重庆市西北狼教育联盟2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题

2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高一（上）开学数学试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）9的相反数是（）A． B．﹣9 C． D．92．（4分）如图图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．110°4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应边上的高之比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：95．（4分）反比例函数的图象经过点（2，﹣3），下列各点在该图象上的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（4，﹣6）6．（4分）估计的值应在（）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间7．（4分）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点个数是（）A．59 B．65 C．70 D．718．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO的度数为​（）A．25° B．50° C．60° D．65°9．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠OBE的度数为​（）A．15° B．20° C．25° D．30°10．（4分）已知a＞b＞0＞c＞d＞e，对多项式a﹣b﹣c﹣d﹣e任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|等，下列相关说法正确的个数是（）①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：＝．12．（4分）如图，五边形ABCDE是正五边形，在正五边形ABCDE中，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠FBC的度数为°．13．（4分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．14．（4分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，则方程可列为．15．（4分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC、AB于点E和D，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．17．（4分）若关于y的不等式组的解集为y≤0，且数a使关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为．18．（4分）一个四位自然数M，它的各个数位上的数字均不为0，我们把它的百位数字作为十位，十位数字作为个位组成一个新的两位数，若这个两位数大于M的千位数字与个位数字的和，就把这个数M称为“心愿数”；若这个两位数还能被M的千位数字与个位数字的和整除，就称这个数M为“愿归数”例如，M＝3456，∵45＞3+6，且45÷（3+6）＝5，3456为“愿归数”．现有一个四位自然数M＝1000a+100b+10c+d，其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，a、b、c、d都是整数，且c＞d．若M为“愿归数”，其中，记F（M）＝10（a+b）+3c．若F（M）能被7整除，则符合条件的自然数M的最大值为．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）．20．（10分）小明在学习矩形时发现：在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，过点E作EF⊥AE交边CD于点F，若BE＝CF，则DE平分∠ADC．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决．请根据小明的思路完成以下作图与填空．（1）用直尺和圆规，过点E作AE的垂线交CD于点F．（只保留作图痕迹）（2）已知：如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，过点E作EF⊥AE交边CD于点F，BE＝CF求证：DE平分∠ADC证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠1+∠2＝°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠2+∠CEF＝90°，∴．又∵∠B＝∠C，，∴△ABE≌（A．A．S）．∴AB＝EC．又∵AB＝CD，∴EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE．∵，∴∠CED＝∠ADE．∴∠CDE＝∠ADE．∴DE平分∠ADC．21．（10分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x＜100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图年级平均数中位数众数方差七年级9296b28.6八年级92m9828根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？22．（10分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．（1）请问A、B两种苗木各多少株？（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，动点P从点A出发，沿着A→B→C运动，到点C时停止运动（动点P不与点A，C重合），设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出面积为3时x的值．24．（10分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．（1）求步道DE的长度．（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P在直线AC上方且为抛物线对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作х轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）先向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标．26．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将线段CB绕点C旋转α（0°＜α＜180°），得到线段CD，连接AD，BD．（1）如图1，若将线段CB绕点C逆时针旋转30°得到线段CD，线段CD，AB交于点E，求证：BD＝BE；（2）如图2，将线段CB绕点C顺时针旋转α时，若∠ACD的平分线CF交AD于点G，交DB的延长线于点F，连接AF．求证：；（3）在（2）的条件下，取AB的中点M，如图3，连接FM和DM，请直接写出的最大值．

2023-2024学年重庆市西北狼教育联盟高一（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）9的相反数是（）A． B．﹣9 C． D．9【考点】有理数指数幂及根式．【答案】B【分析】根据相反数的定义即可求出答案．【解答】解：9的相反数是﹣9．故选：B．2．（4分）如图图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换；归纳推理．【答案】B【分析】根据题意，由中心对称的定义依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；对于B，是中心对称图形，符合题意；对于C，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；对于D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．3．（4分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G，若∠EFD＝70°，则∠EGF的度数是（）A．35° B．55° C．70° D．110°【考点】相似三角形的性质．【答案】A【分析】结合平行线的性质求解即可．【解答】解：已知FG平分∠EFD交AB于点G，又∠EFD＝70°，则∠GFD＝35°，又AB∥CD，则∠EGF＝∠GFD＝35°．故选：A．4．（4分）若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应边上的高之比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【考点】三角形中的几何计算．【答案】A【分析】根据相似三角形的高之比等于相似比，即可得解．【解答】解：由相似三角形的性质知，三角形的高之比等于相似比，所以对应边上的高之比为3：2．故选：A．5．（4分）反比例函数的图象经过点（2，﹣3），下列各点在该图象上的是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（4，﹣6）【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】根据题意，将点（2，﹣3）的坐标代入函数解析式，求出k的值，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，反比例函数的图象经过点（2，﹣3），即﹣3＝，解可得k＝﹣6，则函数的解析式为y＝﹣，由此可得：点（﹣2，3）在函数的图象上，点（﹣3，﹣2）、（3，2）、（4，﹣6）不在函数的图象．故选：C．6．（4分）估计的值应在（）A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间【考点】有理数指数幂及根式．【答案】C【分析】由已知结合根式的运算即可求解．【解答】解：＝2×3+＝6+．因为2＜＜3，所以8＜6+＜9．故选：C．7．（4分）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点个数是（）A．59 B．65 C．70 D．71【考点】数列的应用；归纳推理．【答案】C【分析】根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为an，归纳分析可得：an﹣an﹣1＝n+1（n≥2且n∈Z），由累加法可得an的表达式，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设第n个图案中，圆点的个数为an，则a1＝7，a2＝10，a3＝14，a4＝19，则有a2﹣a1＝3，a3﹣a2＝4，a4﹣a3＝5，……归纳可得：an﹣an﹣1＝n+1（n≥2且n∈Z），则有an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝（n+1）+n+（n﹣1）+……+3+7＝+7；故a10＝+7＝70，即第10个图案中有70个圆点．故选：C．8．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO的度数为​（）A．25° B．50° C．60° D．65°【考点】圆周角定理．【答案】D【分析】利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系并结合等腰三角形性质可求内角．【解答】解：如图所示，连接BO，易知，又△ABO是等腰三角形，所以．故选：D．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠OBE的度数为​（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考点】三角形中的几何计算；相似三角形的性质．【答案】B【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠EBO＝∠FAO＝20°．故选：B．10．（4分）已知a＞b＞0＞c＞d＞e，对多项式a﹣b﹣c﹣d﹣e任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|等，下列相关说法正确的个数是（）①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】进行简单的合情推理；命题的真假判断与应用．【答案】C【分析】根据“绝对领域”的定义求解即可．【解答】解：∵0＞c＞d＞e，∴只需a，b减去c，d，e，结果一定是非负数，例如：|a﹣b|﹣c﹣d﹣e，故①正确；a﹣b﹣c﹣d﹣e的相反数为﹣a+b+c+d+e，∵a＞b＞0＞c＞d＞e，∴加绝对值无法将a变为﹣a，即不存在与原式互为相反数的可能，故②错误；∵a＞b＞0＞c＞d＞e，列举法可得：|a﹣b|﹣c﹣d﹣e，|a﹣b|﹣|c﹣d|﹣e，|a﹣b|﹣|c﹣d﹣e|，a﹣|b﹣c|﹣d﹣e，a﹣|b﹣c﹣d|﹣e，a﹣|b﹣c﹣d﹣e|，a﹣b﹣|c﹣d﹣e|，a﹣b﹣|c﹣d|﹣e，a﹣b﹣c﹣ld﹣e|，|a﹣b|﹣c﹣|d﹣e|，a﹣|b﹣c|﹣|d﹣e|，共11种，故③正确，综上，正确的说法有①③，共2个．故选：C．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）计算：＝2．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】2．【分析】由已知结合指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：＝1+1＝2．故答案为：2．12．（4分）如图，五边形ABCDE是正五边形，在正五边形ABCDE中，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠FBC的度数为18°．【考点】相似三角形的性质．【答案】18．【分析】由∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF求解即可．【解答】解：已知五边形ABCDE是正五边形，则∠ABC＝108°，又∠ABF＝90°，则∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣90°＝18°．故答案为：18．13．（4分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】．【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．故答案为：．14．（4分）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，则方程可列为．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】．【分析】利用排列组合即可求解．【解答】解：由题意x满足方程：．故答案为：．15．（4分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为7．【考点】三角形中的几何计算；点、线、面间的距离计算；与圆有关的比例线段．【答案】7．【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，推出AD＝AF+DF，即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∵EF＝2，∴AD＝AF+DF＝6+（3﹣2）＝7．故答案为：7．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC、AB于点E和D，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．【考点】扇形面积公式．【答案】．【分析】连接CD，直接利用扇形面积减去三角形面积求解即可．【解答】解：连接CD，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC、AB于点E和D，∴∠DBC＝60°＝，∴△BCD为等边三角形，∴阴影部分图形的面积S＝S扇形BCD﹣S△BCD＝×22×﹣×sin60°＝﹣．故答案为：．17．（4分）若关于y的不等式组的解集为y≤0，且数a使关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为12．【考点】其他不等式的解法．【答案】12．【分析】先求解一元一次不等式组，然后结合分式方程的解的范围可求a的范围，进而可求．【解答】解：由不等式组，可得，因为不等式组的解集为y≤0，故a＞0，因为分式方程的解为非负数，所以x＝≥0且x＝≠1，解得a≤5且a≠3，综上，0＜a＜3或3＜a≤5，故符合条件的整数a有1，2，4，5，和为12．故答案为：12．18．（4分）一个四位自然数M，它的各个数位上的数字均不为0，我们把它的百位数字作为十位，十位数字作为个位组成一个新的两位数，若这个两位数大于M的千位数字与个位数字的和，就把这个数M称为“心愿数”；若这个两位数还能被M的千位数字与个位数字的和整除，就称这个数M为“愿归数”例如，M＝3456，∵45＞3+6，且45÷（3+6）＝5，3456为“愿归数”．现有一个四位自然数M＝1000a+100b+10c+d，其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，a、b、c、d都是整数，且c＞d．若M为“愿归数”，其中，记F（M）＝10（a+b）+3c．若F（M）能被7整除，则符合条件的自然数M的最大值为5883．【考点】进行简单的合情推理．【答案】5883．【分析】根据F（M）能被7整除，推出b＝c＝a+d，进而得出c＞a，再根据F（M）＝10（a+b）+3c＝10a+13c＝7（a+c）+3（a+2c），结合1≤a≤9，1≤c≤9得出a+2c≤27，则a+2c＝7，14，21，求解该二元一次方程，排除不符合条件的情况即可．【解答】解：因为1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，M的各个数位上的数字均不为0，∴10b+c≤99，a+d≠1，∵，则．∴10b+c能被11整除，∴10b+c＝22，33，44，55，66，77，88，99，则b＝c＝a+d，∴F（M）＝10（a+b）+3c＝10a+13c，∵F（M）能被7整除，∴F（M）＝7a+7c+3a+6b＝7（a+c）+3（a+2c）能被7整除，∴a+2c能被7整除，∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴a+2c≤27，∴a+2c＝7，14，21，∵b＝c＝a+d，∴c＞a，①a+2c＝7时，解得：，∴d＝c﹣a＝2，∴M＝1332，②a+2c＝14时，解得：，∴d1＝c1﹣a1＝4，d2＝c2﹣a2＝1，∴M＝2664，4551，③a+2c＝21时，解得：，，∴d3＝c3﹣a3＝6，d4＝c4﹣a4＝3∴M＝3996，5883，综上：M＝1332，2664，4551，3996，5883，∴自然数M的最大值为5883．故答案为：5883．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）．【考点】有理数指数幂及根式．【答案】（1）2x2+4；（2）．【分析】进行多项式的运算即可．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x＝2x2+4；（2）原式＝＝．20．（10分）小明在学习矩形时发现：在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，过点E作EF⊥AE交边CD于点F，若BE＝CF，则DE平分∠ADC．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决．请根据小明的思路完成以下作图与填空．（1）用直尺和圆规，过点E作AE的垂线交CD于点F．（只保留作图痕迹）（2）已知：如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，过点E作EF⊥AE交边CD于点F，BE＝CF求证：DE平分∠ADC证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠1+∠2＝90°．∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠2+∠CEF＝90°，∴∠1＝∠FEC．又∵∠B＝∠C，BE＝CF，∴△ABE≌△ECF（A．A．S）．∴AB＝EC．又∵AB＝CD，∴EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE．∵AD∥BC，∴∠CED＝∠ADE．∴∠CDE＝∠ADE．∴DE平分∠ADC．【考点】相似三角形的性质．【答案】（1）图象见解析；（2）90°；∠1＝∠FEC；BE＝CF；△ECF；AD∥BC．【分析】（1）利用尺规作图即可；（2）利用直角三角形性质和三角形全等的判定及性质即可求解．【解答】解：（1）作图如下：（2）90°；∠1＝∠FEC；BE＝CF；△ECF；AD∥BC．21．（10分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x＜100），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图年级平均数中位数众数方差七年级9296b28.6八年级92m9828根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝30，b＝96，m＝93；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【答案】（1）30，96，93；（2）答案见解析；（3）540人．【分析】（1）由题意，根据统计图求出a的值，结合众数和中位数的定义即可求出b和m的值；（2）根据平均数和众数进行比较即可；（3）分别求出两年级竞赛活动成绩优秀的人数，代入公式中即可求解．【解答】解：（1）已知七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96，其中成绩为96的出现的次数最多，所以众数为96，此时b＝96，因为八年级10名学生的竞赛成绩在C组中共有4组数据，占总数据的40%，所以a＝1﹣20﹣10﹣40＝30，因为八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，又A组中有2个学生，B组中有1个学生，所以m＝＝93；（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然两个年级的平均分相同，但是八年级的众数高于七年级；（3）易知七年级D组有6人，八年级D组有3人，所以参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数为1200×＝540（人）．22．（10分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．（1）请问A、B两种苗木各多少株？（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？【考点】根据实际问题选择函数类型．【答案】（1）A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵．（2）安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．【分析】（1）设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，列出方程组，求解即可．（2）设安排a人种植A苗木，则安排（350﹣a）人种植B苗木，列出方程求解即可．【解答】解：（1）学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．设A苗木的数量是x棵，则B苗木的数量是y棵，根据题意可得：，解得：，答：A苗木的数量是2400棵，B苗木的数量是3600棵．（2）设安排a人种植A苗木，则安排（350﹣a）人种植B苗木，根据题意可得：，解得，a＝100，经检验，a＝100是原方程的解，∴350﹣a＝250，答：安排100人种植A苗木，250人种植B苗木，才能确保同时完成任务．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，动点P从点A出发，沿着A→B→C运动，到点C时停止运动（动点P不与点A，C重合），设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出面积为3时x的值．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象的变换．【答案】（1）；（2）图象见解答；（3）2.5或7.5．【分析】（1）求得菱形的边长，讨论当0≤x≤5，5＜x≤10时，应用三角形的面积公式可得所求函数的解析式；（2）由分段函数的图象画法，可得图象，写出函数的最值即可；（3）由图象观察y＝3时的两个交点即可．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可得AC⊥BD，AB＝BC＝＝5，当0≤x≤5时，，当5＜x≤10时，．∴；（2）作图如下：性质：当0≤x≤10时，函数有最大值6；（3）当y＝3时，x＝2.5或7.5．24．（10分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．（1）求步道DE的长度．（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．（结果精确到个位）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）【考点】解三角形．【答案】（1）200米；（2）A→B→D这条路较近，理由请见解答．【分析】（1）过点D作DF⊥AE的延长线于点F，易证四边形ACDF为矩形，再在Rt△DFE中，由DE＝，得解；（2）先在Rt△ABC中，求出AB和BC的长，从而知AB+BD，再利用四边形ACDF为矩形，根据三角函数的知识，求得AE+ED，比较两者的大小，即可得解．【解答】解：（1）过点D作DF⊥AE的延长线于点F，如图所示，∵点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，∴AE⊥AC，DC⊥AC，∵DF⊥AF，∴∠EAC＝∠BCA＝∠DFE＝90°，∴四边形ACDF为矩形，∴DF＝AC＝170米，在Rt△DFE中，DE＝＝200米，∴步道DE的长度为200米．（2）A→B→D这条路较近，理由如下：∵∠EAB＝30°，∠EAC＝90°，∴∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，米，BC＝ACtan60°≈170×1.73＝294.1米，∴AB+BD＝340+100＝440米，∵四边形ACDF为矩形，∴AF＝CD＝BC+BD＝294.1+100＝394.1米，在Rt△DFE中，EF＝≈＝106.25米，∴AE＝AF﹣EF＝394.1﹣106.25＝287.85米，∴AE+ED＝287.85+200＝487.85≈488米＞440米，即AE+ED＞AB+BD，∴A→B→D这条路较近．25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P在直线AC上方且为抛物线对称轴左侧抛物线上一动点，过点P作х轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）先向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标．【考点】二次函数的性质与图象．【答案】（1）；（2）；（3）M（0，﹣10）．【分析】（1）由已知把点A，B的坐标代入可求a，b，进而可求函数解析式；（2）先求出直线AC的解析式，结合已知抛物线的解析式，联立方程可表示P，H，D的坐标，进而可表示PD+PH，然后结合二次函数的性质可求；（3）由已知结合已知平行四边形的对角线位置进行分类讨论，然后结合距离公式可求．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，∴代入得，解得a＝﹣，b＝，故函数解析式为：；（2）设经过A、C的直线解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：，∵抛物线解析式为，∴对称轴，设点，点，则．∴，即，∴当时，PD+PH有最大值为．将代入，得：．∴此时点；（3）平移后的抛物线解析式为，∴设M（0，m），，①当CN为对角线，如图，四边形ACM1N1为平行四边形，∴，∴N（﹣4，﹣7），∵AN1＝CM1，∴，即7＝3﹣m，∴m＝﹣4，即此时M（0，﹣4）；②当AC为对角线时，