高考数学一轮复习 11.2 条件概率与全概率公式

第二节条件概率与全概率公式知识点1条件概率（一）定义一般地,设为两个事件,且,称为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率.注意:（1）条件概率中“|”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了,所以条件概率计算必须在的情况下进行.（二）性质（1）条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间，即.（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0.（3）如果与互斥,则.注意:（1）如果知道事件发生会影响事件发生的概率，那么；（2）已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率,即.知识点2相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件,如果,则意味着事件的发生不影响事件发生的概率.设,根据条件概率的计算公式,,从而.由此我们可得:设为两个事件,若,则称事件与事件相互独立.（2）概率的乘法公式由条件概率的定义,对于任意两个事件与,若,则.我们称上式为概率的乘法公式.（3）相互独立事件的性质如果事件互相独立,那么与与与也都相互独立.（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性,即若事件相互独立,则这个事件同时发生的概率.（二）事件的独立性（1）事件与相互独立的充要条件是.（2）当时，与独立的充要条件是.（3）如果与独立，则成立.知识点3全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理1若样本空间中的事件满足:①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意事件,都有,且注意:（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算,即运用了“化整为零”的思想处理问题.（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.（二）贝叶斯公式（1）一般地,当且时,有（2）定理2若样本空间中的事件满足:①任意两个事件均互斥，即；②；③.则对中的任意概率非零的事件,都有,且注意:（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用,解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小,称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了之间的转关系，即之间的内在联系.考向1条件概率题型1求条件概率例1某高三班级有校级优秀毕业生8人，其中男生6人、女生2人，从这8人中随机选取2人作为班级代表发言.若选取的第一位是女生，则第二位是男生的概率为（）A.B.C.D.例2（2024・天津）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目，假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为_____；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为_____。题型2条件概率的乘法公式乘法公式:对任意两个事件与,若,则.例3某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率.例4已知,且,若,则_____.例5多选题是新高考中的一种题型,其规则如下:有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的或一个都不选的得0分.某同学正在参加西昌市半期考试,当其做到多项选择题11题和12题时,发现自己不会,在这两个多项选择题中,他选择一个选项的概率是,选择两个选项的概率是,选择三个选项的概率是,若该同学猜答案时题目与题目之间互不影响,且第11题和第12题的正确答案都是两个选项.（1）求该同学11题得2分的概率；（2）求该同学第11，12题两个题总共得分为7分的概率.题型3条件概率的性质常用性质:设,则（1）；（2）如果和是两个互斥事件，则；（3）设和互为对立事件，则例6（多选）已知.若随机事件相互独立,则（）A.B.C.D.例7已知随机事件，若，则_____.考向2相互独立与条件概率的关系同时发生的概率表示为,若相互独立,则.例8（多选）若则下列说法正确的是（）A. B.事件与相互独立C. D.例9将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A.事件与相互独立 B.事件与相互独立C. D.考向3全概率公式与贝叶斯公式题型1全概率公式某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故发生的概率是各原因引起发生概率的总和.例10设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、丙车间生产的产品的次品率分别为2%和5%.现从中任取一件,若取到的是次品的概率为2.95%,则推测乙车间的次品率为_____.例11盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,不放回地从中取产品,每次取1个,取两次.求:（1）两个都取得一等品的概率;（2）第二次取得一等品的概率；（3）已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得二等品的概率.题型2贝叶斯公式若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.例12英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件存在如下关系:.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有的可能呈现阳性;该试剂的误报率为,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,已知检验结果呈现阳性,则此人患病的概率为（）A.B.C.D.例13随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有自驾、坐公交车、骑共享单车三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为,而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为,则小明这一天迟到的概率为_____；若小明这一天迟到了，则他这天是自驾上班的概率为_____.例14在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0,求发送的信号为1的概率.题型3全概率公式与递推数列例15中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食,记第次就餐去“公寓食堂”的概率为,第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然.下列判断正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最小值为例16近年来,我国外卖业发展迅猛,外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一逆亮丽的风景线、某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为1,2,3,4）,约定:每天他首先从1号外卖店取单,叫做第1次取单,之后,他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单,依此类推,假设从第2次取单开始,他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单,设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率,显然,则_____，__