八年级数学：角平分线的性质及判定练习

八年级数学：角平分线的性质及判定练习在八年级的几何学习中，角平分线是一个非常重要的概念，它不仅自身具有独特的性质，也是后续解决复杂几何问题的重要工具。理解并熟练掌握角平分线的性质及判定方法，对于我们提升几何推理能力、顺利解决几何证明和计算问题至关重要。本文将带你回顾角平分线的核心知识，并通过一些精选练习来巩固和深化理解。一、角平分线的定义与核心知识点回顾1.1角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。这个定义是我们研究角平分线一切性质的出发点。值得注意的是，角平分线是一条射线，而非线段或直线，这一点在具体图形中需要时刻留意。1.2角平分线的性质定理性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。*理解要点：*“点”必须在角平分线上。*“距离”指的是该点到角两边的垂线段的长度。*结论是这两条垂线段相等。几何语言表述：如图1，若OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。（此处应有图示：一个角AOB，OC为角平分线，P为OC上一点，PD垂直OA于D，PE垂直OB于E）*证明思路：通常通过构造两个直角三角形（如△POD和△POE），利用“角角边”（AAS）证明其全等，从而得到对应边PD=PE。1.3角平分线的判定定理判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。*理解要点：*“点”在角的内部。*“距离相等”指该点到角两边的两条垂线段长度相等。*结论是该点在这个角的平分线上。几何语言表述：如图1，若点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（或射线OP是∠AOB的平分线）。*证明思路：同样可以构造两个直角三角形（如△POD和△POE），利用“斜边直角边”（HL）或“角角边”（AAS）证明其全等，从而得到对应角∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。1.4性质与判定的联系与区别*联系：两者都与角平分线上的点到角两边的距离相关，互为逆定理。*区别：*性质定理：已知角平分线，得到点到两边距离相等。（由“线”推“距离”）*判定定理：已知点到两边距离相等，得到该点在角平分线上，从而确定角平分线。（由“距离”推“线”）二、典型例题解析例1如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且△ABC的面积为48，AB=12，AC=8，求DE的长。（此处应有图示：△ABC，AD为∠BAC的角平分线，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F）分析：根据角平分线的性质定理，我们知道DE=DF。题目给出了△ABC的面积，而△ABC的面积可以看作是△ABD和△ACD的面积之和。我们可以分别表示出这两个小三角形的面积，它们都以DE（或DF）为高，从而建立方程求解。解答：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF（角平分线的性质定理）。设DE=DF=x。∵S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，又∵S_△ABD=1/2×AB×DE=1/2×12×x=6x，S_△ACD=1/2×AC×DF=1/2×8×x=4x，∴6x+4x=48，即10x=48，解得x=4.8。∴DE的长为4.8。例2如图3，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。（此处应有图示：△ABC，BE垂直AC于E，CF垂直AB于F，BE与CF交于点D，连接AD，且BD=CD）分析：要证AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BAC两边的距离相等，即DF=DE。已知BD=CD，且有两个直角，我们可以尝试证明△BDF和△CDE全等。证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°（垂直的定义）。在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD，∴△BDF≌△CDE（AAS）。∴DF=DE（全等三角形的对应边相等）。又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上（角平分线的判定定理）。即AD平分∠BAC。例3如图4，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。（此处应有图示：四边形ABCD，∠B和∠C为直角，M是BC中点，连接DM、AM，DM平分∠ADC）分析：要证AM平分∠DAB，考虑角平分线的判定定理，需证明点M到AD和AB的距离相等。已知DM平分∠ADC，且∠C=90°，过点M作AD的垂线ME，根据角平分线性质可得ME=MC。又因为M是BC中点，MC=MB，所以ME=MB。而MB是点M到AB的距离（因为∠B=90°），从而得证。证明：过点M作ME⊥AD于E。∵DM平分∠ADC，∠C=90°（即MC⊥CD），ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线的性质定理）。∵M是BC的中点，∴MC=MB。∴ME=MB。∵∠B=90°（即MB⊥AB），ME⊥AD，∴点M在∠DAB的平分线上（角平分线的判定定理）。即AM平分∠DAB。三、练习题基础巩固1.如图5，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B。若PA=3，则PB=______。（此处应有图示：OP平分∠AOB，PA垂直OA，PB垂直OB）2.如图6，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为______cm。（此处应有图示：Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D）3.判断题：(1)角平分线上的点到角的两边的距离相等。（）(2)到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（）(3)三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。（）能力提升4.如图7，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=6cm，AC=4cm，△ABD的面积为9cm²，求△ACD的面积。（此处应有图示：△ABC，AD为角平分线）5.如图8，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。（此处应有图示：△ABC，AB=AC，D为BC上一点且BD=CD，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F）6.如图9，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。求证：FE=FD。（此处应有图示：△ABC，∠B=60°，AD、CE是角平分线交于F）思维拓展7.如图10，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D两点。求证：PC=PD。（此处应有图示：∠AOB=90°，OM为角平分线，P为OM上一点，PC垂直OA于C，PD垂直OB于D，或三角板的两条直角边与OA、OB相交）四、练习题提示与简要解答基础巩固1.3（直接应用角平分线性质定理）2.3（点D到AB的距离等于DC，DC=BC-BD=8-5=3）3.(1)√(2)×（缺少“在角的内部”这个条件）(3)√能力提升4.6cm²（提示：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF。S_△ABD=1/2×AB×DE=9，可求得DE=3，所以DF=3，S_△ACD=1/2×AC×DF=6）5.提示：连接AD。先证△ABD≌△ACD（SSS），得到∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，再由角平分线性质得DE=DF。6.提示：在AC上截取AG=AE，连接FG。先证△AEF≌△AGF（SAS），得到FE=FG，∠AFE=∠AFG。由∠B=60°，可得∠FAC+∠FCA=60°，∠AFC=120°，∠AFE=60°，所以∠CFG=60°。再证△CFG≌△CFD（ASA或AAS），得到FG=FD，从而FE=FD。思维拓展7.提示：过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F。由角平分线性质得PE=PF。再证∠PCE=∠PDF（或∠PCE+∠PDO=180°，结合∠PDO+∠PDF=180°），然后证明△PCE≌△PDF（ASA或AAS），可得PC=PD。（注：若三角板直角边与OA、OB不垂直，则需调整辅助线和证明角度相等的方法，但核心思想类似，利用角平分线性质构造相等线段和全等三角形。）五、总结与反思角平分线的性质与判定是平面几何中的重要内容，它们不仅是证明线段相等和角相等的有力工具，也常常与三角形全等、三角形面积等知识结合考查。在解决相关问题时，我们要善于：1.识别基本图形：看到角平分线，要联想到向两边作垂线；看到到两边距离相等的点，要联想到角平分线。2.构造辅助线：当直接应用定理条件不足时，要学会通过作垂线等方式构造符合定