2026年全国高中数学联赛预赛试题-贵州省

PAGE121页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-(考试时间:150:200分)填空题(880分从集合1,2,3,,37中选出两个数,使得其余35个数之和是这两个数之积.则满足条件的两个数之和 zC,12z22z22z21231.

z6 设 是

BC22AC2AB2E

BE2EABCEO的最小值 MABCDABCDMDABCDMDMAMC

的长为三个连续的奇数.则四棱锥MABCD的体积 有三个红色、三个蓝色、三个绿色共9个形状相同的筹码，将它们全部放入一个33的方格表中，每个方格放一个筹码，则使得任意两个颜色相同的筹码放入的方格互不相邻两个方格有公共边叫相邻的概率为 .

x20x101除以x12的余式 已知数列an的通项公式为ann,则数列an的前n项和Sn 在ABC中，若tanAtanA3，则sinA的最大值 fx0x0fxffx21恒成立, xyf3x9x

的最小值

x0

恒成立，则a的取值范围 二.(30分,120分把圆沿圆心分成n个扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给所有扇形染色,每个扇形只染一种颜色,且不允许相邻的扇形有相同的颜色.试问:共有多少种不同的染色方法?(有的颜色可以不用)

1

,M10,kl

F1 PQPQx),MPMQ与椭圆的另一个交点分别为ABl对称的两点,若有,k的取值范围;若没有,请说明理由

MPMQ3l的斜率 PAGE124页/287在平面内固定摆放着一个边长为8cm的正方形框,现把一根周长为34cm的无弹性绳圈摆放在该平面内，使正方形框在绳圈内.今用一支笔绷紧绳圈，使其笔尖围绕绳圈滑动出轨迹Γ(正方形边框、绳圈及笔尖都不考虑粗细及大小).求轨迹Γ上的点到正方形框的中心的最大距离.ABCD.EF分别是棱ABCD的中点证明

ABCDEF2PAGE125页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-贵州省-(考试时间:150:200分)说明评阅试卷时,请依据本评分标准.80分两档,解答题按给定档次给分,不得增加其他中间档次如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分填空题(880分从集合1,2,3,,37中选出两个数,使得其余35个数之和是这两个数之积.则满足条件的两个数之和 xyxy,37137xyxy,xyxy703zC,12z22z22z21231.

z6 解:12z2解:12z22z22z21231,12zz2z2z2z21z2131z2z2z2z210zz4zz400zz62zz220,zz6zz2,z6zz2.

BC22AC2AB2E

BE2EABCEO的最小值 故故BCEM AC2 AB2 ACAB 已知BC2AC2AB,可得AC 2AB2AC–– –– EM AC ABBCACAB BCEOBCEMMOBCEMBCMOBCEMOABC的外心,BCM,OMOMBC,OMBC0 EOEMMOBCBCEM AC2 AB2 ACAB 1–––→––BC为最小值––→––– –––→––将ACAB AC2 AB2AC代入目标式–––→––则ACAB AC ABMABCDABCDMDABCDMDMAMCMB的长为三个连续的奇数.则四棱锥MABCD的体积 解:解:MAMCMBMDbMAaMCa2MBa4,aN*,b为奇数,a2a22b2a42a2ba2b16a,b7,从而AD210CD62,M1MDADDC245有三个红色、三个蓝色、三个绿色共9个形状相同的筹码,将它们放入一个33的方格表中,则使得任意两个颜色相同的筹码互不相邻(两个方格有且仅有公共边叫相邻)的概率为 33格表中的放法有 1680种.故所求的概率为:(2)32212种所以任意两个颜色相同的筹码互不相邻的放法种数为:241236种.33解:(1)每行都是三色,A32224种

x20x101除以x12的余式 x20x101x12qxaxb两边求导,20x1910x92x1qxx12qxa②将x1a30b27.30x27已知数列an的通项公式为ann，则数列an的前n项和Sn 88 4n318n236n an3bn2cn所以Sn a ,b ,c ,d 6b9a2c2a9a2b即an an3bn2cndan13bn12cn1 3nan3n在ABC中，若tanAtanA3，则sinA的最大值 2121sinA21bc时,上式等号成立1sin2A4sinA cosA b2cosA3a3bccosA,sin2A 33sinAsinBC ABC中,ABCabctanAtanA3, sinAcosBsinAcosC3sinAcosBsinCcosCsinB

fx0上单调递减x0fxffx21恒成立, xyf3x9x

的最小值 x0fxffx21恒成立,xfx2xxxf2xfx2fxfxf 2 1 的最小值在3931 3 取最大 时得到,即 8 故函数yf3fx0上单调递减,所以fx2两式比较,得x2fxxxffx2fffx22xffx2fx0上单调递减,x2fxx x f

x0时

,则a的取值范围则 g00,x0时,gxg00,即fxaxa1时,gx0,gx0上单调增加g00成立gx00上恒成立,g00,a1 a.2 122a22cosxgxa,2ax,gxax2解:由题意,二.解答题(120分把圆沿圆心分成n个扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色.试问:共有多少种不同的染色方法?nS1S2S3,Snn3首先,S1涂三种颜色中任意一种,有之后,S2有两种染法,再后,S3也有两种染法,染下去,S1,S2,S3,,Sn2染色后,Sn1同样有两种染 (8分S1Sn“必须不同这一限制,S1S2S3,Sn1染色后,由乘法原理,对整个圆染色方法总数为32n1.fn,S1Snn1fn1,fn32n1fn1n(16分从而得fn22n1fn12n1fn2nfn12n1 (24分fn2n为等比数列,f36,由等比数列通项公式fn2nf3231n3681n121nfn2n21n2n21n种染法(30分

1F

,M10,klF PQPQx),MPMQABl对称的两点,若有,k的取值范围;若没有,请说明理由

MPMQ3l的斜率 (1)lF120,lykx2,k0lly1xm,CD,lx3k25y26k2my3k2m2300Δ36k4m243k253k2m2300,k2m26k2100Δ)y1y23k25y中3k256k (8分

3k2m

CD3k2

53k2 l 3k2m

k3k252m

Δ式,

50 显然,此不等式无解,因此,椭圆上不存在关于直线l对称的两点 (15 注:“点差法”推证

x

3,得3,且

1

即

y

y

0 3

1

1因为PQ在椭圆上,所以 3x2 3

(1)122,得x1x3x1x3y1y3y1y31

(23分

119

119,

x

5 lykx2,C的方程,

20k 5k3x20kx20k300x1x2

5k23

(30分8cm的正方形框,34cm的无弹性细绳圈摆放在该平面内,使正方形框在细绳圈内.今用一支笔绷紧细绳,使其笔尖围绕细绳滑动出轨迹Γ(正方形边框、细绳及笔尖都不考虑粗细及大小)求轨迹Γ上的点到正方形框的中心由椭圆定义知,Γ8段椭圆弧连接起来形成的图形,此图形既是轴对称图形,ABCD.ACN,以ABM

(8分ΓM上时,建立如图所示的直角坐标系,Mx2y2

1

y

,Mxy,xy0

d

y42

y2y

y28y 9 9y3,

y

时,dmax5

(16分同理,ΓN上时,dmax

(24分因为49165252cm.

(30分 14.ABCD.EFABCD的中点证明:ABCDEF2ABCDEFOA1B1C1D1E1F1由题意知,A1B1C1D1E1F1也在单位正方体