2026年全国高中数学联赛预赛试题-北京市

PAGE10页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-

1a

，且0。

32x13x23x

的最小 正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，求其内切球半 已知复数z，z1，求z33z1的最大 Pxyz2xyz2d1OPd2Px2y2z0 d29d2的最小

6 已知椭

的最大值 已知a

2

32026，则ab除以19的余数 有一个凸20边形，这个凸20边形的对角线没有形内三线共点，则这个凸20边形所有的边与对角 2026aa,

，满足a

1，则

的最小值

4a2 4a2 4a a，已知a1

2,

a1则

已知椭圆xy1，直线y 与椭圆交于A,B两点，过椭圆的右焦

F2 M,N两点，则四边形MANB的面积最大时直线的斜率 MDME

ACAB

FGMFMG

DEGF求证:MDAMCn3,

xk,maxx1x2

1,minx1x2

1k

D

1k xk1nn“专一数作如下定义:i1in1ini1S102026“专一数”的和,S17nn1个格，将此格所有硬币分配至邻格:21个硬币。已知操作可以无限进行下2026年全国高中数学联赛预赛试题-北京市-

1a

，且0。

1tjFt1t10131t10131t21013Ft 1解:

32x13x23x

的最小 解解t3x0,3t29t15ttt由均值不等式,t113t1t2276等号当t1 3，即t 310，可取到36正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，求其内切球半 解解:2S0 R2h 32R2 9464669 3r3VV1rS,S 3322 3612321223,3,2的等腰三角形,23V1Sh13已知复数z，z1，求z33z1的最大 Gu096 2u22u10,G19,G11解zeit,ucost1,1Gu24u224u12122u22u8u312u212uz33z1112cos3t6cos2t996

Pxyz2xyz2d1

d2P

x2y2z0 d29d 解:

的最小

x2y2z03

apbd2bk,由柯西不等式

d29d2p2bp2 2akbpkbp 4akb2k2k3,

akb

k210k212k6 1010412Q5P7 1

3

12 , 6 62xyz2,

6 已知椭

的最大值 解一:

X

,Yy

X2Y21,06

2 5

3在单位圆中,设弦ABdP,0d21

,

AB21d2121d21d1d

1d2fd1d

1d2fd

1d2d1d0d

上为正,d

12

1

7

21721 5

33721637 解二:若AB

x0,

63AB6,点到该直线的最大距离为3,下面设AB所在直线非竖直,

16

33将其代入椭圆方程

l:ykx6 6 x

AB,

k23x212kx189 , 25k2xx Δ k2

k21k225k2

1k

xx l

5k2xy

kxy6 y

x

y2kxy23k 3k29 3k2 3 9Cl

3k29kxy

3k2

3k29 51k于是当ABk时,

25k263

3k296Sk k2uk233,r1 2512r236r,0r1 5 Gr

2512r2 6r3 53 30123r144rGr .2512r0r123r144r21248 Gr处取得,

在区间上单调递增,

ru3,k33 32163733637 3254AB:y6已知a

2

32026，则ab除以19的余数 解解1923,274474329756323mod19523231mod1923mod19ab2mod有一个凸20边形，这个凸20边形的对角线没有形内三线共点，则这个凸20边形所有的边与对角 解:任一三角形由三条边或对角线两两相交形成。按这三条线段共涉及的原多边形顶点数分类。设选出的原顶点数为k,3k6。k3:3个顶点,1个三角形,33 k4:在一个凸四边形中,必须取两条对角线和一条边,4个三角形,444 k5:在一个凸五边形中,5个这样的三角形,555 k6:在一个凸六边形中,三条线段必须两两相交,只能取三条“相对”的连线,1个,66 3 4 5 62043 4 5 6 3 4201140,3 4 5 62015504,5 6 2026aa

，满足a

1，则

的最小值

4a2 4a2 4a2解:对任意t0, 14t

1t2t1

14t

1

aiaiai11aiai把下标按奇偶分组,

i11

Xa1a3a2025,Ya2a4a20262026为偶数

XY

aiai1XY 11 a

1,a 时,

1/ 1/2113

对于数列a，已知a1,a2, a1,则

解an1an,an

1

a3331

n 先证下界 a2026a2a3,a103,

an

11a291 3an3n2n10,an2,3131

n11,an3,31311

83202491201516337 18a2026a2026已知椭圆x2y21，直线y 与椭圆交于A,B两点，过椭圆的右焦点F作一条直线交椭圆 M,N两点，则四边形MANB的面积最大时直线的斜率 解:a221,b211,F2k,

F2

10,ykx10

MN

22211k21121k MANBMNAB,且AB固定,AB1。因此面积最大等价于最MNsin 4 tank sin

k 4 21k2

k11k1121kk121k2Hk 1121k221k3k231k117k22k110,kk1MDME

ACAB

FGMFMG

DEGF求证:MDAMC解一解一:r2a2b2AM设CMF,ttanFACGAB,MFMG,MFt,MG1ACbX1aYb边ABbXa1YbF , ,b1atb1atG bta1bta1

X2YX2Y

XX

r2ar2a

YYE

MDMFF2

r2a

yFxFMEMG

xG

r2a

yGDEGF四点共圆,MDFMEG共线,由割线定理MDMFMEr2 r2FG坐标,

yFxFxG

yG交叉相乘并整理

r2atb r2abt bta1r21bt22atbt0,

bt22atbtar b rcosa,sinb tan sin b/ 0,

1

1a/ r CMF1

DMF共线,MD

MBMCm,AMr,AMCxFAC,0xMGMF,GAB,DEFG四点共圆,MDF共线,MEG共线,MDMFMEMF用面积公式可得如下常用结论MUp,MVq,UMVPUV,

MF

MD

mcosxrcosx

ABMD

DB在直线AMAMDAMF由正弦定理

中的正弦定理化简,

rsinx 同理,

ACME四点共圆,AECM同侧,

ME

由13456,消去公共因子,交叉相乘,

r2m2

,

r2m2sinxxsin2x0x180∘,2xxCMF1DMF共线,MDAMCn3,

xk,maxx1x2

1,minx1x2

1k

D

1k xk1解:设

Sk

xk,

Sk0Ak11kAk0,10SkDS001kn1xk1xkSk1SkSkSk1Sk12SkSk0Sjj,Sk12SkSk1xk1xk2k2nD2n

Sk

xkSkSk1D

2n1i

jn,

Bxi1xjAiA

ji j A

jiBA

xs

Dsr

,

B

r1Aj

maxAk1minAk0,

pq

ApAqDnDnxk

2kn

1knn2n1,综上nnDA10An1,条件满足, nk 2r Ank xnn“专一数作如下定义:i1in1ini1S102026“专一数”的和,S17解:1“1数”。一个正整数n“专一数”等价于:naab11.011从低位到高位看进位。可得 0 00,1,之后始终两种都可能,0,1数之1数之和的数,低位到高位必须是kH20,2。

kn1,0n。可以证明此时不能分解为1数的只有:因此所有专一数为两类2.

210kk0,210k,N20261710161,

N10mod16

NS210kk 10

S22237modSSS1S25712mod综上S141233395mod2r12r3r3rr r3161,28 r rSE43rE4 3mEmnn1个格，将此格所有硬币分配至邻格:21个硬币。已知