小学四年级数学上册乘除法应用知识清单

小学四年级数学上册乘除法应用知识清单一、乘除法的意义与各部分关系【基础】【必考点】（一）乘法的意义及各部分名称1、乘法的定义：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。【理解】例如：求4个12相加是多少，可以写成12×4，而不能写成12+12+12+12。2、各部分名称：在乘法算式如12×4=48中，中间的“×”是乘号。12是要相加的数，叫做“因数”；4是相同加数的个数，也叫做“因数”；计算得到的结果48叫做“积”。【记忆】因数×因数=积。（二）除法的意义及各部分名称1、除法的定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。【核心】除法是乘法的逆运算。例如：已知两个数的积是48，其中一个因数是12，求另一个因数，就用除法48÷12。2、各部分名称：在除法算式如48÷12=4中，中间的“÷”是除号。48是已知的积，叫做“被除数”；12是已知的一个因数，叫做“除数”；求得的结果4叫做“商”。【记忆】被除数÷除数=商。3、除法中的特殊情况：（1）0不能作除数。【难点】这是因为如果除数为0，商不存在（如5÷0无意义）或不确定（如0÷0结果任意），所以数学中规定0不能作除数。（2）0除以任何非0的数都得0。例如：0÷5=0。（3）一个数除以1还得原数。例如：8÷1=8。（4）一个数除以它本身（0除外）得1。例如：7÷7=1。（三）乘、除法各部分间的关系【高频考点】【解题基础】这是解方程和验算的依据，必须熟练掌握并能灵活运用。1、乘法各部分的关系：（1）一个因数=积÷另一个因数（2）因数×因数=积2、除法各部分的关系：（1）被除数=商×除数（2）除数=被除数÷商（3）在有余数的除法里：被除数=商×除数+余数；除数=(被除数余数)÷商；商=(被除数余数)÷除数；余数=被除数商×除数。3、应用举例：【典例】已知（△+□）×0.3=12，且□÷0.2=50，求△的值。【思路】根据除法关系，由□÷0.2=50可得，□=50×0.2=10。将□=10代入第一个算式，得（△+10）×0.3=12，将（△+10）看成一个因数，根据乘法关系，因数=积÷另一个因数，所以△+10=12÷0.3=40，再根据加法关系，△=4010=30。二、乘除法运算中的基本定律与性质【技巧】【简算核心】（一）乘法运算定律【必须掌握】1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母表示为：a×b=b×a。【应用】在计算25×73×4时，可交换73和4的位置，变成25×4×73，计算更简便。2、乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为：(a×b)×c=a×(b×c)。【应用】计算25×125×8时，可以先算125×8=1000，再算25×1000=25000。3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为：(a+b)×c=a×c+b×c。【难点与重点】其逆运算为：a×c+b×c=(a+b)×c。【典型应用】计算102×45，可以将102拆成100+2，利用分配律：(100+2)×45=100×45+2×45=4500+90=4590。【典型应用】计算99×56+56，可以看成99个56加1个56，逆用分配律：56×(99+1)=56×100=5600。（二）除法运算性质【易错点】1、除法的基本性质：一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。用字母表示为：a÷b÷c=a÷(b×c)（b、c不为0）。【应用】计算3200÷25÷4，可以变成3200÷(25×4)=3200÷100=32。2、在连除运算中，可以交换除数的位置，商不变。即：a÷b÷c=a÷c÷b（b、c不为0）。3、一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数。用字母表示为：a÷(b÷c)=a÷b×c（b、c不为0，且b÷c有意义）。【典例】计算200÷(25÷4)，去括号后，因为括号前是除号，括号内是除号，去括号要变号，原式=200÷25×4=8×4=32。4、两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在能整除的情况下），再求两个商的和（或差）。即：(a+b)÷c=a÷c+b÷c；(ab)÷c=a÷cb÷c（c不为0）。三、常见的数量关系模型【应用核心】【高频考点】这部分是将乘除法知识应用于解决实际问题的关键，需要理解并熟记每组数量关系。（一）价格问题1、基本量定义：（1）单价：每件商品的价格。（单位：元/件、元/千克等）（2）数量：购买商品的件数（或千克数等）。（3）总价：一共花的钱数。2、核心数量关系：（1）求总价：单价×数量=总价【重要】（2）求单价：总价÷数量=单价【重要】（3）求数量：总价÷单价=数量【重要】3、【典型例题】李老师带了500元去体育用品店，他买了5个同样的足球后，还剩55元。每个足球多少钱？【解题步骤】第一步：先求出买足球总共花了多少钱。总价=带的钱剩下的钱=50055=445（元）。第二步：已知数量是5个，总价是445元，求单价。根据“总价÷数量=单价”，列式：445÷5=89（元）。答：每个足球89元。（二）行程问题1、基本量定义：（1）速度：单位时间内所行的路程。（单位：千米/时、米/分等，读作“千米每小时”，“米每分钟”）（2）时间：行驶的时间。（3）路程：一共行驶了多长的距离。2、核心数量关系：（1）求路程：速度×时间=路程【重要】（2）求速度：路程÷时间=速度【重要】（3）求时间：路程÷速度=时间【重要】3、【典型例题】一列高铁从甲地开往乙地，它的速度是320千米/时，行驶了4小时后，离乙地还有150千米。甲乙两地之间的铁路长多少千米？【解题步骤】第一步：先求出高铁4小时行驶的路程。根据“速度×时间=路程”，列式：320×4=1280（千米）。第二步：行驶的路程加上剩下的路程，就是总路程。列式：1280+150=1430（千米）。答：甲乙两地之间的铁路长1430千米。（三）工程问题1、基本量定义：（1）工作效率：单位时间内完成的工作量。（如：每天修路米数、每分钟打字个数等）（2）工作时间：做这项工作所用的时间。（3）工作总量：一共完成的工作量。2、核心数量关系：（1）求工作总量：工作效率×工作时间=工作总量【重要】（2）求工作效率：工作总量÷工作时间=工作效率【重要】（3）求工作时间：工作总量÷工作效率=工作时间【重要】3、【典型例题】王师傅要加工900个零件，他前3小时加工了180个。照这样计算，剩下的零件还需要多少小时才能加工完？【解题步骤】第一步：先求出王师傅的工作效率（每小时加工个数）。根据“工作总量÷工作时间=工作效率”，列式：180÷3=60（个/时）。第二步：求出剩下的工作总量。=720（个）。第三步：求剩下工作时间。根据“工作总量÷工作效率=工作时间”，列式：720÷60=12（小时）。答：剩下的零件还需要12小时。四、乘除法应用题的七大类型与解题策略【难点】【拉分题】四年级乘除法应用题不再是简单的套用公式，而是需要综合分析题意。（一）归一问题1、【题型特征】题目中往往有“照这样计算”、“同样多”等关键词，需要先求出“单一量”（即单位数量，如1小时、1千克、1米的量）。2、【解题步骤】先用除法求出单一量，再用乘法或除法求出所求的总量或份数。3、【典例】3头奶牛5天产奶300千克。照这样计算，8头奶牛7天可以产奶多少千克？【思路】先求“单一量”，即1头奶牛1天产奶量。300÷3÷5=20（千克）。再求8头奶牛7天的产奶量：20×8×7=1120（千克）。（二）归总问题1、【题型特征】题目中总量不变，需要先求出“总量”，再根据新的条件求单一量或份数。2、【解题步骤】先用乘法求出总量，再用除法求出新的单一量或新的份数。3、【典例】修一条水渠，原计划每天修80米，30天修完。结果实际每天比原计划多修20米，实际用多少天修完？【思路】先求总量：80×30=2400（米）。再求实际每天修的米数：80+20=100（米）。最后求实际天数：2400÷100=24（天）。（三）相遇问题（初步感知）1、【题型特征】两个物体从两地同时出发，相向而行，求相遇时间或两地距离。2、【核心公式】路程和=速度和×相遇时间；相遇时间=路程和÷速度和；速度和=路程和÷相遇时间。3、【典例】A、B两地相距840千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，客车的速度是80千米/时，货车的速度是60千米/时。几小时后两车相遇？【思路】求相遇时间，用路程和除以速度和。速度和：80+60=140（千米/时）。相遇时间：840÷140=6（小时）。（四）倍比问题1、【题型特征】题目中给出两个相关联的量，其中一个量扩大或缩小，另一个量也跟着变化，且倍数关系明确。2、【解题策略】先求出题目中的倍数关系，再用这个倍数去求解。3、【典例】一辆汽车3小时行驶240千米，照这样的速度，行驶400千米需要多少小时？【思路一（归一）】先求1小时速度：240÷3=80（千米），再求时间：400÷80=5（小时）。【思路二（倍比）】400千米是240千米的几倍？400÷240=5/3倍，那么时间也应该是3小时的5/3倍，即3×(5/3)=5（小时）。（五）植树问题（一端、两端、封闭）【拓展】虽然课本未系统讲解，但乘除法在解决此类问题中应用广泛。1、两端都栽：棵树=间隔数+1；间隔数=棵树1；总长=间隔长×间隔数。2、两端不栽：棵树=间隔数1。3、一端栽一端不栽（或封闭图形）：棵树=间隔数；总长=间隔长×棵树。4、【典例】在一条长400米的公路一侧安装路灯（两端都装），每隔50米装一盏。一共要装多少盏？【思路】先求间隔数：400÷50=8（个）。两端都装，盏数比间隔数多1，所以盏数：8+1=9（盏）。（六）优化问题（运筹思想初步）【素养】1、【题型特征】在多种方案中选择最合理（最省钱、最省时）的方案，常涉及租车、租船问题。2、【解题策略】先计算各种方案的人均单价，优先选择人均单价低的方案，再考虑剩余人数进行调整，尽量不出现空位。3、【典例】有32名同学去公园划船，大船每条限乘6人，租金30元；小船每条限乘4人，租金24元。怎样租船最省钱？【思路】大船人均：30÷6=5（元）；小船人均：24÷4=6（元）。大船便宜，尽量租大船。32÷6=5（条）……2（人），方案一：租5大1小，租金5×30+24=174元，但小船有2个空位。调整：减少1条大船，增加2条小船，即4大船：4×6=24人，剩余8人租2小船正好。租金：4×30+2×24=120+48=168（元）。168<174，所以租4条大船、2条小船最省钱。（七）用估算解决问题【易错点】【生活应用】1、【题型特征】题目中出现“大约”、“估一估”、“够不够”、“能否”等词语时，需要使用估算。2、【估算策略】不能机械使用“四舍五入”法，要根据实际情况选择“估大”或“估小”。（1）判断“够不够”时：如果准备的钱要买商品，通常“估大”计算。如果估大了都够，那肯定够；如果估小了都不够，那肯定不够。（2）求“大约能装多少”时，通常“估小”或“四舍五入”，但遇到用容器装物品（如用箱子装苹果），求需要几个容器时，最后要用“进一法”。因为剩下的东西也需要一个容器。（3）求“最多能买多少”时，最后要用“去尾法”。因为剩下的钱不够再买一个。3、【典例：进一法】有248罐蜂蜜，每30罐装一箱，需要多少个箱子？【非常重要】【错解】248÷30≈8（个）。（错误原因：剩下的8罐也需要一个箱子）【正解】248÷30=8（个）……8（罐），因为剩下的8罐也需要一个箱子，所以需要8+1=9（个）箱子。4、【典例：去尾法】王老师带500元，买了一个82元的篮球后，用剩下的钱买单价58元的排球，最多能买几个？【思路】剩下：50082=418（元），418÷58≈7.2，但0.2个排球买不到，所以最多能买7个。五、积与商的变化规律【拓展考点】【难点辨析】（一）积的变化规律（乘法）【高频】1、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个非0的数，积也乘（或除以）这个数。【例】A×B=80，如果A不变，B乘3，则新的积是80×3=240。2、一个因数乘m，另一个因数乘n，积就乘m×n。【例】A×B=80，如果A乘2，B乘5，则新的积是80×(2×5)=800。3、一个因数乘m，另一个因数除以n（n不为0），积就乘m再除以n。【例】A×B=80，如果A乘4，B除以2，则新的积是80×4÷2=160。（二）商的变化规律（除法）【重中之重】1、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。但余数会变。【核心】【例】如果被除数和除数都乘10，商不变，但余数要乘10。如：13÷4=3……1，则130÷40=3……10。2、除数不变，被除数乘或除以几（0除外），商也乘或除以几。【例】两个数相除商是8，如果除数不变，被除数乘4，则新的商是8×4=32。3、被除数不变，除数乘或除以几（0除外），商反而除以或乘几。【难点】【例】两个数相除商是8，如果被除数不变，除数乘4，则新的商是8÷4=2。六、简便运算的四大核心技巧【技能】【提速关键】（一）带着符号搬家1、适用：同级运算（只有加减或只有乘除）。2、原则：数字要带着它前面的符号一起移动位置。3、【例】25×23×4=25×4×23=100×23=2300。4、【例】5400÷25÷54=5400÷54÷25=100÷25=4。（二）加括号与去括号1、加括号：如果括号前面是乘号，括号里面不变号；如果括号前面是除号，括号里面要变号（乘变除，除变乘）。2、去括号：如果括号前面是乘号，直接去掉括号，里面不变号；如果括号前面是除号，去掉括号后，里面要变号。3、【例】3200÷25÷4=3200÷(25×4)=3200÷100=32。（加括号，除号变乘号）4、【例】200÷(25÷4)=200÷25×4=8×4=32。（去括号，括号前是除号，里面除号变乘号）（三）拆数凑整1、原理：利用25×4=100，125×8=1000，以及乘法分配律，将数拆成和或差的形式。2、【例】25×32=25×(4×8)=(25×4)×8=100×8=800。（拆成积的形式，用乘法结合律）3、【例】102×36=(100+2)×36=100×36+2×36=3600+72=3672。（拆成和的形式，用乘法分配律）4、【例】99×87=(1001)×87=100×871×87==8613。（拆成差的形式，用乘法分配律）（四）找倍数拆分1、适用：除数是两位数的除法，利用商不变规律，将被除数和除数同时扩大或缩小相同倍数，使其变成能口算的除法。2、【例】360÷45=(360÷9)÷(45÷9)？此法不妥，正确的简便方法是：360÷45=(360×2)÷(45×2)=720÷90=8。或者360÷45=360÷(9×5)=360÷9÷5=40÷5=8。3、【例】700÷25=(700×4)÷(25×4)=2800÷100=28。七、高频错题与难点剖析（一）对“0”的运算理解不清1、【典型错例】判断：0除以任何数都得0。（√）【错因】忽略了“任何数”包括0，而0不能作除数。【正确】0除以任何非0的数都得0。（二）有余数除法中，商不变规律的应用1、【典型错例】因为57÷6=9……3，所以570÷60=9……3。（√）【错因】没有理解被除数和除数同时乘10，商不变，但余数也要乘10。【正确】570÷60=9……30。（三）估算中的“进一法”与“去尾法”混淆1、【典型错例】有218个轮胎，每辆车安装4个轮胎，最多能安装多少辆车？218÷4≈50（辆）（用四舍五入法）【错因】此题需要用“去尾法”。安装54辆车需要216个轮胎，剩下的2个不够再装一辆。【正确】218÷4=54（辆）……2（个），最多能安装54辆车。（四）乘法分配律与结合律混淆1、【典型错例】计算(8×25)×4=8×4+25×4=32+100=132。【错因】混淆了结合律和分配律。(8×25)×4应该用结合