2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第三册+第八章++章末总结

章末总结知识网络·构建概括真题体验·素养升级题型一回归分析[例1]

当前,人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响我们日常生活的方方面面.某公司在这个领域逐年加大投入力度,以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据统计表.x123456y0.511.53612z=ln

y-0.700.41.11.82.5(1)该公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型,请根据已知数据,确定方案①和②的经验回归方程;(a,b,m,n计算过程保留到小数点后两位,最后结果保留到小数点后一位)(2)根据下表数据,用决定系数R2比较两种模型的拟合效果哪种更好(只需比较出大小),并选择拟合效果更好的模型,预测当年投入额为7百万元时,产品的年销售量约是多少.题组训练(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i根部横截面积xi材积量yi10.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量.(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数.(精确到0.01)(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186

m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求经验回归方程②待定系数法:利用经验回归直线过样本点中心求系数.(2)利用经验回归方程进行预测:把经验回归直线方程看作一次函数,求函数值.[例2]

(2025·全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1

000人,得到如下列联表:题型二独立性检验

超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001

000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值;α0.0050.0100.001xα3.8416.63510.828题组训练甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品,为了比较两台机床产品的质量,分别用两台机床各生产了200件产品,产品的质量情况统计如下表:机床质量合计一级品二级品甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解独立性检验的应用问题的关注点查表时不是查最大允许值,而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值,再将该数值对应的xα值与求得的χ2相比较.另外,表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p,所以其有关联的可能性为1-p.模拟演练题型一回归分析1.某企业为了提升行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x(单位:百万元)与收益y(单位:百万元)的数据统计如表:科技投入x24681012收益y5.66.512.027.580.0129.2根据散点图的特点,甲认为样本点分布在指数曲线y=c·2bx的周围,据此他对数据进行了一些初步处理,如表:②根据所建立的回归方程,若该企业想在下一年的收益达到2亿,则科技投入的费用至少为多少(其中log25≈2.3)?解:(2)先计算残差:2.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,进一步物尽其用、保护环境.为进一步帮助市民进行垃圾分类,某公司研制了家用垃圾分类机器人,自动对垃圾进行分类.该公司研究部门从流水线上随机抽取100个垃圾分类机器人(以下简称产品),统计其性能指数,制成下面的频数分布表并绘制了频率分布直方图:性能指数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)[100,110]产品数量4m2025n17产品分为三类性能:指数在[50,70)内的是基本型,在[70,90)内的是提高型,在[90,110]

内的是全能型,性能指数越高,产品的垃圾分类效率和准确程度越高.为提高人们的环保意识和更快推广产品,公司微利出售基本型、提高型、全能型产品,这三类产品的销售利润分别为每件1,3,5(单位:元),以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.(1)求m,n的值并求每件产品的平均销售利润.解:(1)根据频率分布直方图,得m=0.011×10×100=11,n=0.023×10×100=23.设每件产品的销售利润为X元,则X=1,3,5.其中P(X=1)=0.15,P(X=3)=0.45,P(X=5)=0.4.所以随机变量X的分布列如下.E(X)=1×0.15+3×0.45+5×0.4=3.5,故每件产品的平均销售利润为3.5元.X135P0.150.450.4(2)该公司为了解月营销费用x(单位:万元)对月销售量y(单位:万件)的影响,对近10个月的月营销费用xi和月销售量yi(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)数据做了初步处理,并进一步整理得到下表:(ⅰ)建立y关于x的经验回归方程;题型二独立性检验1.伴随着科技的发展,人们的生活节奏也越来越快.听书逐渐成为了爱阅读的人们的一种喜好,付费阅读也成为追求更高价值的途径之一.某网络公司统计了近五年来该公司参与付费听书的人数y(单位:人)与时间t(单位:年)的数据,列表如下:ti12345yi2427416479(2)若节日期间营销部拟对平台商品进行新一轮更新调整.针对某地拟购买该商品的消费群体进行了一个抽样调查,获得一个容量为200的样本,其中青年人有150人,中老年人有50人.在这些消费群体中,付费阅读的青年人有100人,中老年人有24人.填写下面列联表,并根据小概率值α=0.025的独立性检验,判断是否可以认为付费阅读与年龄层次有关.单位:人付费情况年龄层次合计青年人中老年人付费阅读10024不付费阅读合计200α0.10.050.0250.010.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解:(2)填写2×2列联表如下.单位:人付费情况年龄层次合计青年人中老年人付费阅读10024124不付费阅读502676合计150502002.某健身馆在2024年7月和8月推出的优惠项目吸引了一批客户.为预估2025年7月和8月两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2024年7月和8月两月100名客户的消费金额,分组如下:[0,200),[200,400),[400,600),…,[1

000,1

200](单位:元),得到如图所示的频率分布直方图.(1)若把2024年7月和8月两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据小概率值α=0.05的独立性检验,判断是否可以认为“健身达人”与年龄段有关.单位:人年龄段健身情况合计健身达人非健身