小学三年级数学上册“里程表（二）”-解决起点非0的里程问题教学设计

  小学三年级数学上册“里程表（二）”——解决起点非0的里程问题教学设计

  一、课程整体设计与分析

  （一）课程标准关联分析

  本节课内容深度契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》在小学第二学段（3-4年级）的核心要求。在“数与代数”领域，明确要求学生能够“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。本课所探讨的“里程表”问题，本质是“路程”这一数量关系在现实生活中的一种复杂变式应用，它超越了简单的“终点-起点”模型，涉及对一段连续变化量的读取、理解与计算。在“核心素养”导向下，本节课着重发展学生的“数感”、“符号意识”、“模型意识”和“应用意识”。学生需要从动态变化的里程表读数中抽象出数量关系，建立“当天里程=当天读数-前一天读数”或“某段里程=后点读数-前点读数”的数学模型，并能够灵活运用模型解决变式问题。同时，这一过程紧密联系学生的现实生活（出行、旅行、导航），是培养学生数学应用意识和数据分析观念的绝佳载体。

  （二）教材体系定位与内容解析

  本课选自北师大版小学数学三年级上册第三单元“加与减”中的综合应用部分。在本单元前序学习中，学生已经掌握了三位数的连加、连减、加减混合运算及其验算方法，具备了解决多步计算问题的运算技能基础。“里程表（一）”初步接触了里程表概念，但情境通常是“起点为0”的简单情境，即里程表读数直接表示从起点出发累计的里程。而“里程表（二）”的核心挑战与进阶点在于“起点非0”，即里程表本身有一个初始读数（如出租车上的里程表），其读数记录的是车辆行驶的总里程，而非单次行程的里程。因此，计算某一段具体行程（如星期一）的行驶里程，不能直接读取表显数字，而需要用当天的结束读数减去当天的起始读数（即前一天的结束读数）。这是对学生已有减法认知的一次重要深化，要求他们理解“读数”与“变化量”之间的区别与联系，实现从静态数值计算到动态数量关系分析的思维跃迁。本课承上启下，既是对三位数减法运算的巩固与综合应用，也为后续学习更复杂的数量关系、统计图表（如折线图表示变化）以及解决更复杂的实际问题奠定了坚实的思维基础。

  （三）学情精准诊断

  三年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知特点表现为：一方面，对生动、具体、贴近生活的情境有浓厚兴趣，能借助直观工具（如线段图、数轴）辅助思考；另一方面，初步具备从具体情境中抽象出数学信息、提出数学问题的能力，但建立和运用数学模型仍需要支架引导。

  优势分析：学生已熟练掌握三位数的减法计算，能够理解“里程”的基本概念。在“里程表（一）”的学习中，已初步形成“里程是两点之间的距离”这一空间观念，并体验过通过减法求距离的方法。部分学生已有乘坐出租车或观察家庭汽车里程表的日常生活经验。

  难点与障碍预判：1.概念理解障碍：难以区分“里程表读数”（一个不断累积的总量）与“某段时间行驶的里程”（一个阶段性的变化量）这两个核心概念。容易误将某天的读数直接当作该天的行驶里程。2.模型建构障碍：从“起点为0”到“起点非0”的思维转换存在困难。理解“为什么求星期一的里程要用星期一晚上的读数减去星期一早上（即星期日晚上）的读数”这一逻辑是教学的关键点。3.信息处理障碍：面对以表格形式呈现的多日读数数据，部分学生可能感到信息繁杂，不知如何筛选和组合有效信息来解决问题。4.语言转化障碍：将“哪一天行驶的里程最多”等问题，转化为“计算相邻两日读数的差，再比较这些差的大小”这一系列操作步骤，存在思维跨度。

  （四）学习目标拟定

  基于以上分析，确立以下多维学习目标：

  1.知识与技能目标：结合“汽车里程表”的现实情境，理解“里程表读数”与“实际行驶里程”的区别与联系。掌握解决“起点非0”的里程表问题的基本方法，即“某段里程=后点读数-前点读数”，并能熟练运用三位数减法进行计算。

  2.过程与方法目标：经历“阅读表格—提出问题—分析关系—列式计算—验证反思”的完整问题解决过程。通过绘制线段图或数线图，将抽象的表格数据可视化，直观建构数量关系模型，发展几何直观能力。在比较不同日期间行驶里程的过程中，初步渗透数据分析方法。

  3.情感、态度与价值观目标：在解决真实里程表问题的过程中，深刻感受数学与生活的紧密联系，体会数学的工具价值。通过克服“起点非0”的认知挑战，获得运用数学思维解决复杂问题的成就感，增强学习数学的自信心和兴趣。在小组交流中，培养有条理地表达思考过程的能力和倾听他人意见的习惯。

  （五）教学重难点研判

  教学重点：理解非零起点里程表中“读数”与“行程里程”的区别，掌握“当（段）日里程=当日（末）读数-前日（末）读数”的数量关系模型，并能正确计算。

  教学难点：从具体情境中抽象出“用相邻两天的读数差表示一天里程”的数学模型。灵活运用该模型解决诸如“比较哪一天行驶得多”、“求连续几天的总里程”等变式问题。

  （六）教学资源与环境准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件，包含动态演示的出租车里程表动画、标准的问题情境图、清晰的读数表格、分步呈现的线段图构建过程。实物投影仪，用于展示学生作品。

  2.学生准备：数学课本、练习本、直尺、彩色笔。课前可进行简单的家庭小调查：询问家长汽车里程表的作用或记录一次出租车行程的起止读数（如有可能）。

  3.学习环境：教室桌椅按四人或六人合作小组形式摆放，便于开展讨论与探究活动。准备小组探究记录单。

  二、教学实施过程详案

  （一）创设情境，激趣引疑——从生活原型到数学问题（预计用时：8分钟）

  师：（播放一段约1分钟的短视频，画面展示一辆出租车在城市中行驶，车内仪表盘上的里程表数字随着车辆移动而逐渐增加，最后乘客下车，司机重置计费器，但里程表读数并未归零）同学们，视频中你们注意到了哪个仪表？它的数字有什么特点？

  生：里程表！上面的数字一直在变大，下车付钱时好像有个东西清零了，但里程表的数字没变。

  师：观察得非常仔细！出租车有个计费器，行程结束会清零，方便计算本次车费。而里程表，就像汽车的“终身运动鞋”，它记录的是这辆车从出厂到现在一共跑过的总路程，一般不会轻易归零。今天，我们就来研究这个藏着很多数学秘密的“里程表”。

  （课件出示教材主题情境图，或改编的更贴近本地的情境：李叔叔是一位长途货运司机，他的货车里程表记录了上周每天晚上收车时的读数。表格如下：）

  星期一：135千米

  星期二：254千米

  星期三：378千米

  星期四：516千米

  星期五：645千米

  星期六：798千米

  星期日：954千米

  师：这是李叔叔货车一周的里程表读数记录。请注意，表格里的数字是“每天晚上收车时”里程表显示的数字。看到这些数据，你的小脑瓜里冒出了哪些数学问题呢？请和同桌小声交流一下。

  （学生交流，教师巡视聆听，捕捉学生提出的有价值的问题。）

  生1：李叔叔星期一行驶了多少千米？

  生2：星期二跑了多少？

  生3：哪一天跑的路最多？

  生4：这一周他一共跑了多少千米？

  师：大家提的问题都非常棒！这些问题可以归结为两类：一类是求“某一天”行驶了多少千米（如生1、生2的问题），另一类是进行“比较”和“求和”（如生3、生4的问题）。要解决这些问题，我们首先得弄明白，表格里这些“读数”究竟是什么意思？它能直接告诉我们“一天跑了多少”吗？

  （此环节设计意图：通过动态视频和贴近生活的情境创设，瞬间激活学生的已有经验，引发认知冲突——清零的计费器与不清零的里程表。出示原始数据表格后，不急于讲解方法，而是将提问权交给学生，培养他们从现实素材中发现和提出问题的能力，这是问题解决的起点。同时，教师有意识地将学生问题进行分类，为后续展开探究理清逻辑脉络。）

  （二）合作探究，建模明理——从感性认知到理性建构（预计用时：22分钟）

  1.聚焦核心，初探关系。

  师：我们先来攻克第一个问题：星期一行驶了多少千米？表格里写着星期一“135千米”，能直接说星期一行驶了135千米吗？为什么？

  生：不能！因为135是星期一晚上里程表显示的数，是这辆车从买来到星期一晚上一共跑的路，不是光星期一一天跑的。

  师：说得太清楚了！那星期一这一天，里程表是从多少开始变的，变到多少结束的呢？我们需要知道什么信息才能算出星期一的里程？

  生：需要知道星期一早上里程表是多少，晚上是多少。

  师：表格给了星期一晚上是135千米。星期一早上里程表应该是多少呢？请大家结合生活经验，在小组内推理一下。

  （小组讨论，教师深入小组指导。关键引导：星期一早上，车是停了一夜刚启动，那么启动时里程表的读数，应该就是前一天晚上——星期日晚上停车时的读数。）

  生汇报：星期一早上里程表的读数，就是星期日晚上收车时的读数。可是…表格里没有星期日的数据啊？

  （制造认知冲突，促使学生深入思考表格数据的连贯性。）

  师：这是一个关键发现！表格从星期一开始，我们不知道星期日晚上的读数。那么，我们是否就无法计算星期一的里程了呢？让我们换个思路。如果，我是说如果，李叔叔上个星期日晚上收车时，里程表刚好是“0”千米，那么星期一行驶了多少？

  生：那就简单了，就是135-0=135千米。

  师：但现实情况是，里程表不可能刚好是0。不过，我们可以把“星期日晚上收车时的读数”看作一个数，虽然不知道具体是多少，但我们可以用一个符号来表示它。在数学上，我们常常用线段图来帮助理解这种关系。

  2.借助直观，建构模型。

  （教师课件动态演示线段图的绘制过程。）

  师：我们用一条线段来表示这辆货车从出厂到星期日晚上跑的总路程，长度未知，标上“？千米”。（画一条线段，起点标“出厂”，终点标“星期日晚上”，上方写“？千米”）

  从星期日晚上到星期一晚上，车子又跑了一段路，就是星期一的里程。（接着原线段向右延长一段，新端点标“星期一晚上”，在新线段上方标“星期一行驶？千米”，整段线段的终点读数标“135千米”）。

  现在，从图上能清楚地看出：从出厂到星期一晚上的总路程（135千米），等于从出厂到星期日晚上的路程（？千米），加上星期一行驶的路程（？千米）。要求星期一行驶的路程，该怎么办？

  生：用135减去星期日晚上那个不知道的数。

  师：精辟！虽然我们不知道星期日晚上具体的读数，但如果我们能知道星期一早上（也就是星期日晚上）的读数，哪怕它是个具体的数而不是0，我们也能用“星期一晚上读数减去星期一早上读数”来得到星期一的里程，对吗？

  生：对！

  师：现在请大家看回完整的表格。表格里虽然没有“星期日晚上”的单独数据，但它其实是隐含在“一周记录”这个情境中的。为了能让我们算出每天的里程，我们通常需要一个“起始点”。现在，请大家以小组为单位，打开你们的探究记录单。记录单上假设了一个“起始读数”：上星期日晚上，里程表读数是“45千米”。请大家根据这个补充信息，先独立尝试计算星期一、星期二分别行驶了多少千米，并思考你是怎样算的。完成后在组内交流你们的算法和道理。

  （学生小组活动，教师巡视，重点关注学生是否是用“当天读数减前一天的读数”来计算。选取典型算法上台展示。）

  生1展示（算法正确但表述不清）：星期一：135-45=90（千米）。星期二：254-135=119（千米）。

  师：能告诉大家，算式中的“135”和“45”分别代表什么吗？

  生1：135是星期一晚上的，45是星期一早上…也就是星期日晚上的。

  师：非常好！那么计算星期二的里程时，为什么是用254减去135，而不是减去45呢？

  生1：因为星期二是从星期二早上开始跑的，星期二早上里程表就是星期一晚上的135千米。

  师：真是了不起的发现！也就是说，求某一天的里程，我们需要找到两个关键读数：这一天结束时的读数和这一天开始时的读数。而这一天开始时的读数，就是——？

  全班（齐声）：前一天的读数！

  3.抽象概括，形成模型。

  师：（板书核心关系式）我们可以把这个发现总结成一个通用的公式：

  某一天行驶的里程=当天晚上的读数-前一天晚上的读数。

  请大家齐读一遍。现在，请运用这个模型，独立完成记录单上星期三到星期六的每日里程计算。

  （学生计算，教师板书关键算式：星期三：378-254=124（千米）；星期四：516-378=138（千米）；星期五：645-516=129（千米）；星期六：798-645=153（千米）。）

  师：算完以后，请快速回答：要求星期日的里程，需要什么信息？

  生：需要星期日晚上的读数和星期六晚上的读数。表格里有星期日晚上是954千米，星期六晚上是798千米，所以星期日行驶了954-798=156（千米）。

  师：完全正确。看来大家都已经掌握了解决这类问题的“金钥匙”——找准“当天读数”和“前一天读数”，用减法求出变化量。

  （此环节设计意图：这是本节课的核心与高潮。通过“能否直接读数”的质疑引发深层思考，利用“如果起点是0”的假设进行铺垫，再巧妙地引入线段图这一几何直观工具，将抽象的“总量”与“部分量”关系可视化，有效突破了学生理解上的难点。小组探究活动为学生提供了“做数学”的机会，让他们在尝试、交流、修正中自主建构“后减前”的数学模型。教师的引导层层递进，从具体数字计算到抽象关系概括，最终让学生自己“发现”并总结出核心数量关系，实现了从感性到理性、从具体到抽象的思维建构。）

  （三）变式应用，拓展深化——从模型固化到灵活迁移（预计用时：15分钟）

  1.基础巩固，内化方法。

  师：掌握了新本领，让我们来小试牛刀。（课件出示变式练习一：王叔叔的出租车里程表读数如下，求每天行驶的里程。表格起始点为星期一早上读数：278千米。星期一晚上：356千米；星期二晚上：431千米；星期三晚上：510千米。）

  学生独立完成，指名板演。重点反馈：起始的“278千米”是星期一早上的读数，用于计算星期一的里程（356-278）。后续计算则严格遵循模型。

  2.综合应用，解决问题。

  师：现在，我们可以解决刚才大家提出的其他问题了。（返回主情境图，数据已补充星期日晚上为45千米的假设）请独立解决：(1)李叔叔哪一天行驶的里程最多？(2)李叔叔这一周（周一到周日）一共行驶了多少千米？

  对于问题(1)，学生有两种常见策略：一是先分别算出每日里程（之前已算好），再直接比较大小；二是观察相邻两日读数差的变化趋势，初步感知。鼓励学生用第一种方法验证，并得出结论：星期六行驶的里程最多（153千米）。

  对于问题(2)，学生也可能有两种思路：一是将七天的每日里程相加（90+119+124+138+129+153+156）；二是直接用星期日晚上总读数954千米减去上周日晚上起始读数45千米。引导学生对比两种方法，发现第二种方法更为简洁，并理解其道理：总里程就是最终读数与初始读数的差。这实际上是对“里程差”模型在更大时间尺度上的应用，进一步深化了学生对模型本质的理解——任何一段里程，都等于终点读数与起点读数之差，无论中间经过多少天。

  3.开放拓展，联系实际。

  师：（课件出示一张局部残缺的里程表记录单和一幅简易地图）这是张阿姨自驾游的部分记录。地图上标明了A城、B城、C城。记录单上写着：出发时（A城）里程表读数：12450千米。到达B城时：12680千米。到达C城时：12830千米。问题：（1）从A城到B城大约多少千米？（2）从B城到C城呢？（3）你还能提出什么数学问题？

  此题将情境从“时间序列”拓展到“空间序列”，进一步检验学生对“两点之间里程=后点读数-前点读数”模型的迁移能力。同时，开放式的提问鼓励学生提出如“A到C的总里程”、“B到C比A到B近多少”等问题，培养思维的灵活性和创造性。

  （此环节设计意图：练习设计遵循“循序渐进、螺旋上升”的原则。从模仿巩固到综合应用，再到开放拓展，层层深入。不仅巩固了“当天里程”的基本模型，还通过求“一周总里程”巧妙引出“总差”模型，实现了知识的整合与贯通。将问题情境从“时间维度”迁移到“空间维度”，打破了学生的思维定势，促进了数学模型在不同情境下的灵活应用，真正培养了学生的解决问题能力和应用意识。）

  （四）总结反思，评价提升——从知识获取到素养内化（预计用时：5分钟）

  师：同学们，这节课我们共同探索了关于里程表的数学奥秘。回顾一下，你收获了哪些“宝藏”？

  引导学生从知识、方法、体验三个层面进行总结：

  知识层面：明白了里程表读数代表累计总路程，要求某段路程需要用减法。

  方法层面：学会了解决“起点非0”里程表问题的关键方法：某段里程=后一个读数-前一个读数。还学会了用线段图帮忙分析数量关系。

  体验层面：感受到了数学在生活中真的很有用，遇到复杂问题只要找准关系，就能一步步解决。

  师：总结得非常到位！数学就像一把万能钥匙，能打开生活中许多问题的锁。这把“钥匙”就是我们从具体问题中抽象出来的数量关系模型。今天，我们拿到了“里程表问题”这把钥匙。请大家完成今天的“分层挑战”作业，看看谁能把钥匙用得最熟练！

  （布置分层作业，详见下文。）

  （此环节设计意图：引导学生进行自主课堂小结，将零散的知识点系统化、结构化为方法模型和学习体验。通过回顾学习过程，强化成功体验，提升数学学习的自我效能感。教师的总结提升，将具体知识方法上升到“数学模型”这一数学思想层面，体现了高阶思维的培养。）

  三、教学评价设计与作业规划

  （一）过程性评价设计

  1.课堂观察评价：教师通过巡视、聆听小组讨论、提问互动，实时评估学生参与度、思维状态、合作交流能力以及对核心概念的理解程度。重点关注学生在探究环节中能否主动运用线段图辅助思考，能否清晰表达“为什么用减法”的逻辑。

  2.探究记录单评价：小组探究记录单作为过程性评价的重要载体。评价内容包括：计算的准确性、算理表述的清晰度、线段图绘制的合理性。记录单设计包含“我的算法”、“我的道理（画一画或写一写）”、“小组共识”等栏目，旨在记录思维轨迹。

  3.口头表达评价：鼓励学生大胆说出自己的困惑和发现。评价其数学语言的规范性（如准确使用“读数”、“里程”、“相差”等术语）和逻辑的条理性。

  （二）分层作业设计（课后完成）

  ★基础巩固星（必做）：

  1.课本对应练习题：完成教材中与本课内容直接相关的基础练习，侧重于模仿和应用基本模型进行计算。

  2.填空：根据给出的里程表读数序列，计算指定日期的行驶里程。设置一个起始读数明确的情境。

  ★★能力提升星（选做）：

  1.小侦探：提供一份有错误的里程记录和计算结果，请学生找出错误并改正。例如，记录显示周一读数300，周二读数450，周三读数500，计算结果周二里程150，周三里程200。请判断计算是否正确，并说明理由。（考察对“前一天的读数”的准确识别）

  2.小规划师：小明家计划周末自驾去郊游。爸爸查了地图，从家到目的地大约120千米。出发时里程表读数是18760千米。请你预估一下，到达目的地时里程表读数大约是多少？返程回家后呢？如果油耗是每百公里8升，请你估算这次出游大约需要多少油费？（融合了估算、加法、简单的乘除法，体现跨学科综合应用）

  ★★★思维挑战星（挑战）：

  1.逆向思考：李叔叔的货车本周行驶了700千米。已知星期日晚上读数是1200千米，请问上周日晚上读数可能是多少？你能想出几种情况？（答案不唯一，如上周日读数为500千米，则本周行驶1200-500=700千米。此题打破思维定势，理解“行驶里程”是读数差，而非读数本身。）

  2.探究记录：请学生回家后，寻找家中或生活中类似“里程表”的装置（如电表、水表、煤气表），在家长协助下记录两天的读数，计算一天的用量，并尝试分析家庭耗能情况，写一份简单的“数学发现”小报告。（将数学学习延伸至真实生活，培养实践能力与数据分析观念，深刻体会数学的实用价值。）

  四、教学板书设计（预设）

  （板书区域分为左、中、右三部分，随着教学推进动态生成）

  左区：核心问题与情境

  课题：里程表（二）——解决起点非0的问题

  情境：李叔叔的货车里程表（表格简图）

  问题：每天行驶多少？哪一天最多？一周总共？

  中区：探究过程与模型

  （画一个简易线段图示意图）

  出厂…(？)…日晚上…(？)…一晚上…(？)…二晚上…

  （对应标注：起始读数？，星期一里程？，读数135；星期二里程？，读数254）

  关键发现：

  1.读数≠当天里程

  2.找准“当天读数”和“前一天读数”

  核心模型：（用色框突出）

  某天行驶里程=当天晚上读数－前一天晚上读数

  右区：计算示例与拓展

  算式：

  星期一：