工程图学教程课件 第2章 正投影法及几何元素投影

第二章正投影法及几何元素投影

机械图样是根据正投影法绘制的。因此学习正投影法是学习机械制图的基石。2.1投影法的基本知识自然界中的影子总结抽象投影方法1、投影法的概念2.1.1投影法的基本知识（1）中心投影法：

特征：投影中心距投影面有限远，所有投影线都会聚交于投影中心。

用途：绘制建筑物或产品的透视图。2、投影法的种类及应用（2）平行投影法：

特征：投影中心距投影面无限远，所有投影线都互相平行。分类：根据投影线与投影面是否垂直，平行投影又分为斜投影和正投影。（a）

斜投影法

（b）

正投影法机械制图国家标准规定，机件的图形按正投影法绘制。我们后面所学习的投影方法，实际上指的就是正投影。2.1.2三视图的形成与投影规律

物体在投影面中的投影又称视图，一个视图不能确定物体的形状，一般采用三视图能够将物体结构表达清楚1.三投影面体系与三视图的形成图2-6三投影面体系在三投影面体系中，三个投影面分别为：正立投影面：简称为正面，用V表示；水平投影面：简称为水平面，用H表示；侧立投影面：简称为侧面，用W表示。三个投影面的相互交线，称为投影轴。它们分别是：OX轴：是V面和H面的交线，它代表长度方向；OY轴：是H面和W面的交线，它代表宽度方向；OZ轴：是V面和W面的交线，它代表高度方向；三个投影轴垂直相交的交点O，称为原点。

（1）三投影面体系的建立三投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成（2）三视图的形成主视图：从前往后进行投影，在正立投影面（V面）上所得到的视图。俯视图：从上往下进行投影，在水平投影面（H面）上所得到的视图。主视图：从左往右进行投影，在侧立投影面（W面）上所得到的视图。图2-7三视图的形成（3）三投影面体系的展开展开方法：使V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合，展开后隐去投影轴隐去投影面标记空间投影面展开2、三视图的投影规律主、俯视图“长对正”（即等长）；主、左视图“高平齐”（即等高）；俯、左视图“宽相等”（即等宽）；3、三视图与物体方位的对应关系（a）立体图

（b）投影图注意：以主视图为中心，俯视图、左视图靠近主视图的一侧为物体的后面，远离主视图的一侧为物体的前面。2.2点的投影规定：点A表示空间点，它的投影用对应的小写字母表示。水平投影用a表示；正面投影用a′表示；侧面投影用a″表示；点的投影位置用实心小圆点表示。（a）点在空间投影面投影

（b）点在空间投影面投影展开

（c）展开后

（d）隐去投影面标识

2.2.1点的投影及其标记2.2.2点的三面投影规律aaYH=a′az即a′a⊥OXa′ax=a″aYW

即a′a″⊥OZaax=a″az这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变，因此可以把它概括为普遍性的投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a⊥OX；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″⊥OZ；（3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az。（可以用45°辅助线或以原点为圆心作弧线来反映这一投影关系）1.点的三面投影规律长对正高平齐宽相等【例2-1】已知点A的

正面投影a′

和侧面投影a″（图2-12），求作其水平投影a。（a）题目

（b）解答注意：一般在作图过程中，应自点O作辅助线（与水平方向夹角为45°），以表明aax=a″az的关系。2.点的投影与点的空间位置的关系点A到W面的距离=Oax=a′az=aaYH=xA；点A到V面的距离=OaYH=aax=aaz=yA；点A到H面的距离=Oaz=a′ax=a″aYW=zA。上述即是点的投影与点的空间位置的关系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。【例2-2】已知点B到H面距离为10，到V面距离为5，到W面距离为15，试作B点的三面投影。图2-13利用点到面距离作点的三面投影2.2.3点的三面投影与直角坐标1.点的三面投影与直角坐标的关系用坐标表示空间点位置比较简单,可以写成A(x,y,z)的形式。已知一点的三面投影,就可以量出该点的三个坐标;相反,已知一点的三个坐标,就可以量出该点的三面投影。【例2-3】

已知点A的坐标（15，10，5），作出点的三面投影。图2-15由点的坐标作点的三面投影2.2.4特殊位置点的投影在投影面上的点(有一个坐标为0)在投影轴上的点（有两个坐标为0）在原点上的空间点（有三个坐标都为0）（a）在投影面上的点（a）在投影轴上的点（a）在原点上的空间点2.2.5两点的相对位置1.两点的相对位置对于空间两点A、B的相对位置（1）距W面远者在左（x坐标大）；近者在右（x坐标小）；（2）距V面远者在前（y坐标大）；近者在后（y坐标小）；（3）距H面远者在上（z坐标大）；近者在下（z坐标小）。【例2-4】

已知点A的三面投影如图2-18（a）所示，点B在点A上方10、右方5、后方5，试作点B的三面投影。（a）（b）（c）（d）（e）2.2.6重影点若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点是该投影面的重影点。这时，空间两点的某两坐标相同，并在同一投射线上。在投影图上不可见的投影加括号表示，如（b）。2.3直线的投影2.3.1直线的投影图图2-20直线的投影2.3.2直线对于一个投影面的投影特性空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。1、真实性

当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。2、积聚性

当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点。3、类似性

当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长。（a）真实性

（b）积聚性

（c）类似性2.3.3各种位置直线的投影特性1.投影面平行线投影特性：1.投影ab反映真实长度和倾角；2.a′b′∥OX轴、a″b″∥OYW轴（1）水平线立体图投影图平行于一个投影面同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。投影特性：1.a′b′反映真实长度和倾角；2.ab∥OX轴、a″b″∥OZ轴（2）正平线立体图投影图投影特性：1.a″b″反映真实长度和倾角；2.ab∥OYH轴、a′b′∥OZ轴（3）侧平线立体图投影图总结：投影面平行线的投影特性（1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大；（2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于不同投影轴，第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。【例2-5】

如图2-22所示，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°（只需一解）。（a）题目

（b）解法图2-22根据投影面平行线的投影特性作图2.投影面垂直线垂直于一个投影面且平行于另外两投影面的线为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。（1）正垂线立体图投影图投影特性：1.V面投影具有积聚性；2.ab⊥OX轴、a″b″⊥OZ轴（2）铅垂线立体图投影图投影特性：1.H面投影具有积聚性；2.a′b′⊥OX轴、a″b″⊥OYW轴（3）侧垂线总结：投影面垂直线的投影特性（1）在其垂直的投影面上，投影有积聚性；（2）另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。对于投影面垂直线的辨认：直线的投影中只要有一个投影积聚为一点，则该直线一定是投影面垂直线，且一定垂直于其投影积聚为一点的那个投影面。立体图投影图投影特性：1.W面投影具有积聚性；2.a′b′⊥OZ轴、ab⊥OYH轴【例2-6】

如图2-23所示，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10mm，试作直线AB的三面投影（只需一解）。（a）题目

（b）解法图2-23根据投影面垂直线的投影特性作图3.一般位置直线与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。一般位置直线的投影特征为：（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；（2）任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。立体图投影图2.3.4一般位置直线的实长和对投影面的倾角1.直角三角形法的作图原理（a）

（b）

（c）图2-25直角三角形法的原理

只要用一般位置直线在某一投影面上的投影作为直角三角形的底边，用直线的两端点到该投影面的距离差为另一直角边，作出一直角三角形。此直角三角形的斜边就是空间线段的真实长度，而斜边与底边的夹角就是空间线段对该投影面的倾角。这就是求一般位置直线实长和倾角的直角三角形法。2.直角三角形法的作图方法和步骤图2-26直角三角形法作图步骤根据直角三角形法，如果给出一般位置直线的三面投影，则可以分别在H、V、W面中使用直角三角形法，作出直线实长以及直线与投影面倾角α、β、γ。在直角三角形法中，直角三角形包含四个要素：投影长、坐标差、实长、倾角。只要知道一个要素，就可以将其余两个求出来，如图2-27所示。但是一般情况投影长是给出的一个要素，再结合坐标差、实长、倾角其中一个要素，求出另外两个要素。如若不给出投影长要素，使用直角三角形法作图较复杂，读者可以尝试研究。图2-27直角三角形法的一般形式【例2-7】

如图2-28（a）所示，已知直线AB的实长为L，及直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′

，试用直角三角形法求出直线AB的正面投影a′b′。图2-28直角三角形法作图：已知投影长和实长（a）题目

（b）解答【例2-8】

如图2-29（a）所示，已知直线AB的水平投影a′b′和点A的正面投影a，直线AB与V面倾角β=30°

，试用直角三角形法求出直线AB的H面投影ab。（a）题目

（b）解答图2-29直角三角形法作图：已知投影长和倾角2.3.5直线上点的投影1、直线上点的投影概念点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上图2-30直线上点的投影2、直线投影的定比性直线上的点分割线段之比等于其同名投影之比，这称为直线投影的定比性。AC：CB=ac：cb=a′c′：c′b′=a″c″：c″b″

C因此判断点是否在直线上由两种方法：（1）作直线和点的投影。对于一般位置直线，根据两投影面投影可判断点是否在直线上，如图2-31所示。对于特殊位置直线，需要三个投影面投影才能确定点是否在直线上，如图2-32（b）所示。

（2）利用直线投影的定比性。将一投影面内直线点的投影，转移到另外一投影面内，将同名投影连线，进而判断是否满足定比性，因此判断点是否在直线上由两种方法：（1）作直线和点的投影。对于一般位置直线，根据两投影面投影可判断点是否在直线上，如图2-31所示。对于特殊位置直线，需要三个投影面投影才能确定点是否在直线上，如图2-32（b）所示。

（2）利用直线投影的定比性。将一投影面内直线点的投影，转移到另外一投影面内，将同名投影连线，进而判断是否满足定比性，2、直线投影的定比性（a）点C在直线AB上

（b）点C不在直线AB上图2-31一般位置直线上点的投影【例2-9】

如图2-32（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，水平投影k，判断点K是否在直线上。（a）题目

（b）

作第三面投影

（c）利用定比性图2-32特殊位置直线上点的投影【例2-10】如图2-33（a），在已知直线AB上取一点C，使得AC=15mm，求C点的投影。（a）题目

（b）

作图过程

图2-33特殊位置直线上点的投影2.3.6两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。1、两直线平行（1）特性若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。由于AB∥CD，则必定ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″

。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。（2）判定两直线是否平行①

如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定，如图2-35（a）所示。②

当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定，如图2-35（b）所示。（a）一般位置直线

（b）特殊位置直线图2-35判断两直线是否平行2、两直线相交（1）两直线相交特性若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。图2-36两直线相交（2）判定两直线是否相交①

如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定，如图2-36（b）所示。②

当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定，如图2-37（b）所示；或者根据直线投影的定比性进行判断，如图2-37（c）所示。（a）题目

（b）作第三面投影

（c）定比法图2-37一直线为投影面平行线【例2-11】

如图2-38（a）所示，过C点作水平线CD与AB相交。（a）题目

（b）解法图2-38作特殊线位置线与已知直线相交3、两直线交叉两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。（1）特性若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。（2）判定空间交叉两直线的相对位置图2-39两直线交叉空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。2.3.7直角投影定理1.概念

空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。图2-40垂直相交的两直线的投影证明：已知直角边BC//H面因

BC⊥AB，同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面又因BC//bc故

bc⊥ABba平面因此

bc⊥ab即

∠abc为直角。【例2-12】如图2-42（a），过C点作直线CD与AB垂直相交，交点为D。（a）题目

（b）解法图2-41求点到直线的距离【例2-13】

如图2-42（a），作直线AB与CD的真实距离。（a）题目

（b）解法图2-42求点到直线的距离2.4平面的投影2.4.1平面的表示法在投影图上表示平面有两种方法，几何元素表示法和迹线表示法。1、几何元素表示法一组几何元素的投影表示平面，根据使用的几何元素不同，有下列表示方法：（a）不在同一直线上的三点（b）一直线和直线外一点（c）平行两直线（d）相交两直线（e）任意平面

图形图2-43用几何元素表示平面2、迹线表示法迹线——空间平面与投影面的交线平面P与H面的交线称为水平迹线，用PH表示；平面P与V面的交线称为正面迹线，用PV表示；

平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示2.4.2平面对于一个投影面的投影特性图2-45平面的投影特性空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。1、真实性

当平面与投影面平行时，则平面的投影为实形，如图2-45（a）所示。2、积聚性

当平面与投影面垂直时，则平面的投影积聚成一条直线，如图2-45（b）所示。3、类似性

当直线或平面与投影面倾斜时，则平面的投影是小于平面实形的类似形，如图2-45（c）所示。平行于投影面：真实性垂直于投影面：积聚性倾斜于投影面：类似性2.4.3各种位置平面的投影特性

根据平面在三投影面体系中的位置可分为一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面三类，后两类平面称为特殊位置平面。1、投影面垂直面垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于V面的称为正垂面；垂直于H面的称为铅垂面；垂直于W面的称为侧垂面。（1）正垂面投影特性:1.V面投影具有积聚性，反映真实倾角α、γ；2.H和W面投影具有类似性（2）铅垂面投影特性:1.H面投影具有积聚性，反映真实倾角β、γ；2.V和W面投影具有类似性（3）侧垂面投影特性:1.W面投影具有积聚性，反映真实倾角α、β；2.H和V面投影具有类似性投影面垂直线面的投影特性：（1）在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小；（2）另外两个投影面上的投影有类似性。对于投影面垂直面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影积聚为一条与投影轴倾斜的直线，则此平面垂直于该投影面。2、投影面平行面平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于V面的称为正平面；平行于H面的称为水平面；平行于W面的称为侧平面。（1）正平面投影特性:1.V面投影反映实形；2.另外两面投影具有积聚性，H面投影∥OX轴、W面投影∥OZ轴。（2）水平面投影特性:1.H面投影反映实形；2.另外两面投影具有积聚性，V面投影∥OX轴、W面投影∥OYW轴。（3）侧平面投影特性:1.W面投影反映实形；2.另外两面投影具有积聚性，V面投影∥OZ轴、H面投影∥OYH轴。投影面平行面的投影特性：（1）在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。对于投影面平行面的辨认：如果空间平面在某一投影面上的投影为平面，另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线，则此平面平行于该投影面。3、一般位置平面一般位置平面的投影特征：一般位置平面的三面投影，既不反映实形，也无积聚性，而都为类似形。

对于一般位置平面的辨认：如果平面的三面投影都是类似的几何图形的投影，则可判定该平面一定是一般位置平面。2.4.4平面上的直线和点1、平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的一直线上，则该点必在平面上。图2-47点在平面上

因此在平面上取点，必须先在平面上作一条辅助直线，然后再在该直线上取点。【例2-14】如图2-48（a）已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。（a）题目

（b）作一般辅助直线

（c）作特殊辅助直线图2-48一般位置平面的投影特性总结：对比在确定平面上点的位置时作的两种不同的辅助直线，可以发现：（1）作的辅助直线不同，但结果一定相同。（2）作特殊的辅助直线，整个作图过程简单。（3）在确定平面上点的位置时，优先考虑作特殊辅助直线。【例2-15】如图2-49（a），已知五边形ABCDE的H面投影，以及V面的AED投影，试补全五边形ABCDE的V面投影。（a）题目

（b）解法图2-49补全五边形ABCDE投影2、平面上的直线直线在平面上的几何条件是：（1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。（2）若一直线通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线，则此直线必定在该平面上。（a）经过平面上的两个点

（b）通过平面上的一点并平

行于平面上的另一直线【例2-16】如图2-51（a），在平面CDE内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。（a）题目

（b）作图2.5直线与平面及两平面间位置关系2.5.1平行1、直线与平面平行若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行，反之亦然。【例2-17】如图2-52（a），试判断直线AB是否平行于平面CDE。（a）题目

（b）解法图2-52判断直线与平面是否平行结论：直线MN不平行于平面CDE【例2-18】如图2-53（a），过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。（a）题目

（b）解法图2-53判断直线与平面是否平行2、平面与平面平行（1）若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。如图2-54（a）所示，平面ABC与平面DEF中的直线AB∥DE、AC∥DF，那么平面ABC∥平面DEF。（2）若两投影面垂直面具有积聚性的那组投影相互平行，则两平面必相互平