2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第五章+　函数的最值与导数

第二课时函数的最值与导数[目标导航]课标要求1.理解函数的最值的概念2.了解函数的最值和极值的区别与联系3.会用导数求在给定区间上函数的最值新知导学·素养启迪新知梳理1.函数的最大(小)值的存在性一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条

的曲线,那么它必有最大值与最小值.2.求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)上的

.(2)将函数y=f(x)的

与

处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是

,最小的一个是

.连续不断极值各极值端点最大值最小值极值和最值的区别与联系(1)区别①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较;函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者.②函数的极值可以有多个,但最大(小)值只能有一个,极值只能在区间内取得,最值可以在区间端点处取得.(2)联系如果在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间(a,b)可以是无穷区间.小试身手1.函数f(x)=x3-3x在[0,3]上的最小值为

.

解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f′(x)=0,解得x=-1或x=1,因为x∈[0,3],所以当x∈[0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,3]时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以当x∈[0,3]时,f(x)的最小值为f(1)=-2.-23.若函数f(x)=axlnx(a∈R)的最小值为-1,则实数

a=

.

e4.已知函数f(x)=x2e2,当x∈[-1,1]时,不等式f(x)<m恒成立,则m的取值范围为

.

(e2,+∞)解析:因为二次函数f(x)=x2e2在x∈[-1,1]上先减后增,且抛物线开口向上,故当x=1或-1时函数取得最大值e2,由题意可得m>e2.课堂探究·素养培育探究角度1求不含参数的函数最值求函数的最值(1)讨论f(x)的单调性;解:(1)f′(x)=x2+3x+2=(x+1)(x+2),令f′(x)>0,解得x<-2或x>-1;令f′(x)<0,解得-2<x<-1.故函数f(x)在(-∞,-2),(-1,+∞)上单调递增,在(-2,-1)上单调递减.(2)求f(x)在区间[-2,2]的最大值和最小值.解:(2)由(1)可得x,f′(x),f(x)的变化情况,如表.即时训练1-1:已知函数f(x)=x3-3ax+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y+m=0.(1)求实数a,m的值;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最值.求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值.探究角度2求含参数的函数最值[例2]

已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;解:(1)根据题意,f′(x)=6x2+6ax=6x(x+a).①当a=0时,f′(x)=6x2≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;②当a>0时,若f′(x)=6x(x+a)>0,解得x<-a或x>0,则f(x)的递增区间为(-∞,-a)和(0,+∞),递减区间为(-a,0);③当a<0时,若f′(x)=6x(x+a)>0,解得x<0或x>-a,则f(x)的递增区间为(-∞,0)和(-a,+∞),递减区间为(0,-a).综上可得,当a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;当a>0时,f(x)的递增区间为(-∞,-a)和(0,+∞),递减区间为(-a,0);当a<0时,f(x)的递增区间为(-∞,0)和(-a,+∞),递减区间为(0,-a).(2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值.解:(2)根据题意,①当-a≤0,即a≥0时,f(x)在[0,2]上递增,此时f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)=1,②当0<-a<2,即-2<a<0时,f(x)在[0,-a]上递减,在(-a,2)上递增,此时f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(-a)=a3+1,③当-a≥2,即a≤-2时,f(x)在[0,2]上递减,此时f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(2)=17+12a.综合可得,当a≥0时,f(x)的最小值为f(0)=1,当-2<a<0时,f(x)的最小值为f(-a)=a3+1,当a≤-2时,f(x)的最小值为f(2)=17+12a.即时训练2-1:已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商法,甚至要分类讨论.已知函数的最值求参数(1)判断函数y=g(x)的单调性.(2)若x∈(0,e](e≈2.718),判断是否存在实数a,使函数g(x)的最小值为2?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.即时训练3-1:已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值.(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值.(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用.与函数最值有关的恒成立问题[例4]

设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);解:(1)因为f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),所以当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.解:(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g′(t)=-3t2+3=0, 得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表.t(0,1)1(1,2)g′(t)+0-g(t)↗极大值1-m↘所以g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m.h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立,即等价于1-m<0,所以m的取值范围为(1,+∞).变式训练4-1:若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立”,则实数m的取值范围如何求解?解:令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m.由g′(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去).当t变化时,g′(t),g(t)的变化情况如下表.t0(0,1)1(1,2)2g′(t)+0-g(t)-1-m↗极大值1-m↘-3-m所以g(t)在[0,2]上有最小值g(2)=-3-m,存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成立,等价于g(t)的最小值g(2)<0.所以-3-m<0,所以m>-3,所以实数m的取值范围为(-3,+∞).变式训练4-2:若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2∈(0,2),都有h(t1)<-2t2+m”,求实数m的取值范围.(1)不等式恒成立问题的转化技巧①a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或a≤f(x)min);②a≥f(x)(或a≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或a≤f(x)max);③f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)=f(x)-g(x));④f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)=f(x)-g(x)).(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若存在x0∈[a,b],使得f(x)≥c或f(x)≤c成立,则c≤f(x)max或c≥f(x)min.隐零点问题在导数问题中,导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的,这样的零点我们称之为“隐零点”(即能确定其存在,但又无法用显性的代数式进行表达).“隐零点”问题的基本解决思路是形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化,方法上分离函数(参数),技巧上反客为主.[典例]

已知函数f(x)=ex-lnx+1.(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)求证:f(x)>3.解决隐零点问题的常用方法(2)零点代换法:当导函数的零点不可求时,根据导数的单调性.特殊值等特征,判断其是否存在零点,若存在,则虚设零点.虚设零点的关键步骤是“零点代换”.注意:有些问题还要利用函数零点存在定理对隐零点的范围进行判断.(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0,因而需解方程g′(x)=0.但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.因为g′(1)=0,且当0<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以g(x)max=g(1)=2.当x→0时,g(x)→-∞;当x→+∞时,g(x)→-∞,所以函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所求实数k的取值范围是(-∞,2].当堂即练·素