2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册　基本初等函数的导数

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5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数[目标导航]新知导学·素养启迪新知梳理1.几种常用函数的导数013x22.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f′(x)=f(x)=sin

xf′(x)=f(x)=cos

xf′(x)=0αxα-1cosx-sinxaxlnaex小试身手0解析:常数的导数等于0.2.若函数y=10x,则y′|x=1=

10ln10解析:因为y′=10xln

10,所以y′|x=1=10ln

10.3.若函数f(x)=log2x,则f′(3)=

课堂探究·素养培育[例1]

求下列函数的导数.利用导数公式求函数的导数(4)y=lgx;(5)y=5x;解:(5)因为y=5x,所以y′=5xln

5.即时训练1-1:求下列函数的导数.(1)y=x12;解:(1)y′=(x12)′=12x11.(3)y=3x;解:(3)y′=(3x)′=3xln

3.(4)y=log5x.(1)若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.利用公式求函数在某点处的导即时训练2-1:一质点的运动方程为s=sin

t,则t=1时质点的瞬时速度为(

)A.sin

B.cos

1C.-sin

D.-cos

解析:s′=cos

t,当t=1时,s′|t=1=cos

1,所以当t=1时质点的瞬时速度为cos

1.故选B.(1)速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数.(2)求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤是:①先求函数的导函数;②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.导数公式的应用[例3]

已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程;若没有,说明理由.变式训练3-1:若本例条件不变,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.变式训练3-2:若将本例中函数改为y=ln

x,试求与直线PQ平行的切线方程.求曲线的切线方程时,应注意(1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程;(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率;(3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.当堂即练·素养达成当堂即练C

D4.已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为

eln3课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其

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