从系统动态方程求系统传递函数阵

Itisapplicabletoworkreport,lectureandteaching从系统动态方程求系统传递函数阵2.6从系统动态方程求系统传递函数（阵）系统动态方程和系统传递函数（阵）是控制系统两种经常使用的数学模型。动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。我们已知道，从传递函数到动态方程是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、比较简单的过程。已知线性定常系统的状态空间表达式为

式中x(t)—系统n维状态向量；u(t)—系统r维输入向量；y(t)—系统m维输出向量。对上式两端取拉氏变换，可得设初始条件x(0)=0，则有

式中,，m

r维。传递函数阵4现代控制理论W(S)为一个m×r的传递函数阵，即：其中，wij(s)为一标量传递函数，它表示第j个系统输入

对第i个系统输出的传递作用。对于单输入单输出（SISO）系统，按上式求出的W(s)为系统的标量传递函数，可表示为当系统的传递函数无零极点对消时，有(1)系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多项式；

(2)传递函数的极点就是A的特征值。由于系统状态变量的选择不惟一，故建立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递函数阵却是惟一的。7现代控制理论

补例：已知系统的状态空间表达式为试求其传递函数阵。8现代控制理论

解:

传递函数阵为：

9现代控制理论【例2-14】求下列动态方程的传递函数。解：在MATLAB中，用SS2TF语句可以直接求出W(S)。A=[-110;0-10;00-2];B=[-2;1;1];C=[462];D=0;[NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D)end2.7离散时间系统的状态空间表达式

离散时间系统就是系统的输入和输出信号只在某些离散时刻取值的系统。与离散时间系统相关的数学方法有差分方程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。离散时间系统一般用差分方程表示其输入和输出信号的关系。设系统n阶差分方程为：

——

表示时刻

——

为采样周期；，

——

分别为时刻的输入、输出；

——

表征系统特征的常系数。系统脉冲传递函数为输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比:

与连续时间系统传递函数在形式上相同

同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程叫做离散系统的实现。离散系统动态方程一般形式为：

式中x(k)—系统的n维状态向量；u(k)—系统的r维输入向量（控制向量）；y(k)—系统的m维输出向量；G(k)—n

n线性离散系统的系统矩阵；H(k)—n

r线性离散系统的控制矩阵；C(k)—m

n线性离散系统的输出矩阵；D(k)—m

r线性离散系统的直接传输矩阵。

如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，上式就变为线性定常离散系统，其状态空间表达式为：

15现代控制理论方块图表示如图：单位延迟环节，具有T秒的时间延迟。差分方程式化为状态空间表达式

1．差分方程的输入函数为bu(k)时设系统的差分方程为

选取状态

17现代控制理论则高阶差分方程可化为一阶差分组

写成向量方程形式，得

或

其中：

2．差分方程的输入函数包含u(k)u(k+1)，…时设系统差分方程为可选择如下一组状态变量

或：例：已知离散系统的差分方程为：

试求系统的状态空间表达式。解：选状态变量则状态空间表达式脉冲传递函数化为状态空间表达式

线性离散系统的脉冲传递函数为

它可仿照连续系统的部分分式法来建立离散系统的状态空间表达式。27现代控制理论2.8MATLAB在状态空间分析法中的应用一、系统的模型

1.传递函数模型

设单输入单输出（SISO）连续系统的传递函数为

G(s)=

在MATLAB中,可用传递函数分子、分母多项式按s的降幂系数排列的行向量,即

来描述上式所示传递函数G(s)的多项式模型。而由命令函数tf()则可建立系统的传递函数模型TF，其调用格式为

sys=tf(num,den)其中,num、den分别是传递函数分子、分母多项式系数行向量,且系数均按s的降幂排列。

设单输入单输出离散系统的脉冲传递函数为

G(z)=

在MATLAB中,对于离散系统同样可用tf()

命令建立其脉冲传递函数模型，调用格式为

num=[cm,cm-1,

,c1,c0];den=[an,an-1,,a1,a0];sys=tf(num,den,Ts)其中,Ts

为系统采样周期。

另外,系统的传递函数还可表示成零极点形式,即

G(s)=

在MATLAB中，可用传递函数的零点向量、极点向量及增益,即

描述传递函数G(s)的零极点模型。而由命令函数zpk()则可建立零极点模型ZPK，其调用格式为

2.状态空间模型

r维输入、m维输出的MIMO系统的状态空间表达式为

式中，x、y、u分别为n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D分别为n×n、n×r、m×n

、m×r的常数矩阵。

在MATLAB中,只要按照矩阵输入方式建立式系统相应的系数矩阵，即

A=[a11,a12,

,a1n;a21,a22,,a2n;;an1,an2,,ann]；B=[b11,b12,,b1r;b21,b22,,b2r;;bn1,bn2,,bnr];C=[c11,c12,,b1n;c21,c22,,c2n;;cm1,cm2,,cmm];D=[d11,d12,,d1r;d21,d22,,d2r;;dm1,bm2,,bmr];即可描述系统的状态空间模型。而由命令函数ss()则可建立系统的状态空间模型SS，其调用格式为

对定常离散系统

在按常数矩阵输入方式建立系数矩阵G，H，C，D

后,同样调用

则可建立离散系统的状态空间模型。其中,Ts

为系统采样周期。

二、

系统模型的转换

1.状态空间表达式向传递函数形式的转换

MATLAB提供了模型转换函数,可以完成系统数学模型的相互转换,利用ss2tf()函数可由系统状态空间表达式求其传递函数(阵)。

对SISO系统,ss2tf()的调用格式为

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)执行以上语句,可实现将描述为(A,B,C,D)的系统状态空间模型中各系数矩阵转换为传递函数模型中分子、分母多项式系数行向量num、den。

对多输入系统,ss2tf()的调用格式为

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中,iu用于指定变换所使用的输入量,iu默认则为单输入情况。

与ss2tf()类似,应用MATLAB函数ss2zp()可由系统状态空间表达式求其零极点模型的参数(z,p,k)。

对SISO系统,ss2zp()的调用格式为

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)而对多输入系统,其调用格式为

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)2.传递函数到状态空间表达式的变换

利用MATLAB函数tf2ss()、zp2ss()可分别由多项式形式、零极点形式的传递函数求其状态空间模型中的各系数矩阵。其调用格式分别为

[A，B，C，D]=tf2ss(num,den)[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k)上面两条语句分别由已知的(num,den)、(z,p,k)经模型转换返回状态空间表达式中各系数矩阵(A,B,C,D)。

三、

系统的非奇异变换与标准型状态空间表达式1.系统的非奇异变换

MATLAB中函数ss2ss()可实现对系统的非奇异变换。其调用格式为

GT=ss2ss(G,T)其中G、GT分别为变换前、后系统的状态空间模型，T为非奇异变换阵。

或为

[At,Bt,Ct,Dt]=ss2ss(A,B,C,D,T)其中,(A,B,C,D)、(At,Bt,Ct,Dt)分别为变换前、后系统的状态空间模型的系数阵,T为非奇异变换阵。

2.标准型状态空间表达式的实现MATLAB提供了标准型状态空间表达式的实现函数canon(),其调用格式为

G1=canon(sys,type)

若系统模型sys为对应状态向量x的状态空间模型,可应用函数canon()将其变换为在新的状态向量下的标准型状态空间表达式,其调用格式为

[G1,P]=canon(sys,type)其中，sys为原系统状态空间模型，P是返回的非奇异变换阵，满足

关系。或为

[At,Bt,Ct,Dt,P]=canon(A