高考数学一轮复习 2.1 函数的概念及表示

2.1函数的概念及表示考向1函数的定义域知识点定义域的基本限制（1）分式中的分母不为0；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0；（3）零指数幂的底数不为0；（4）指数式的底数大于0且不等于1；（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0；（6）正切函数且.注:定义域需用区间或集合的形式写出.例（2020·北京）函数的定义域是_____.题型1函数的定义域例1（2026・江苏模拟）函数的定义域是（）A. B.C.D.例2（2026·湖北模拟）函数的定义域为_____.题型2抽象函数的定义域此类型题目最关键的就是同一对应法则下的定义域不变,若的定义域为,则中的解的范围,即为的定义域.例3（2026翱北模拟）若函数的定义域是,则函数的定义域是_____.题型3利用定义域求参数范围例4（2026·广东期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（）A.B.C.D.例5（2026·山东月考）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_____A.B.C.D.例6（2026・哈尔滨模拟）若函数的定义域为,且,则实数的值为_____.考向2函数的值域知识点求值域的基本方法（1）配方法:与二次函数有关的函数（注意定义域）;（2）换元法:形如的函数，即设，转化成二次函数再求值域（注意）；（3）分离常数法:形如的函数可借助反比例函数求其值域，且值域为；（4）单调性法:将函数分为两部分，如果单调性一致，可根据定义域求解其值域；（5）基本不等式法:当函数可化为对勾函数模型时，可借助基本不等式求解其值域.题型一4求函数的值域例7（2026·四川模拟）已知函数，则其值域为_____.例8（2026・江苏模拟）已知函数,则的值域为（）A.B.C. D.例9（2026·广州模拟）函数解析式为,值域为,图像过点,则函数的值域为_____.例10（2026·北京校级模拟）定义在上的函数，若满足:存在常数，对任意，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（）A. B.C. D.例11（2026·大连模拟）记表示三个数中的最大数.若函数的值域为，则的最小值为_____.例12（多选·2026·腾冲三模）设函数,则下列函数中满足,与值域相同的是（）A.B.C.D.题型5数形结合法求值域其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式、直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例13（2026·长沙期中）定义为中的最小值，设,,则的最大值是（）A.1B.2C.3D.5题型6判别式法求值域形如中至少有一个不为零）的函数求值域.判别式法求其值域,要注意以下三个问题:①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②定义域是否属于;③闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在;④分子、分母必须是既约分式（不可约分）.例14求函数的值域.题型7三角换元法求值域例15求函数的值域.题型8值域与求参问题例16（2026·广州校级一模）已知函数的定义域与值域都为0），则实数的值为_____.例17（2026·博爱县校级三模）若函数的值域为.则的取值范围是（）A.B.C.D.例18已知函数的值域为,求的值.例19（2026·沧州三模）已知函数的值域与函数的值域相同,则的取值范围是（）A.B.C.D.考向3函数的解析式令题型一9换元法换元法:也称变量替换或辅助元素法,在使用换元法时,一定要根据定义域确定所换“新元”的取值范围.例20（2026・台江区校级三模）已知:，则_____.例21（2026·江苏校级一模）已知函数在上具有单调性，且，则题型10待定系数法待定系数法:解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，根据一些条件或要求来确定这些系数,从而解决问题,这样的思维方法叫作待定系数法.例22（2026·台湾四模）若为二次函数且,则的解析式为_____.题型11方程组消元法方程组消元法:根据不同形式的变量之间的关系,利用变换形式构造不同的等式,通过解方程组求解.例23（2026·吉林模拟）令函数,再定义,函数满足,则（）A.3B.6C.9D.18例24已知，求函数的解析式.题型12赋值法赋值法:对于自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值代入原方程,从而简化方程,达到求解的目的.例25（2026・重庆模拟）设定义域为的函数满足:都有且（为常数），则函数_____.例26（2026·万城区校级二模）若函数,则_____.考向4分段函数知识点1分段函数1.分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.2.分段函数的图像在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像,组合在一起就是完整的分段函数图像.3.考点分析（1）分段函数是一个函数，遵循函数定义的唯一性，分段函数定义域不可以用相交部分，注意每段端点取等情况及图像实心点空心点;（2）分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集，是一个集合，不能分开写成几个集合；（3）分段函数的值域是每一段因变量取值范围的并集.知识点2常见分段函数1.取整函数（也称高斯函数）（表示不大于的最大整数）.2.符号函数 3.狄利克雷函数 4.黎曼函数 5.含绝对值符号的函数 6.自定义函数:题型13分段函数求值域例27（2026·眉山模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如:,已知函数,则函数的值域为（）A.B.C.D.例28（2026·山西模拟）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数,则下列实数不属于函数值域的是（）A.3B.2C.1D.0例29（2026·桃城区校级模拟）对任意两实数，，定义运算“*”:*则函数的值域为_____.题型14分段函数求参数范围例30（2026-四川校级三模）已知函数,若函数的值域为.则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例31（2026·兴庆区校级期中）若函数在定义域上的值域为,则称为“函数”.已知函数是“函数”,则实数的取值范围是_____（用区间表示）.例32（2026・沈阳三模）已知函数,若的值域是,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.例33（2026・黄浦区校级模拟）已知定义在的函数,满足:在上的解析式为,设的值域为.若存在实数,使得,,则的可能取值为（）A.B.C.-D.题型15分段函数的综合应用例34（2026・山东模拟）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数,称为狄利克雷函数,则关于函数,下列说法正确的是A.的定义域为B.的值域为C.D.任意一个非零有理数对任意恒成立例35（多选・2026・山东三模）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,他和阿基米德,牛顿