2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+课件+第五章++简单复合函数的导数

5.2.3简单复合函数的导数[目标导航]课标要求1.了解复合函数的概念2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数新知导学·素养启迪新知梳理1.复合函数的概念一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成

,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作

.2.复合函数的求导法则一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=

,即y对x的导数等于

.x的函数y=f(g(x))y′u·u′xy对u的导数与u对x的导数的乘积对复合函数概念的理解(1)在复合函数中,内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集.(2)对于复合函数,中间变量应该选择基本初等函数.判断一个函数是基本初等函数的标准是运用求导公式可直接求导.小试身手u=v2+1v=sinx4.曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是

.

3解析:因为y=e2x+x,所以y′=2e2x+1,所以y′|x=0=3,由导数的几何意义可得曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是3.课堂探究·素养培育[例1]

求下列函数的导数.复合函数的导数解:(2)设y=eu,u=sin

v,v=ax+b,则y′x=y′u·u′v·v′x=eu·cos

v·a=acos

(ax+b)·esin(ax+b).(2)y=esin(ax+b);(4)y=5log2(2x+1).即时训练1-1:求下列函数的导数.(1)y=103x-2;解:(1)令u=3x-2,则y=10u,所以y′x=y′u·u′x=10uln

10·(3x-2)′=3×103x-2ln

10.(2)y=ln(ex+x2);(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁.复合函数与导数的运算法则的综合应用[例2]

求下列函数的导数.即时训练2-1:求下列函数的导数.(2)y=sin3x+sinx3;解:(2)y′=(sin3x+sin

x3)′=(sin3x)′+(sin

x3)′=3sin2xcos

x+3x2cos

x3.(3)y=xln(1+2x).复合函数求导应注意的问题(1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的.(2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,由外及内逐层求导.导数运算法则的综合应用[例3]

(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(

)A

(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=

.

2解析:(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f′(0)=2.因为f(x)=eax,所以f′(x)=(eax)′=eax·(ax)′=aeax,所以f′(0)=ae0=2,故a=2.当堂即练·素养达成当堂即练1.(多选题)下列哪些函数是复合函数(

)BCD解析:A不是复合函数,B,C,D都是复合函数.故选BCD.2.函数y=x2cos

2x的导数为(

)A.y′=2xcos

2x-x2sin

2xB.y′=2xcos

2x-2x2sin

2xC.y′=x2cos

2x-2xsin

2xD.y′=2xcos

2x+2x2sin

2xB解析:y′=(x2)′cos

2x+x2(cos

2x)′=2xcos

2x+x2·(-sin

2x)(2x)′=2xcos

2x-2x2sin

2x.3.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=

.

课堂小结1.把复合函数合理拆分成基本初等函数的关键是把握我们学过的7个基本函数:(1)一次函数;(2)二次函数;(3)反比例函数;(4)指数函数;(5)对数函数;(6)幂函数;(7)三角函数