甘肃兰州市新区教育片区联考2025−2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

甘肃兰州市新区教育片区联考2025−2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷一、单选题1．复数满足，则（

）A． B． C．5 D．132．已知向量，若，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．3．已知，且，则（

）A． B． C． D．4．已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（

）A． B． C． D．5．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．，，则 B．，，C．，，则 D．，，则6．已知为第二象限角，，则（

）A． B． C． D．7．在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等边三角形 D．钝角三角形8．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（

）A．，，，四点共面 B．平面平面C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为二、多选题9．若向量则（

）A． B．C．在上的投影向量为(1,0) D．与的夹角为10．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（

）

A．存在点Q，使平面MBNB．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面C．三棱锥的体积是定值，为D．经过C，M，B，N四点的球的表面积11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于点对称 B．C．在上单调递增 D．是偶函数三、填空题12．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________．13．已知向量满足，且，则______14．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．

四、解答题15．已知向量，．（1）当时，求的值；（2）当，，求向量与夹角的余弦值．16．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）．（1）求的值；（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．17．在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，且的面积等于，求的周长．18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成角的大小．19．已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最值及取最值时相应的值．

参考答案1．【答案】C【详解】由，得，所以.2．【答案】C【详解】因为，所以，因为，所以，解得．3．【答案】B【详解】由于，代入，且，得，解得，故B正确.4．【答案】C【详解】记圆锥高为h，底面半径为r，因为该圆锥底面面积为，所以，故底面半径．体积，解得，故母线长．5．【答案】B【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误；对于B，因为，，故，而，故，故B正确；对于C，，，则或，故C错误；对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误.6．【答案】C【详解】由，得：因为是第二象限角，所以，，化简得：，即由于，解得：，因为，所以，所以7．【答案】C【详解】由正弦定理，，则，再由则故，即，故，所以为等边三角形.故选C.8．【答案】D【详解】对于A，取中点，连接，由于是的中点，在正方体中可知，又，，所以四边形为平行四边形，故，因此，故四点共面，故A正确；对于B，如图，连接，由于均为中点，所以，，平面，平面，所以平面，同理平面，，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面.若与相交，则交点在和上，平面，与平面仅交于点，而，故与不相交；若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾；所以与是异面直线，故C正确；对于D，由于，所以，故为直线和所成角或其补角，不妨设正方体的棱长为，则，由于底面，平面，所以，所以，所以直线和所成角的正切值为，故D错误.9．【答案】BC【详解】对于A，由已知，，，，A错；对于B，，B正确；对于C，，在上的投影向量为，C正确；对于D，，又，所以，D错．10．【答案】AC【详解】对于选项A，若点是的中点，则，又因为,所以.因为面,面所以面.故选项A正确.对于选项B，当点与重合，此时，,又因为，所以故四点共面，所以选项B不正确.对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且.所以.故选项C正确.对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为长方体的外接球.因为该长方体的长宽高分别为.所以.所以.故选项D不正确.

11．【答案】ACD【详解】；对A：当时，，由关于点对称，故的图象关于点对称，故A正确；对B：，故不恒成立，故B错误；对C：当时，，由在上单调递增，故在上单调递增，故C正确；对D：，由为偶函数，故为偶函数，故D正确.12．【答案】0【详解】由三角函数定义知，，，，，所以.13．【答案】【详解】，，故，则.14．【答案】【详解】由题意知，平面，，，，.因为平面，所以，.在中，，所以.在中，，所以.在中，由余弦定理得，，即，整理得，即，解得或.当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由向量，，得，由，可得，即，解得．（2）由，，得．由，，可得，解得，所以．所以，，，所以．16．【答案】（1）（2）【详解】（1）依题意，，则，由为纯虚数，得，所以.（2）由（1）得，复数，由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得，所以实数的取值范围是.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，所以，即，，因为，所以，得，即.（2）因为，所以，所以由余弦定理得，，因为，，所以，所以的周长为.18．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，因为四边形是正方形，所以为中点，又为中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）证明：因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，，因为平面，所以平面，又平面，所以，在中，因为为中点，则，因为平面，所以平面．（3）【详解】（1）略．（2）略．（3）因为平面，平面，所以，又四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，连接，则直线与平面所成角的平面角为，又平面，所以，在正方形中，，因为平面，平面，所以，因为，所以，在中，，，所以直线