2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册++第四章+　数学归纳法

4.4*数学归纳法[目标导航]课标要求1.了解数学归纳法的原理2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题新知导学·素养启迪新知梳理数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当

时命题成立;(2)(归纳递推)以“当

时命题成立”为条件,推出“当

时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为

.n=n0(n0∈N*)n=k(k∈N*,k≥n0)n=k+1数学归纳法(1)数学归纳法是一种直接证明的方法,一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.(2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数,并不是所有的第一个值n0都是1.(3)数学归纳法中的两步的作用:在数学归纳法中的第一步“验证n=n0时,命题成立”,是归纳奠基,是推理证明的基础.第二步是归纳递推,保证了推理的延续性,证明了这一步,就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立.(4)步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”起着已知的作用,证明“当n=k+1时命题也成立”的过程中,必须用到归纳假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入归纳假设,此时

n=k+1时命题成立也是假设,命题并没有得证.小试身手1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为

.

3解析:根据凸n边形至少有3条边,知n≥3,故n0的取值应为3.1+2+3+42k课堂探究·素养培育A.1

B.1+aC.1+a+a2

D.1+a+a2+a3数学归纳法的概念C解析:实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1,所以n=1时,左边的最后一项应为a2,因此左边计算的结果应为1+a+a2.故选C.即时训练1-1:下列四个判断中,正确的是(

)A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+),当n=1时为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+),当n=1时为1+kC(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.用数学归纳法证明等式探究角度1用数学归纳法证明等式[例2]

用数学归纳法证明:用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.探究角度2归纳——猜想——证明(1)求a1,a2,a3;(2)猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明.解:(2)由(1)猜想an=n.证明:①当n=1,a1=1,显然成立.即时训练3-1:在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4;解:(1)由an+1=λan+λn+1+(2-λ)·2n,将a1=2代入,得a2=λa1+λ2+(2-λ)×2=λ2+4;将a2=λ2+4代入,得a3=λa2+λ3+(2-λ)×22=2λ3+8;将a3=2λ3+8代入,得a4=λa3+λ4+(2-λ)×23=3λ4+16.(2)猜想{an}的通项公式并加以证明.解:(2)由a2,a3,a4,对{an}的通项公式作出猜想,an=(n-1)λn+2n.证明如下:①当n=1时,a1=2=(1-1)λ1+21成立.②假设当n=k(k∈N*)时,ak=(k-1)λk+2k,则当n=k+1时,ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k=(k-1)λk+1+λ2k+λk+1+(2-λ)2k=kλk+1+2k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1.由此可知,当n=k+1时,ak+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1也成立.由①②可知,an=(n-1)λn+2n对任意n∈N*都成立.“归纳—猜想—证明”的一般步骤用数学归纳法证明不等式探究点三函数零点个数问题用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些,方法更灵活一些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点:(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.用数学归纳法证明整除性问题[例5]

用数学归纳法证明:当n∈N*时,32n+1+2n+2能被7整除.证明:①当n=1时,32n+1+2n+2=33+23=35能被7整除.②假设n=k时,32k+1+2k+2能被7整除,则当n=k+1时,32k+3+2k+3=9·32k+1+2·2k+2=7·32k+1+2·32k+1+2·2k+2=7·32k+1+2·(32k+1+2k+2),因为32k+1+2k+2能被7整除,7·32k+1能被7整除,所以n=k+1时,32k+3+2k+3能被7整除,综合①②可得当n∈N*时,32n+1+2n+2能被7整除.即时训练5-1:求证:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除.证明:(1)当n=1时,13+(1+1)3+(1+2)3=36,能被9整除,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3).由归纳假设,上式中k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,又9(k2+3k+3)也能被9整除.故n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,对任意n∈N*命题成立.利用数学归纳法证明整除性问题时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧,凑出n=k

时的情形,从而利用归纳假设使问题得证.当堂即练·素养达成A.1 B.2 C.3 D.4当堂即练C

解析:边数最少的凸n边形是三角形.故选C.2.用数学归纳法证明等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”时,从k到k+1左边需增加的代数式为(

)A.2k-2

B.2k-1

C.2k

D.2k+1D解析:等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”中,当n=k时,等式的左边=1+3+5+…+(2k-1),当n=k+1时,等式的左边=1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1),所以从k到k+1左边需增加的代数式为2k+1.故选D.3.用数学归纳法证明:“当n为奇数时,xn+yn能被

x+y

整除”时,在归纳假设中,假设当n=k

时命题成立,那么下一步应证明n=

时命题也成立.

k+2解析:两个奇数之间相差2,所以n=k+2.1.在应用数学归纳