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文档简介

高二数学暑假作业精讲精练(新人教A版2019)

专题09导数与函数的单调性

基础知识复习

1.函数的单调性

在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y

=f(x)在这个区间内单调递减.

2.函数的极值

(1)一般地,求函数y=f(x)的极值的方法

解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时:

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;

②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x);

②求方程f′(x)=0的根;

③考查f′(x)在方程f′(x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得

极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.

3.函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调

递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:

①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小

值.

【知识拓展】

1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

2.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,

b)上的任何子区间内都不恒为零.

3.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.

典型习题强化

1.已知偶函数的定义域为R,导函数为,若对任意,都有恒成立,

则下列结论正确�的(�是)()�'��∈0,+∞)2��+��'�>0

A.B.C.)D.

【答�案0】<C09�−3<�14�2>�(−1�1<�2

【解析】

令,则,则A错误;

令�=02�(,0)则+0>0,∴�(0)>0,

22

当�(�)=时�,�由(�)�'(�)=2��(�,)+��'(�)

�>02��+,�则�'�>在0上单调递增,

2

∴又2因��为(�偶)函+数��'(�)的>定0义域为��R,(0,+∞)

∴�(�为)偶函数,在上单调递增,

2

�(�)=��(�),��(0,+∞),故B错误;

∴�(−3)=�3,>�(1)9�(−3),>故�(C1)正确;

∴由�题(2意),>不�(妨−假1)设4�(2)>�(−(c1为)常数)符合题意,此时,故D错误.

故选:C.�(�)=�>0�1=�2=�

2.函数的单调减区间是()

1�

A.��=�−2eB.

C.(−∞,ln2)D.(ln2,+∞)

【答(案–∞】,2B)(2,+∞)

【解析】

,

1�

�由'(�)=1−,2e得,

所以�'(�)<的0单调递�>减l区n2间为.

故选:�(�B)(ln2,+∞)

3.若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围是()

1

A.�(�)=2sin2B�.+�cos�(0,�)C.D.

【答(案−】∞A,−1][−1,+∞)(−∞,−1)[1,+∞)

【解析】

解:在区间上是增函数,

1

∵�(�)=2sin2�+�cos�在(上0,恒�)成立,

∴�'(�)=cos2�−�sin�≥,0因为(0,�),所以

2

∴令1−2sin,�则−�sin�≥,0即�∈(0,�),sin�∈0,,1

2

�=sin�,�令∈0,1−2�,−��+1≥,0则�∈0,1,

111

2

∴�≤−在2�+�上单调�递�减=,−2�+��∈0,1,即�'�=−2−�,<0

∴故�选�:A.0,1∴�≤�1=−1�∈−∞,−1

4.已知函数的单调递减区间是,则()

322

A.3��=��B.+3�−1�−�+C1.�2>0D.0,4�=

11

32

【答案】B

【解析】

函数,则导数

3222

令��=,�即�+3�−1�−�+1,�>0�'�=3��+6�−1�

2

∵�'�<,0的3单�调�递+减6区�间−是1�<0,

∴�0,>40是方�程�0,4的两根,

2

∴3�,�+6�−,1�=0

21−�

∴0+4=�0×4=0

1

故选�:=B3.

5.已知函数的导函数的图像如图所示,则下列判断正确的是()

���'�

A.在区间上,是增函数B.在区间上,是减函数

C.为−1的,1极小值�点�D.2为−的3,极−大2值点��

【答−案2】D����

【解析】

由导函数的图像可知,

在区间�'�上为单调递减,在区间上为单调递增,则选项不正确;

在区间−1,0上,,则0,是1增函数,则选项不正确A;

由图像可−知3,−2�',�且>0�为�单调递增区间,B为单调递减区间,则为的极大值点,

则选项不�正'确−2;=0−3,−2−2,0−2��

由图像可C知,且为单调递增区间,为单调递减区间,则为的极大值点,则选项

正确;�'2=01,22,32��D

故选:D.

6.函数在定义域内可导,图像如图所示,记的导函数为,则不等式

3

的解集�为=(��)−2,3�=���=�'��'�≥

0

A.B.

1148

C.−3,1⋃2,3D.−1,2∪3,3

313148

【答案−】2,C−3∪1,2−2,−3∪3,3

【解析】

的解集即为单调递增区间

�结'合�图≥像0可得�单=调�递�增区间为

31

则的�解=集�为�−2,−3,1,2

31

故选�':�C≥.0−2,−3∪1,2

7.已知函数有最小值,且最小值为负数,则m的取值范围是()

A.(0,1)��=ln�+�B.

1

C.(0,e)D.(0,,e+∞)

【答案】B

【解析】

解:由题意可得.

1��−�

22

当m≤0时,�'�=恒成�−立�,=则�在(0,+∞)上单调递增,从而没有最小值,故m≤0不符合题意;

当m>0时,�由'�>0,得x>m,�(由�),得0<x<m,�(�)

所以函数的增区�'间�为>0,减区间�'为�<0,

所以函数的最小值为(�,+∞)(0,�)

解得.�(�)=ln�+1<0

1

故选:0B<�<e

8.已知函数,若恒成立,则的最小值是()

A.��=ln�B−.��−1−�−1�≠C0.,�∈�∀�>0,�D�.≤0�

−1−2

【答1案+】�B1−�1−�e

【解析】

解:由题意得:

1

当时,,函数在上∵单�'调�递=增,−无�最大值,不符合题意;

1

当�<0时,令�'�=�−�>0,解得���,当时,,函数在上单调递增,当

'1111

�>0时,��=�−,�函=数0在�=�上�单∈调0递,�减,所�以'�>0��0,�

1111

�∈�,+∞�'�<0.���,+∞��max=��=−ln�−��−1−�−

1令=−ln,�则+�−�−,2所≤以0,设,则

�1

若�=��,=即��,则−ln�+1−,�此�时−2≤0单调递�减�,=符−合ln题�意+;1−��−2�'�=−�+1−�

若1−�,≤由0�≥,1得�'�,<此0时��,解得,所以的最小值为.

1

故选�<:1B�'�=0�=1−���min=ln1−�−1≤0�≥1−��1−�

9.函数的一个单调递增区间为,,则减区间是()

3

A.�(�)=2�−�B�.+6C.[1+∞)D.,

【答(案−】∞B,0)(−1,1)(0,1)(−∞,1)(0,1)

【解析】

函数,则,

32

当�(�)时=,2�−��+恒6成立�,'(函�)数=6�在−其�定义域内是递增.

当�≤0时,令�'(�)≥0,解得:�(�),

�>0�'(�)=0�=±6

当时,,函数是递增.

�∈6,+∞�'(�)>0�(�)

函数的一个单调递增区间为,故得:,解得:,

∵在�(�)时,,函数1,+是∞递减.6=1�=6

∴故�选:(B−.1,1)�'(�)<0�(�)

10.已知函数,下列命题:(1)当时,函数一定存在极小值;(2)当

时,方程��有=且(�只+有�)一ln个�零点(3)函数�<可0能既有极�小=值�,(�也)有极大值;(4)函数�>0

可能为单调��递增=函0数;则正确命题的个数是(�=)�(�)�=�(�)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

解:因为,所以定义域为,

'�+��ln�+�+�

(1)当��=时(�+�)ln�,令0,+∞�'�=,(则�+�)'ln�+(�+,�)令ln�=ln�,+解�得=�,

�ln�+�+�−2

所以�<0时�'�=,�即在��=�ln上�单+调�+递�减,�'�=ln�+时2�'�,=即0在�=�

−2−2−2−2

上单调�∈递增0,,�当�'�时<0��,0,��∈,�,+∞时�'�>0,�所�以存在�,+∞

+−2−2

�→0��→�<0��=−�+�<0�→+∞��→+∞�0∈

,使得,所以在上单调递减,在上单调递增,即一点存在极小

−2

值�,+∞,故(1)�正�确0;=0��0,�0�0,+∞��

(�2)�0当时,所以或,因为且,所以(舍去),

所以方程�>0�有�且=只(�有+一�个)ln零�点=,0故(2)�正=确1;�=−��>0�>0�=−�

(3)因为��=0是由上(下)平移个单位,由(1)可知

的图象如下�所�示=,�由ln图�+可�知+,�当��=�ln时�,+�与轴有两个�交点,设为��,=此�时ln�+�在

−2

上单调递增,在0<�<上�单调递减�,�此时�既有极大值�1,�2,�也1<有�极2小值��,故

(0,3�)1正,确�2,;+∞�1,�2�=�(�)��1��2

(4)由(3)可知当,即时,完全移至轴上方,此时恒

−2−2

成立,所以−恒�成立+,�所>以0�>��在�定=义�域ln�上+单�调+递�增,故(�4)正确;��>0

故选:D�'�>0��=(�+�)ln�

11.函数,下列说法正确的是()

A.当��时=,e−�在cos�处的切线的斜率为1

B.当�=1时,��在0,��上单调递增

C.对任�=意1��在−π,+∞上均存在零点

D.存在�>0,�'在�−π,+∞上有唯一零点

【答案】�A<D0,�'�−π,+∞

【解析】

对于A,当时,,

��

,�故=1在��=处e的−切co线s�的,�斜'�率为=e1,+Asi正n�确;

�对'于0B=,1当��时,0,��,

��

作出函数�=1��=在e−cos�,�'�上=的e图+象s如in�图示,

�=e,�=−sin��∈−π,+∞

可以看到在有两交点,

即�=e,�=有−两si个n�零点�∈−π,,0不妨假设,

当�'�=e+时si,n�,�1,递�2增,当�1<时�,2,递减,当时,,

�∈递增−π,,�1�'�>0���∈�1,�2�'�<0���∈�2,+∞�'�>0

�故�当时,在上不是单调递增函数,故B错误;

对于�C=,1��−π,+,∞,

令�'�=e+�sin,�则�∈−π,0,

1sin�

�x

�'�=e+�sin�=0−�=e

令,π,

sin�cos�−sin�−2sin(�−4)

x��

令�(�)=e,,得�∈−π,0�'(�)=e,=e

π

故当�'(�)=0�=�π+4,时�≥,−1,�∈Z,递减,

π5ππ

当�∈(4+2�π,4+2�π)时,2sin(�−4)>0,�'(�)<0�,(�)递增,

5πππ

所以�∈当(4+2�π,4+2π+2�π)时,2sin(�取−到4)极<小0,值�',(�)>0�(�)

即当�=2�π+4时,,�≥−1取,�到∈极Z小值,�(�)

3π5π

�=−4,4,⋯�(�)

又3π5π,即,

sin(−4)sin43π5π

3π5π

4<4>⋯�(−4)<�(4)<⋯

又因e为在e上,递减,故,

3π3π24

当(−π,−4]�(�时),取�到(�极)大≥值�(,−4)=−2e

π

即当�=2�π+4,�时≥,0,�∈取Z到极大�(值�),

π9π

�=4,4,⋯�(�)

又π9π,即,故,

sin4sin4π9ππ2

π9ππ

4

4>4>⋯�(4)>�(4)>⋯�(�)≤�(4)=2e

当ee时,,

22

4

�∈−π,+∞−2e≤�(�)≤2e

所以当即,时,在上无零点,故C错误;

2

1243π'

−�<−2e�<e4�(�)−π,+∞

当,即时2,与的图象只有一个交点,

π

121sin�

π4�

4

即存−�在=2e�=在−2e上�=有−唯�一零�点=,e故D正确,

�<0,�'�−π,+∞

故选:AD

12.下列命题为真命题的个数是()

A.B.

π

C.ln3<3ln2D.ln�<e

15

【答2案】<AC15D3eln2<42

【解析】

设函数,则11,

ln��⋅�−ln�⋅2�2−ln�

当�(�)=时�,,�>0,�当'(�)=时,�=2�,�

22

故0<�≤e�在'(�)>0上递�增>,e在�'(�)<上0递减,

ln�22

对于�(�A),=由�,�>0(0,,e故),(即e,+∞),

2ln3ln4

即3<4<e,A�(正3)确<;�(4)3<4

ln32ln2

3<2,ln3<3ln2

对于B,,故,即,即,B错误;

2lnelnπππ

e<π<e�(e)<�(π)e<πlnπ>e=e

对于C,,故,即,

2ln16ln154ln2ln15

故16>15>e�,(1则6)<�(15)16<15,,故4<C正15确;

ln15

1515

对于ln2<,15,15,ln故2<ln15ln,2即<ln15,2<1,5

D2

22ln8lne3ln22

2

即8>e,D正�确(8,)<�(e)8<e,22<e

故选3e:lnA2C<D42

13.已知,若不等式在上恒成立,则a的值可以为()

2�−11211

A.�(�)=�−1B.e−2�C�.ln1�>��−1(1,+D∞.)

【答−案】2AD−12

【解析】

设,则,

1

所以�=�−1−ln�(�在>1)�上'=单1调−递�增>,0所以,

所以�=�−1−ln�(1,+∞),∴�,−1−ln�>0

∴ln�<�−.1,�∈(1,+∞)0<ln�<�−1

11

又ln�>�−1>0在上恒成立,

11

所以�ln�在>��−1上(1单,+调∞递)增,

所以�(�)(1,+∞)对恒成立,即恒成立.

2�−12�−1

令�'(�)=�−1e−,�当≥0∀时�,∈(1,+∞),故�−1≥e,

�1−�

�−1�−1

�(�)=e,�'(�)=e�>1�'(�)<0�(�)<�(1)=1

∴,解得或,

2

所以�−a的1值≥可1以为�≥,2,�≤−2

故选:AD.−22

14.已知定义在区间上的函数,则的单调递增区间是__________.

【答案】##(0,�)�(�)=�sin�+cos��(�)

��

【解析】0,20,2

对函数进行求导,

'

当�(�),=�sin�+c,os故�的单调�递(�增)区=间sin是�+�co.s�−sin�=�cos�

�'�

故答�∈案为0,:2�(�.)>0�(�)0,2

15.若函数0,2在,上单调递增,则实数的取值范围是____

2�13

【答案】��=�+��+5e22�

【解析】�≥−4

解:,

2'�2�'2�

要使函�'数�=�+��+5e+在�区+间��+5上e单调=递�增,+需2+��+5在+�e上恒成立;

2�1313

即��=�+��+5e在2上,2恒成立,即�'(�)≥02,2在上恒成立,

2�13213

即�+2+�在�+5上+恒�成e立≥,02,2�+2+��+5+�≥02,2

2

−�−2�−513

而�≥1+�2,2

22

−�−2�−5−�+1−4

1+�1+�

=,

444

=−1+�−1+�=−1+�+1+�≤−21+�⋅1+�=−4

当且仅当,即时等号成立,此时符合题意.

4

即.1+�=1+��=1

故答�≥案−为4:

16.已知�≥−4,则下列说法正确的有______________

|�|

①函数�(�)=有�唯一零点x=0

②函数�=�(�)的单调递减区间为和

③函数�=�(�)有极大值点(−∞,−1)(1,+∞)

1

④若关于�=x�的(�方)程有1三,�个不同的根,则实数a的取值范围是

1

【答案】①④�(�)=�0,e

【解析】

由得:,即,故函数有唯一零点,故①正确;

�(�)=0|�|=0�=0�(�)�=0

由题意可知:�,

�e,�≥0

��

�(�)=e=�

当时,,则−e,�<0,

�1−�

��

当�≥0�时(�,)=e�,'(�)=递e增;当时,,递减,

则此0时≤�<的1极大�值'(为�)>0�(;�)�>1�'(�)<0�(�)

1

当�(时�),�(1),=e,在上单调递减,

��−1�

���

由此�<可0作出�(�)=−的e图>象0如下�':(�)=e<0�(�)=−e(−∞,0)

�=�(�)

观察图象可得函数的单调递减区间为,,②错,

函数在�=时�有(�)极大值,即函数(−∞有,0)极大(1值,+点∞为)1,③错误,

若关于�=x�的(�方)程�=1有三个不同的根,�则=实�数(�)的取值范围是,④正确,

1

故答案为:①④�.(�)=��(0,e)

17.已知函数.

(1)当时ℎ,�求函=数�e−�的�单,�调�区=间l:n�+�+1

(2)若�=1在ℎ�恒成立,求实数的取值范围.

【答案ℎ】�(⩾1�)答�案见�解∈析0,+∞�

(2)

【解析】

−∞,0

(1)当时

��

设�=1ℎ�=�e−�,ℎ',�则=�+1e−1

��

��=ℎ'�=�+1e−1�'�=�+2e≥0⇒�≥−2

即在递减,在�'�=递�增+,2e<0⇒�<−2

∴当��ℎ'�−∞,−2−2,+∞,当

而当�∈−∞,−2,ℎ'�=�+1⋅e所−以1当<0�∈−2,0,ℎ'�<ℎ递'0减=;0

�∈0,+∞,ℎ'�≥ℎ'递0增=.0�∈−∞,0,ℎ'�<0,ℎ�

�故∈函数0,增+区∞间,ℎ为'�≥0,ℎ,�减区间为

0,+∞,−∞,0

(2)�

�ln�1�e−ln�−1

令�+1≤e−�−�=��∈0,+∞

�2�

�e−ln�−1�e+ln�

2

��=�,�'�=�,�∈0,+∞

2��21

在递增,而��=�e+ln�,�'�=e�,+2�+>0,�∈0,+∞

1�

1e−2

∴��0,+,∞使�,e即=e−1<0,�1>0

12�1

∴当∃�1∈e,1时,��1=0在�1e+递ln减�1,=当0∗时,在递增

�∈0,�1�'�<0,��0,�1�∈�1,+∞�'�>0,���1,+∞

�1ln�11

∴�(�)min=��1=e−−

因为可变形为11

�1�

2�1�1111ln�11

1

又�1e+ln�=0∗�1e=−在�1ln�1=�递1ln增�,1=eln�1∗∗

���

由(∵�**=)�可e得,�'=�+1e>0,∴�=�e0,+∞

1�11

�1=ln�1=−ln�1,e=�1

�11

min1ln�111

故取值范围为∴�(�)=��=e−−=+1−=1∴�+1≤1∴�≤0

�1�1�1�1

18�.已知函数−∞,0.

12

(1)当时,�求�=�s的in单�调+区cos间�;+2��,�∈0,�

(2)当�=0时,讨论��的零点个数.

【答案�】>(01)单调增区�间�为,单调减区间为

��

(2)答案见解析0,22,�

【解析】

(1)解:当时,函数,

可得�=0��=�sin�+c.os�,�∈0,�

当在�区'�间=sin�上+变�化co时s�,−sin�,=f(�cox)s�的变化如下表:

�0,��'�

x0

���

0,,��

0+2202-

�'�

f(x)极小值1极大值-1

↗2↘

所以的单调增区间为;的单调减区间为.

��

(2)解�:�由题意,函数0,2��2,�,

12

可得��=�sin�+cos�+2��,�∈0,�

当�'�时=,��+�cos�=在��+co上s�恒成立,

所以�≥1�时+,cos�≥0,[0所,π以]在上单调递增.

又因为�∈[0,�],所�'以�f(≥x0)在��上有[0,个π]零点.

�0=1[0,π]

当时,令,可得.

由0<�<1可知�存'在�唯=一0的cos�=使−得�,

所以−1当<−�<0时,,�0∈单2,调�递增;cos�0=−�

当�∈[0时,�,0)�'�,≥0�单�调递减,

因为�∈�0,�,�'�<0,��,

12

0

①当�0=1�(�,)即>1��=时2,��−在1上有0个零点.

12

22

②当2��−1>0,即�<�<1时,��在[0,π]上有1个零点.

12

22

综上可2�得�,−当1≤00时<,�≤�有2�个�零点[;0,当π]时,有0个零点.

22

22

19.已知函数0<�≤�,其�图�象在处的切�线>过�点��.

2

��−12

(1)求a的值;��=ln��=e2e,2e

(2)讨论的单调性;

(3)若��,关于x的不等式在区间上恒成立,求的取值范围.

2��

【答案�>】0(1)1����≤e−1[1,+∞)�

(2)在上递增,在上递增;

(3)��0,11,+∞

1

【解[e析,+】∞)

(1)解:因为函数,

2

��−1

所以��,=ln�,

21

22��ln�−��−1�

2

则�e=�e−,1�'�=ln�

1

所以�'函e在=�e+处e的切线方程为,

21

又因为切线�=过e点,�−�e−1=�e+e�−e

2

所以2e,2e,

221

即2e−�e,−解1得=�e;+e2e−e

22

(2)由2�(e1=)2知e;�=1,则,

222

�−12�ln�−�+1

2

令��=ln�,则�'�=�ln,�

22

当��=2�时ln�,−�+1,当�'�=时4�,ln�,

所0以<�<1�'�<0�>1�'�>0

即当

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