2025-2026学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知数列{an}的前n项和公式为，则a4=（）A.9 B.10 C.11 D.122.若复数为纯虚数，则a=（）A.-4 B.-12 C.11 D.63.已知向量=（x,2，-1），=（1，1，1），且⊥，则x=（）A.-2 B.-1 C.0 D.14.曲线f（x）=x2+lnx在点（1，f（1））处的切线方程为（）A.y=3x-1 B.y=2x+1 C.y=2x-1 D.y=3x-25.若随机变量，则E（1-2X）=（）A.-5 B.-6 C.6 D.76.某数学建模活动小组为测量郑州市寿圣寺双塔塔尖之间的距离，构建了如图所示的几何模型（点M，N分别代表两座塔的塔尖位置）.若米，BC=50米，∠MCA=45°，∠NCB=60°，∠MCN=120°，则塔尖MN之间的距离为（）A.80米

B.120米

C.米

D.米

7.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.设抛物线与C在第一象限的交点为P，若，则C的离心率为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=e2x+m-ln（x+2）+2m-3，若f（x）≥0对任意x＞-2恒成立，则实数m的取值范围可能为（）A. B. C.（-∞，2] D.[2，+∞）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.为了解某款新型“智能手环”的销售状况，创新实践小组对该产品上半年的销售情况进行了调查，部分数据为：1月份销量1.0万件，2月份销量1.2万件，3月份销量1.4万件.已知第二季度销量比第一季度多0.6万件.设月份为x,销量为y（万件），经过回归计算得到线性回归方程为，则下列说法正确的有（）A.=0.95

B.该组数据的线性相关系数为0.1，故相关性很弱

C.根据回归方程，推测4月份销量为1.35万件

D.1月份销量的残差为0.0510.已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的有（）A.若P（A∪B）=P（A）+P（B），则事件A与事件B互为对立事件

B.若P（A|B）=P（B|A），则P（A）=P（B）

C.若P（A）=P（B），则

D.若．，，则11.声音的合成在音乐、信号处理中十分常见.纯音的数学模型是函数y=Asinωx,我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，记，则下列说法正确的有（）A.f2（x）的最小正周期为π

B.f2（x）在区间[0，2π]上恰有3个零点

C.fn（x）的图象关于点（2kπ，0）（k∈Z）中心对称

D.f3（x）的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.（3+2x）（1-x）3的展开式中x2的系数为

.13.已知圆M经过点C（0，3），D（4，1），且圆心在直线y=x上，则圆M的方程为

.14.在边长为4的菱形ABCD中，，沿对角线BD将△ABD折起得到三棱锥A'-BCD，若，则三棱锥A'-BCD外接球的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1=b1=3，a2+a4=2b2，a1a3=b3.

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）记数列{anbn}的前n项和为Sn，求满足Sn＜2026的最大正整数n.16.(本小题15分)

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长AB=2，侧棱AA1=6，点P在侧棱BB1上，且满足.

（1）是否存在实数μ，使得A1P⊥B1C？若存在，求出μ的值；若不存在，说明理由；

（2）当μ=2时，求平面PA1C1与平面PAC1所成的锐二面角的余弦值.17.(本小题15分)

已知椭圆C的焦距为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P（1，0），过点P的动直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N均不同于A，B），直线AM与BN交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出该定直线的方程.18.(本小题17分)

某学校举办书法比赛，共有n幅作品.评委首先按质量从高到低排序，最优者为第1名，次优者为第2名，…，最差者为第n名.一周后，评委遗忘之前排序，再次对这n幅作品按质量排序.设第一次排序中排名为i的作品在第二次排序中的名次为ai（a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列）.定义X=|1-a1|+|2-a2|+|3-a3|+…+|n-an|用以衡量两次排序的偏离程度.

（1）当n=3时，若评委两次排序完全随机（即所有排列等可能），求X的所有可能取值集合；

（2）取n=4，假设评委仅凭随机猜测排序，且各轮测试相互独立.

①求X的分布列与数学期望E（X）；

②若某评委在连续三轮测试中，每次都有X≤2，计算这一事件发生的概率.根据该概率，能否认为该评委具有较好的质量鉴别能力？请说明理由.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2+x+1（a∈R），h（x）=f（x）-g（x）.

（1）讨论h'（x）在（0，+∞）上的单调性；

（2）若任意x＞0都有h（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）已知数列{an}满足，其前n项和为Sn，利用（2）中的结论，证明：对任意正整数n,都有.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】CD

11.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】（x-2）2+（y-2）2=5

14.【答案】24π

15.【答案】an=3n，

4

16.【答案】存在，，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，

以O为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过点O作平行AA1的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意AB=2，AA1=6，则A（-1，0，0），B（1，0，0），，A1（-1，0，6），

，B1（1，0，6），设P（1，0，z），

由，，，

得，即，

所以，，

若A1P⊥B1C，则=，

得，满足，符合，

所以，存在，使得A1P⊥B1C

17.【答案】

证明：易知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，消去x并整理得（m2+4）y2+2my-3=0．

由韦达定理得，，

因为A（-2，0），B（2，0），

所以直线AM的方程为，①

同理得直线BN的方程为，②

联立①②，

解得，

因为x1=my1+1，x2=my2+1，

所以，

因为，，

所以，

即，

因为，

所以，

则点Q的横坐标为4，

故点Q在定直线x=4上

18.【答案】{0，2，4}

①X的分布列为X02468PE（X）=5．

②0.0046，该可能性非常小，根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生，

从而我们认为该评委具有较好的质量鉴别能力

19.【答案】当时，h′（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，h′（x）在（0，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单