−当1≤00时<,�≤�有2�个�零点[;0,当π]时,有0个零点.
22
22
19.已知函数0<�≤�,其�图�象在处的切�线>过�点��.
2
��−12
(1)求a的值;��=ln��=e2e,2e
(2)讨论的单调性;
(3)若��,关于x的不等式在区间上恒成立,求的取值范围.
2��
【答案�>】0(1)1����≤e−1[1,+∞)�
(2)在上递增,在上递增;
(3)��0,11,+∞
1
【解[e析,+】∞)
(1)解:因为函数,
2
��−1
所以��,=ln�,
21
22��ln�−��−1�
2
则�e=�e−,1�'�=ln�
1
所以�'函e在=�e+处e的切线方程为,
21
又因为切线�=过e点,�−�e−1=�e+e�−e
2
所以2e,2e,
221
即2e−�e,−解1得=�e;+e2e−e
22
(2)由2�(e1=)2知e;�=1,则,
222
�−12�ln�−�+1
2
令��=ln�,则�'�=�ln,�
22
当��=2�时ln�,−�+1,当�'�=时4�,ln�,
所0以<�<1�'�<0�>1�'�>0
即当
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