简明理论力学课件 14达朗贝尔原理

简明理论力学动力学第三篇第十四章达朗贝尔原理

D’Alembert’sprinciple

**注：该原理是达朗贝尔在1743年出版的《动力学》一书中首先提出。法国著名的物理学家、数学家和天文学家。达朗贝尔JeanleRondd'Alembert(1717—1783

)1743年，26岁时，出版了力学方面的里程碑式著作《动力学》，提出了著名的达朗贝尔原理。

引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题

——应用达朗贝尔原理解决动力学问题的方法称为动静法。

动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。

动静法一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性构件求解动应力。§14-1惯性力的概念§14-2质点的达朗贝尔原理§14-3质点系的达朗贝尔原理§14-4刚体惯性力系的简化第十四章达朗贝尔原理14-1惯性力的概念FNFRFaxzyOmA非自由质点A质量m、s运动轨迹S。约束力FN

、主动力F

、FI根据牛顿第二定律

F+FN＝maF+FN

－ma＝0FI

＝－ma质点的惯性力：大小等于ma，方向与a的方向相反。FaF'忽略各种阻力，小车在水平方向上：

F＝maF－ma＝0FI

＝－ma有：FI

＝F

'即：虚加在小车上的惯性力，可以理解成小车反作用在人手上反作用力。FaF'FI

＝－maFI

＝F

'惯性力存在的原因，是物体具有惯性，具有保持原有状态的能力：小车受到一个推力的作用，具有运动状态改变的条件，但又有保持原有状态的惯性，因此就给施力物体一个反作用力。汽车急刹车，站立的乘客倾倒。是刹车时，由于汽车连同乘客获得一个向后的加速度，但乘客上半身由于惯性，相对于车仍具有向前的运动，即惯性力方向的运动。看起来，好像是惯性力作用的结果，实际上就是惯性的结果。

惯性力是指当物体有加速度时，物体具有的惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，看起来就仿佛有一股与加速度方向相反的力作用在该物体上令该物体有发生位移的趋向，因此称之为惯性力。玩过山车的游客由于惯性力而保持在座位上印度飞饼的制作：由于离心惯性力而被拉长拉薄儿童玩具：小鸡吃米，小球摆动，惯性力（离心力）的方向不断变化，带动小鸡的脑袋的位置轮流发生变化。车上的人由于惯性而栽倒大货车一脚急刹车，30吨的钢筋由于惯性力顶歪驾驶室

车前挡板上的6个螺丝被顶断，挡板下面连接车底板的地方也被顶断，车头后部凹陷进去，车底座上的配件多处折断，货车司机的手吓得不停地发抖。蛤蟆夯的操作实景FI

＝－ma1.质点的惯性力：大小等于ma，方向与a的方向相反。3.惯性力，可以理解成受力物体反作用在施力物体上的反作用力。2.惯性力存在的原因，是物体具有惯性，具有保持原有状态的能力。小结:公交车急刹车时，车上乘客由于惯性力而前倾。公交车有没有受到惯性力？有什么运动变化上的表现？思考题：14-2质点和质点系的达朗贝尔原理FNFRFaxzyOmA非自由质点A质量m、s运动轨迹S。约束力FN

、主动力F

、FI根据牛顿第二定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0FI

＝－maF+FN

＋FI

＝0质点的惯性力质点的达朗贝尔原理:

作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式F+FN

＋FI

＝0应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法，即通过形式上的平衡方程动静法步骤：1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上虚加与加速度方向相反的惯性力；4、列写形式上的平衡方程，求解未知量。求解未知量的方法。例题

BACllll

离心调速器已知：M1——球A、B的质量；m2——重锤C的质量；l——杆件的长度；

——

O1y1轴的旋转角速度。求：－

的关系。离心调速器示意图该图片来源于网络例题离心调速器已知：m1——球A、B的质量；m2——重锤C的质量；l——杆件的长度；

——O1y1轴的旋转角速度。求：－

的关系。

BACllll

解：1.分析受力：以球

B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力BFT1FT2CFT3F´T1m1

gm2

g2.分析运动：施加惯性力。FI＝m1l

2sin重锤静止，无惯性力。FIBACllll

O1xy

BFT1FT2m1

gCFT3m2

gFT1′3.应用动静法：对于重锤C对于球BFI14-3质点系的达朗贝尔原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系有质点系的达朗贝尔原理：来求解未知量，即：质点系的动静法。小结:1.质点的达朗贝尔原理:作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成“平衡”力系。F+FN

＋FI

＝02.质点的动静法：应用达朗贝尔原理，即通过形式上的“平衡”方程求解未知量的方法。3.对质点系而言，应用达朗贝尔原理，可以列写6个独立的形式上“平衡”方程。

当图示系统平衡时，绳的拉力作用线延长后过地球的球心吗？思考题：

当图示系统平衡时，绳的拉力作用线延长后过地球的球心吗？思考题：14-4刚体惯性力系的简化一、惯性力系的主矢xyzOMiC主矢：——适用于刚体做任何运动。二、几种刚体运动中惯性力系的简化1.刚体做平行移动将惯性力系向质心C简化主矢：aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2CFIR主矩：0结论：刚体平动时，其惯性力系合成为过质心C点的一合力，此力的大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。2.刚体做定轴转动仅限于具有垂直于转轴z

的质量对称平面的情形。（1）将空间的惯性力系——简化为一平面的惯性力系：取直线AiBi

//z

轴，与质量对称平面的交点Mi，AiBi直线

AiBi

做平动，惯性力系简化为过其质心

Mi

的一合力FIi，

类似地，将其他直线的惯性力系也都简化为质量对称平面内的惯性合力。——将原空间的惯性力系变成一平面的惯性力系。

设直线AiBi

的质量为mi，Mi点的加速度为aiτ

，ain，由于z方向是直线AiBi

各点轨迹的副法线方向，而副法线方向是没有加速度的，故各点惯性力都在与z轴垂直的平面内。因此这个惯性合力FIi一定在与z轴垂直的质量对称平面内。则：（2）将平面惯性力系——向轴与质量对称平面的交点O

简化：主矢：主矩：0结论2：

刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心O

的一个力

FIR

和质量对称平面内的一大小为

MIO的力偶。——

加在转动中心

O上；——

质量对称平面内。几种特殊情形：（1）转轴通过刚体的质心，则惯性力系合成为一合力偶：——

加在对称平面内（2）刚体做匀速转动，则惯性力系合成为一合力：（3）刚体做匀速转动，且转轴通过刚体的质心，则——惯性力系自成平衡称这种平衡为动平衡。3.刚体做平面运动

限于研究具有质量对称平面，且平行于该平面运动的情形。MN

下面我们研究惯性力系简化，与前面定轴转动类似，第一步：将惯性力系向质量对称平面简化；第二步：向质心C

简化。我们研究平面运动时，用到的平面图形，可以理解为就是质量对称平面。第二步：在质量对称平面内向质心C

简化。第一步：惯性力系简化为质量对称平面内的惯性力。MiCCMi绕质心转动部分CMi随质心平动部分C其中：结论3：

刚体平面运动时，其惯性力系简化为过质心C的一个力

FIR

和质量对称平面内的一力偶

MIC

。——加在质心C

上；——

质量对称平面内。C小结:1.刚体平动时，其惯性力系合成为质心C点的一合力，此力的大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。2.刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心O

的一个力

FIR

和质量对称平面内的一大小为

MIO的力偶。3.刚体平面运动时，其惯性力系简化为过质心C

的一个力

FIR

和质量对称平面内的一大小为

MIC力偶。思考题：平面运动情形，是否可向对称平面任一点简化？如果可以的话，那么其简化结果将与前述结果有何不同？14-5达朗贝尔原理的应用例题1已知：AB杆质量为m

,长为l=2r

,

求：A端的约束反力。圆盘半径为r

,角速度为

，角加速度为。

OrlAB

OrlAB解：取AB杆为研究对象。受力分析。FAxFAymgABCOMA运动分析，并虚加惯性力。ABCO

MIO

OrlAB解：取AB杆为研究对象。受力分析及运动分析，并虚加惯性力。ABCOFAxFAymgMIOMA解：取AB杆为研究对象ABCOFAxFAymgMIOMA我们可以看到：对单个刚体运用达朗贝尔原理，列写形式上的平衡方程，就相当于列写质心运动微分方程和转动微分方程。如果达朗贝尔原理只是相当于运动微分方程，它就没有那么大的历史地位了。ABO例题2已知：两均质直杆自水平位置，无初速地释放。求：

刚释放时两杆的角加速度和O、A处的约束反力。解:

(1)

取系统为研究对象mgmgFI2FI1FOyFOxBAOC1ABO

1

2aC1C2aAaC2MI2MI1解:

(1)

取系统为研究对象MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO

1

2(2)取AB杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA

2(3)取AB

杆为研究对象，求A处反力MI2mgFI2FAyFAxBA

2

(4)

取系统为研究对象，求O处反力MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO

1

2小结:2.