第9讲 相似多边形相与似三角形相似的条件-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第九讲相似多边形相与似三角形相似的条件【学习目标】1.经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义.在探索相似多边形边、角的关系中，进一步发展学生的观察、判断、2.类比相似多边形的定义，能顺势掌握相似三角形的概念。3.引导学生对概念的全面理解:性质与判定之间的关系。4经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题，提出问题的意识;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识归纳能力.【基础知识】1.相似多边形（1）一般地,形状相同的图形称为相似图形.（2）对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF.(3)三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.【考点剖析】考点一：相似多边形的判定例1．（1）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；故选：B．（2）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【答案】C【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．所以甲对，乙不对，故选：C．（3）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由．【答案】不相似，见解析【详解】解：不相似．理由如下：因为，所以，而，所以矩形与矩形不相似．考点二：添加条件判定三角形相似例2．（1）如图，四边形的两条不等长对角线，相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则（）A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似【答案】B【详解】在和中，，又，∴，即甲丙相似；无法证明，即乙丁不相似．故选：B．（2）如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意得，∠A=∠A，A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；C、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；故选：B．（3）中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】D【详解】解：①，，可证，故①符合题意；②，，可证，故②符合题意；③，，可证，故③符合题意；④，，不能证明，故④不符合题意；故选：D．（4）如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（）A． B． C． D．【答案】C① B．② C．③ D．④【答案】D【详解】解：①在与中，，，正确，故①不符合题意；②在与中，，，正确，故②不符合题意；③在与中，即又正确，故③不符合题意；④在与中，即，不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，故选：D．考点三：相似三角形的判定例3．（1）如图，在中，四边形是平行四边形．求证：．【答案】见解析【详解】解：证明：∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE∥BC，EF∥AB，∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．【答案】证明见解析．【详解】证明：∵AC2＝AD⋅AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【真题演练】1．如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（）A．角 B．边长 C．周长 D．面积【答案】A【详解】在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，故选：A．2．如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．【答案】A【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为1：5，∴它们的面积比=12：52=1：25．故选：A．3．如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A．4．如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，故选：C．5．两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（）．A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2【答案】C【详解】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4∴两个相似多边形的面积比是9：16∵其中小多边形的面积为18cm2∴较大多边形的面积为cm2故选：C．6．如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为．则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A． B． C．， D．，【答案】B【详解】解：如图，∵矩形ABCD中，∴又∵矩形中，，，∴又∵矩形ABCD∽矩形∴∴∴∴故选：B．7．下列命题中，是假命题的是（）．A．两个等边三角形相似 B．有一个角为20°的两个直角三角形相似C．两个等腰直角三角形相似 D．两个直角三角形相似【答案】D【详解】A、两个等边三角形相似，此项是真命题，不符题意；B、有一个角为的两个直角三角形相似，此项是真命题，不符题意；C、两个等腰直角三角形相似，此项是真命题，不符题意；D、两个直角三角形只有一组角一定相等，则两个直角三角形不一定相似，此项是假命题，符合题意；故选：D．8．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似【答案】C【详解】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；对于（2）图：由于，，，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．故选：C．9．如图，下列条件能判定的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∴选项A不符合题意；∵，且，∴，∴选项B，D不符合题意，选项C符合题意；故选C．10．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．所以选B．11．如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为______．【答案】50【详解】解：∵矩形与矩形是位似图形，∴矩形∽矩形，∴，∵S矩ABCD=，∴．故答案为：50．12．（1）把长为的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则_________．（3）如图，，则图的相似三角形共有_______对．【答案】cm或3【详解】解：（1）较长线段的长度=×8cm=cm；（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，当BC＞AC时，；当BC＜AC时，，∴=；（3）∵AD∥EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，△AFD∽△CFB，△BEF∽△BAD，∴共3对．故答案为：cm；或；3．13．一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．【答案】不一定【详解】解：这两个直角三角形不一定相似．理由如下：如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似．综上：这两个直角三角形不一定相似；故答案为：不一定．14．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴△DEC∽△ADF．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）尺规作图：在AB上求做点D使得DC＝DB．（2）设E为BC的中点，连接DC和DE，求证△DCE∽△ABC．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析．【详解】解：（1）作BC的垂直平分线交AB于D，则点D即为所求；（2）∵，E为BC的中点，∴，，∴，∴．【过关检测】1．如图，从图甲到图乙的变换是（）A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换【答案】D【详解】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．故选：D．2．用一个10倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（）①三角形的每个角都扩大10倍；②三角形的每条边都扩大10倍；③三角形的面积扩大10倍；④三角形的周长扩大10倍．A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】C【详解】解：①三角形的每个角不会变化，故错误；②三角形的每条边都扩大10倍，故正确；③三角形的面积会扩大100倍，故错误；④三角形的周长会扩大10倍，故正确．故选：C．3．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（）A．70°B．80°C．90° D．120°【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∴∠E＝∠A＝80°，故选：B4．如图，一张长为a宽为b的矩形纸片（a>b），将纸片沿较长边的中点对折，得到的两个小矩形都和原来的矩形相似，则a：b的值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意可得：对折后小矩形的长为b，宽为∵小矩形与原来矩形相似，∴，∴，∵a>0，b>0，∴故选：C．5．观察下列每组图形，相似图形是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；B、两图形形状不同，故不是相似图形；C、两图形形状相同，故是相似图形；D、两图形形状不同，故不是相似图形；故选：C．6．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸，若所得新矩形与原矩形相似，则的值的个数可以是（）A．1 B．2 C．3 D．无数个【答案】D【详解】新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关，故选：D．7．如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（）A．三角形相似于三角形 B．三角形相似于三角形C．三角形相似于三角形 D．三角形相似于三角形【答案】C【详解】解：A.又平分故A不符合题意；B.平分又故B不符合题意；C.三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；D.故D不符合题意，故选：C．8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】根据题意得：，，，∴，A、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似；B、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似；C、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC相似；D、图中的三角形（阴影部分）三边之比为，故与△ABC不相似．故选：C．9．下列条件中可以判定的是（）A．， B．，C． D．【答案】A【详解】A、对应边成比例，且夹角相等，所以可判定相似，故选项正确；B、对应边成比例，但不是、的夹角，不能判定相似故选项错误；C、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误；D、只有对应边成比例，但夹角不确定，不能判定相似故选项错误；故选：A．10．如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为_______．【答案】2：3【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，∴对应边的比为2：3，故答案是：2：3．11．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是_____．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是_____．【答案】【详解】连接BD，如图，由图可知，，，，，∵，∴△ABD为等腰直角三角形，