2026-2027学年高二数学苏教版 第2章圆与方程（单元测试·拔尖卷）

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第2章圆与方程（举一反三单元测试·拔尖卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2026高二上·江苏南通·期中）圆x2+y2=4A．(x−2)2+(y−2)C．(x+2)2+(y+2)2．（5分）（2026高二上·山东·期中）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0m∈R关于直线x+2y+1=0对称，圆A．外离 B．外切 C．相交 D．内含3．（5分）（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆C:x2+y2+6x−4y+9=0,A是圆C上一动点，点B3,0A．x2+(y−1)C．x2+(y−1)4．（5分）（2026高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线x−y−5=0上，并且圆C经过圆x2+y2+6x−4=0与圆xA．12,−92 B．92,−5．（5分）（2026高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−2的最小值为（A．−23 B．−32 C．6．（5分）（2026高二上·江苏常州·期中）若直线l:m(x−4)+y=0与曲线x=4−y2有两个交点，则实数mA．(−∞,3C．(−33,−7．（5分）（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知P是直线l:x+y−1=0上一点，M，N分别是圆C1:x−12+y−82A．7 B．8 C．9 D．108．（5分）（2026高二上·江苏无锡·期中）已知圆C:x+22+y2A．直线l恒过定点−1,1B．直线l与圆C有三个交点C．当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1D．过直线l的平行线3x+4y−7m=0上一动点P作圆C的一条切线，切点为A，则PA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2026高二上·河南·阶段练习）已知圆M过点A1,3，B−2,4，且圆心M在x轴上，则下列说法正确的是（A．圆心M的坐标为−B．圆M的标准方程为x+C．圆M与y轴的交点坐标为0,±D．圆M上一点到点103,010．（6分）（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知圆O:x2+y2=4和圆M:xA．两圆有两条公切线B．直线AB的方程为y=2x+4C．线段AB的长为4D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为(11．（6分）（2026高二上·陕西商洛·期中）已知圆O:x2+y2=4，点PxA．直线l与圆O相交所得弦长是3B．y0xC．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1D．过点P向圆M:x−32+y−42=1第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2026高二上·江苏泰州·期中）已知圆O1:x2+y2=1，圆13．（5分）（2026高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数x,y满足x2+y2=4，则214．（5分）（2026高二上·湖北·阶段练习）若曲线y=2+1−x2与直线y=kx−1+4四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2026高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x(2)x2(3)x2(4)x216．（15分）（2026高二上·辽宁·期中）已知圆C1与x轴相切，圆心在直线2x−y=0上，且被直线3x−4y=0截得的弦长为23，圆(1)求C1(2)若C1与C2外切，求实数17．（15分）（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛42千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30∘方向距O岛4千米处，正沿着北偏东6018．（17分）（2026高二上·广西河池·阶段练习）已知圆C1:x(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；(2)已知过点0,1的直线l与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l19．（17分）（2026高二上·黑龙江鸡西·期中）平面直角坐标系xOy中，点P2,4，圆O:x2+y(1)求过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长；(2)求过点P与圆O相切的直线方程；(3)过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由.第2章圆与方程（举一反三单元测试·拔尖卷）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（5分）（2026高二上·江苏南通·期中）圆x2+y2=4A．(x−2)2+(y−2)C．(x+2)2+(y+2)【答案】B【解题思路】设对称圆的圆心(a,b)，解方程组a2【解答过程】圆O的圆心为O0,0，设对称圆的圆心为(a,b)依题意得a2−b又圆O的半径与对称圆的半径相等都为2，所以对称圆的方程为(x+2)2故选：B.2．（5分）（2026高二上·山东·期中）已知圆C1:x2+y2−2x+my+1=0m∈R关于直线x+2y+1=0对称，圆A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】B【解题思路】先将C1【解答过程】因为C1:x故C1的圆心为1,−m2，半径r而C2:(x+2)2+因为C1关于直线x+2y+1=0对称，所以直线x+2y+1=0经过圆心C故1+2×−m2+1=0，解得所以C1C2=r故选：B.3．（5分）（2026高二上·江苏盐城·阶段练习）已知圆C:x2+y2+6x−4y+9=0,A是圆C上一动点，点B3,0A．x2+(y−1)C．x2+(y−1)【答案】C【解题思路】令M(x,y)，由题设得A(2x−3,2y)，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程；【解答过程】解：设M(x,y)，∵M为线段AB的中点，B(3,0)，∴A(2x−3,2y)，而A是圆C上一动点，故(2x−3)2整理得：x2即x2故动点M的轨迹方程为x2故选:C.4．（5分）（2026高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线x−y−5=0上，并且圆C经过圆x2+y2+6x−4=0与圆xA．12,−92 B．92,−【答案】D【解题思路】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标.【解答过程】设圆x2+y2+6x−4=0与圆联立两圆方程，得x2+y2+6x−4=0不妨记A−1,3，B于是AB的中点为−72从而可得AB的垂直平分线方程为y−12=−联立x−y−5=0与x+y+3=0，得x−y−5=0x+y+3=0,解得即圆心坐标为1,−4．故选：D．5．（5分）（2026高二上·广东东莞·期中）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点Px,y是阴影部分（包括边界）的动点，则yx−2的最小值为（A．−23 B．−32 C．【答案】C【解题思路】转化为点P(x,y)与点2,0连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解.【解答过程】记A2,0，则k=yx−2故当直线AP与半圆x2+y−1设lAP:y=kx−2，则|−1−2k|k2即yx−2的最小值为−故选：C.6．（5分）（2026高二上·江苏常州·期中）若直线l:m(x−4)+y=0与曲线x=4−y2有两个交点，则实数mA．(−∞,3C．(−33,−【答案】D【解题思路】将曲线方程化为x2+y【解答过程】依题意，曲线的方程可化为：x2直线l:m(x−4)+y=0过定点(4,0)，直线与x2+y2=4(x≥0)直线l:m(x−4)+y=0过点B(0,2)时，k=2−0根据图形，结合对称性可得，直线l:m(x−4)+y=0与曲线x=4−实数m的取值范围是(−3故选：D.7．（5分）（2026高二上·江苏南京·阶段练习）已知P是直线l:x+y−1=0上一点，M，N分别是圆C1:x−12+y−82A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解题思路】结合点关于直线的对称可知PC1+【解答过程】圆C1:x−12+圆C2:x−52+因为1+8−1×5+5−1>0又圆心C11,8到直线l的距离圆心C25,5到直线l的距离则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，圆心C11,8关于直线l:x+y−1=0的对称点为则a+12+8+b2−1=0b−8a−1所以PC1+PC2=即PM+PN的最小值为故选：C．8．（5分）（2026高二上·江苏无锡·期中）已知圆C:x+22+y2A．直线l恒过定点−1,1B．直线l与圆C有三个交点C．当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1D．过直线l的平行线3x+4y−7m=0上一动点P作圆C的一条切线，切点为A，则PA【答案】C【解题思路】将直线l的方程化为mx+1+x+4y−1=0，由x+1=0x+4y−1=0可求出直线l所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可判断B选项；求出与直线l平行且距离为1的直线方程，并判断所求直线与圆的位置关系，可判断C选项；求出m的值，分析可知，当直线PC与直线3x+4y−7m=0【解答过程】对于A选项，直线l的方程可化为mx+1由x+1=0x+4y−1=0可得x=−1y=12，所以，直线对于B选项，因为−1+22+122所以，直线l与圆C有两个交点，B错；对于C选项，当m=1时，直线l的方程为x+2y=0，设与直线l平行且与直线l的距离为1的直线的方程为x+2y+c=0，由平行线间的距离公式可得c12+圆心为C−2,0，圆C的半径为r=2圆心C到直线x+2y+5=0的距离为圆心C到直线x+2y−5=0的距离为所以，直线x+2y+5=0、x+2y−5所以，当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1，C对；对于D选项，因为直线l与直线3x+4y−7m=0平行，则4m+1=3×44×即点P在直线3x+4y−14=0上，连接AC，则AC⊥PA，由勾股定理可得PA=当直线PC与直线3x+4y−14=0垂直时，PC取最小值，且PCmin=−6−14故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2026高二上·河南·阶段练习）已知圆M过点A1,3，B−2,4，且圆心M在x轴上，则下列说法正确的是（A．圆心M的坐标为−B．圆M的标准方程为x+C．圆M与y轴的交点坐标为0,±D．圆M上一点到点103,0【答案】ABD【解题思路】设圆心坐标为Mm,0，由题意可得m−12+9=(m+2)2+16，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令x=0，可得圆M与y轴的交点坐标判断C；求得圆心到【解答过程】设圆心坐标为Mm,0，由AM2=解得m=−53，故所以r2=m−12+9=令x=0得，y=±2303，故圆M与y圆心M到点|−53−103|=5的距离为，故圆故选：ABD.10．（6分）（2026高二上·四川成都·阶段练习）已知圆O:x2+y2=4和圆M:xA．两圆有两条公切线B．直线AB的方程为y=2x+4C．线段AB的长为4D．所有过点A、B的圆系的方程可以记为(【答案】AC【解题思路】由圆O与圆M的位置关系判断A；求出公共弦所在直线方程判断B；利用圆的弦长公式求出弦长判断C；判断方程是否过A、B两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆判断D.【解答过程】圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0)，半径r1对于A，|OM|=5∈(r1−对于B，圆O与圆M的方程相减得直线AB的方程：y=2x−4，B错误；对于C，圆心O到直线AB的距离d=41+4=对于D，当x2+y即该方程恒过A、B两点，方程化为x2而(−4λ因此方程(x但此圆系不包括圆M，D错误.故选：AC.11．（6分）（2026高二上·陕西商洛·期中）已知圆O:x2+y2=4，点PxA．直线l与圆O相交所得弦长是3B．y0xC．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1D．过点P向圆M:x−32+y−42=1【答案】CD【解题思路】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据y0【解答过程】

如图所示，由已知圆O:x2+y2A选项：圆心O到直线l:x−y+2=0的距离则弦长为2rB选项：y0x0−4可表示点易知当直线PN与圆O:x设斜率y0x0−4=k则−4kk2+所以y0x0C选项：d+r=3，r−d=1，所以圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1，正确；D选项：由圆M:x−32+y−42由切线长可知PA=所以当PM取得最小值时，PA取最小值，又PM≥OM−r=3−02所以PA的最小值为22故选：CD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）（2026高二上·江苏泰州·期中）已知圆O1:x2+y2=1，圆【答案】−4,4【解题思路】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有r2【解答过程】由O1:x由O2:x+3则O1因为圆O1与圆O2有公共点，所以即3≤a2+9所以实数a取值范围是−4,4.故答案为：−4,4.13．（5分）（2026高二上·山东青岛·阶段练习）已知实数x,y满足x2+y2=4，则2【答案】17【解题思路】根据题意，先将2(x−1)2+y2转化为(x−4)2+【解答过程】因为x2所以2=x则2x−1相当于圆x2+y2=4上的任一点P因为PA+PB≥AB，当P在线段AB与圆的交点所以所求最小值为AB=故答案为：17.14．（5分）（2026高二上·湖北·阶段练习）若曲线y=2+1−x2与直线y=kx−1+4【答案】3【解题思路】将曲线方程化为半圆方程，求直线定点为A1,4【解答过程】如图，化简曲线y=2+1−x2表示以C0,2∵直线y=kx−1+4经过定点A1,4半圆y=2+1−x2设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B−1,2当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足−2−k+41+解之得k=34，即又因为直线AB的斜率kAB所以直线的斜率k的范围为k∈3故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2026高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．(1)3x(2)x2(3)x2(4)x2【答案】(1)不是圆的方程(2)不是圆的方程(3)是圆的方程，圆心−12(4)当a=0时，不是圆的方程；当a≠0时，是圆的方程，圆心2a,3a，【解题思路】圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中x2,y2【解答过程】（1）由于x2（2）由于该二次方程中含有xy项，所以该二元二次方程表示的不是圆．（3）由于D2又由x2+y2+x+2y+1=0（4）D2当a=0时，D2当a≠0时，D2+E半径r=D16．（15分）（2026高二上·辽宁·期中）已知圆C1与x轴相切，圆心在直线2x−y=0上，且被直线3x−4y=0截得的弦长为23，圆(1)求C1(2)若C1与C2外切，求实数【答案】(1)x−12+(2)m=−1【解题思路】（1）设圆心C1a,2a，则C1的半径为2a，根据圆的几何关系可得出关于实数a的方程，求出（2）求出圆C2的圆心坐标和半径，对实数a的取值进行分类讨论，根据两圆外切可得出关于实数m的等式，即可解得实数m【解答过程】（1）解：根据题意，设圆心C1a,2a，则圆C1圆心C1到直线3x−4y=0的距离为d=由题意可得2a2−d2=3因此，圆C1的方程为x−12+（2）解：圆C2的标准方程为x+22+y+22则圆心C2−2,−2，半径为当a=1时，C11,2，根据题意，C1当a=−1时，则C1根据题意，C1C2综上所述，m=−1.17．（15分）（2026高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛42千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30∘方向距O岛4千米处，正沿着北偏东60【答案】(1)x(2)该船没有触礁的危险．【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解；（2）首先求船D行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性.【解答过程】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛42千米处，则点又B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处，则B(2,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2则F=042+所以圆C的方程为x2（2）因船D在O岛的南偏西30∘方向距O岛4千米处，则D(−2,−2而船D沿着北偏东60∘则船D的航线所在直线l的斜率为33，直线l的方程为x−由（1）知，圆C的圆心为C(1,3)，半径r=10则圆心C到直线l的距离d=|1−33−4|所以该船没有触礁的危险．18．（17分）（2026高二上·广西河池·阶段练习）已知圆C1:x(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；(2)已知过点0,1的直线l与圆C1交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l【答案】(1)证明见解析，12(2)1−2或1+【解题思路】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长.（2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线y=kx+1，代入圆C1的方程，根据韦达定理得到