小学五年级数学《小数乘法和除法》大单元视域下的“用商的近似值解决实际问题”教学设计

小学五年级数学《小数乘法和除法》大单元视域下的“用商的近似值解决实际问题”教学设计一、整体视域：单元教学解读与设计（一）单元主题解读本课隶属于苏教版小学数学五年级上册第五单元《小数乘法和除法》。在“三会”核心素养导向下，本单元不仅是计算技能的习得，更是学生形成数感、推理意识、模型意识的关键载体【核心素养】。从知识体系的纵向联系来看，本单元建立在学生已掌握的整数四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法的基础之上，是数概念扩充后运算的自然延伸。同时，它也为后续学习分数、百分数的运算及其实际应用奠定坚实的基础，起着承上启下的关键作用。从横向整合来看，本单元内容编排遵循“意义理解—法则掌握—规律探索—实际应用”的逻辑主线。具体到“商的近似值”这一知识块，它由三个课时构成：第一课时（例12）侧重用“四舍五入”法求商的近似值，理解近似值的数学意义；第二课时（例13，即本课）则深入实际情境，让学生遭遇“四舍五入”法的“失灵”，从而产生学习新方法（进一法、去尾法）的内驱力；第三课时则在练习中巩固并对比三种方法的适用条件。因此，本课是连接纯数学计算与现实世界的桥梁，是培养学生根据具体情境进行辩证思考和决策能力的核心环节【重要】。（二）课程标准要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与运算”中明确指出：能进行简单的小数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。在“数量关系”中强调：能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力【热点】。本课的教学正是对上述要求的精准实践，不仅要让学生“会算”，更要引导其“会想”、“会用”，在真实问题解决中理解数学运算的实用性和灵活性。（三）单元大概念与课时定位本单元的大概念在于“运算的一致性”与“模型的建构”。小数除法是通过“转化”为整数除法，再处理小数点位置来完成的。而“商的近似值”则是对除法运算结果的一种现实性处理。本课时（用商的近似值解决实际问题）的核心大概念是：“数的运算结果需要与现实的真实意义相匹配”。它打破了学生之前对“计算结果唯一且精确”的固有认知，揭示了数学与生活交互作用产生的“灵活性”与“辩证性”。学生将在本课中构建一个重要的数学模型：在解决“购物”、“装运”、“制作”等实际问题时，商的近似值的取法不仅取决于计算精度，更取决于问题情境中的“容量限制”（进一）和“材料限制”（去尾）【难点】。二、课时教学设计：《用商的近似值解决实际问题》（进一法、去尾法）（一）教学目标1.【基础】知识与技能：让学生在解决实际问题的具体情境中，理解并掌握根据实际需要采用“去尾法”或“进一法”求商的近似值的方法。能结合具体情境，准确区分何时用“四舍五入”法、何时用“去尾法”、何时用“进一法”。2.【核心】过程与方法：通过自主探究、合作交流、对比辨析，经历从现实情境中抽象出数学问题、探索计算方法、反思结果合理性的全过程，培养分析问题、解决问题的能力以及辩证思维能力【重要】。3.【重要】情感态度与价值观：在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会数学知识的应用价值，增强学好数学的信心。通过对结果合理性的辨析，培养学生严谨求实、具体问题具体分析的科学态度。（二）教学重难点1.教学重点：能根据实际情况，灵活选择“进一法”或“去尾法”解决实际问题，并说明理由。2.教学难点：理解“去尾法”和“进一法”的合理性，能将其与“四舍五入”法进行清晰辨析，构建完整的商的近似值认知模型【难点】【高频考点】。三、教学实施过程（核心环节详案）（一）唤醒经验，制造认知冲突1.复习引入师：同学们，上节课我们学习了用“四舍五入”法求商的近似值。谁能说一说，我们是怎样求商的近似值的？生：要保留几位小数，就要除到它的下一位，再用“四舍五入”法取近似值。师：很好。现在请大家快速计算一道题：爸爸给王鹏买了一筒羽毛球，单价是19.4元，一筒有12个，平均每个羽毛球大约多少钱？（得数保留两位小数）（学生独立计算，19.4÷12≈1.62元，集体订正）2.情境导入，引发冲突师：看来大家掌握得不错。但生活中，是不是所有求近似值的情况都能直接用“四舍五入”法解决呢？今天，我们就跟随小明的脚步，去超市看一看。（出示例13情境图）师：从图中你获得了哪些数学信息？要解决什么问题？生：每个足球45元，小明带了300元，问最多可以买多少个足球？师：这个问题怎么列式？生：300÷45。师：非常熟悉的问题。请大家在练习本上列竖式计算，看看结果是多少。（学生独立计算，教师巡视。预设学生出现两种结果：一种是算出循环小数6.666…，另一种是算出近似数）师：算好了吗？谁来汇报一下你的计算过程和结果？生1：300÷45=6.666…（个），这是一个循环小数。生2：我保留了两位小数，约等于6.67个。生3：我保留了整数，按照“四舍五入”法，十分位是6，应该进一，约等于7个。（教师将不同答案板演在黑板上：6.666…个，≈6.67个，≈7个）师：同一个问题，出现了这么多不同的答案。大家觉得哪个答案是正确的？为什么？请小组内讨论一下。（二）探究新知，建构模型（去尾法）1.辨析讨论，初识“去尾法”（小组内展开激烈讨论，教师参与到小组中，倾听学生的想法）师：哪个小组愿意分享你们的观点？生4：我们组认为不能是7个。因为7个足球需要45×7=315元，315元比300元多，300元不够买7个，所以最多只能买6个。师：说得好！他用了验算的方法，用事实说话。大家听明白了吗？生5：我也同意是6个。虽然用“四舍五入”法看十分位是6，应该进一，但这里“进一”的话钱就不够了，不符合“最多”的意思。师：你的分析非常深刻！结合问题中的“最多”和实际生活经验，我们发现，即使计算出来的商是6.666…，十分位上的“6”大于等于5，我们也不能把它向前一位进一，而是要怎么办？生（齐）：把后面的小数部分直接去掉，只取整数部分6。师：对！这种取近似值的方法，就叫做“去尾法”【核心】。（板书：去尾法）也就是说，不管余下的数是多少，哪怕只差一分钱，也不够再买一个，所以要把小数部分“一刀切”地舍去。那么，这道题完整的解答过程应该是怎样的？（师生共同完成板书：300÷45≈6（个）验算：45×6=270（元），=30（元），剩下的30元不够再买一个，所以最多买6个。答：300元最多可以买6个足球。）2.深化理解，揭示本质师：请大家想一想，这里为什么不能用“四舍五入”法？生：因为“四舍五入”法是在不考虑现实意义的情况下，对数字进行纯数学的处理。而这里要考虑钱够不够的问题，有现实条件的制约。师：总结得太棒了！这就是“去尾法”的本质——它是由现实条件的“不足”造成的。在我们的生活中，还有什么情况会用到“去尾法”呢？请大家举例说明。生6：用布做衣服，如果布不够做一件，就不能算一件。生7：用丝带包装礼盒，丝带不够包装一个，就只能舍去。师：同学们举的例子都非常贴切。这些问题的共同点是什么？生8：都是要“求最多能做多少”，而且最后剩余的部分不够做一个完整的单位，只能舍弃。（三）迁移类推，完善模型（进一法）1.独立探究，尝试解决师：刚才我们用“去尾法”解决了买足球的问题。现在，超市里的另一个问题又来了，请同学们看大屏幕（出示“练一练”第1题改编）：每个油壶可以装3千克油，装40千克油需要准备多少个这样的油壶？师：请同学们独立列式计算，并思考，这个问题应该怎样取商的近似值？为什么？（学生独立计算，教师巡视，选取典型的解法准备展示）师：谁愿意来展示你的计算过程和想法？生9：我的算式是40÷3≈13.333…（个）。如果按照“四舍五入”法保留整数，13.333…的十分位是3，应该舍去，约等于13个。但我通过验算发现，13个油壶只能装13×3=39千克油，还剩1千克油装不下，所以我觉得需要14个油壶。师：你的思路非常清晰！大家同意他的观点吗？生（齐）：同意。师：为什么这一次我们不但不能把小数部分舍去，反而要在整数部分加“1”呢？生10：因为剩下的油虽然不够装满一个油壶，但为了把所有的油都装完，仍然需要一个油壶来装。所以油壶的数量必须比计算出来的整数部分多1。师：你说得太到位了！这种不管余数是多少，只要有余数，就在整数部分加1的取近似值的方法，我们叫它“进一法”【核心】。（板书：进一法）2.对比辨析，建构模型师：请大家对比黑板上的两个问题。第一个问题：300÷45≈6（个）（去尾法）第二个问题：40÷3≈14（个）（进一法）师：为什么同样是求近似值，第一个用“去尾”，第二个用“进一”？它们有什么本质区别？（引导学生小组讨论，然后全班交流）生11：第一个问题是买东西，剩余的钱不够买一个，就不能要那个“一”了，所以要“去尾”。第二个问题是装东西，剩下的油不管多少，都得再用一个壶，所以必须“进一”。师：这个分析非常深刻！“去尾法”解决的是“包含”问题中最后部分“不够成一份”的问题，结果是“最多”能做成多少；而“进一法”解决的是“容器”问题中最后部分“需要额外容器”的问题，结果是“至少”需要多少容器。一个是“取”，一个是“舍”，关键在于我们解决问题的实际需要是什么【难点】。（四）综合练习，灵活运用1.火眼金睛：辨一辨（快速判断下面各题是用“进一法”还是“去尾法”取近似值，并说明理由）（1）王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5米丝带，这些红丝带最多可以包装几个礼盒？（去尾法）（2）仓库里有18.6吨货物，用载重4吨的卡车运，至少要运多少次才能运完？（进一法）（3）有110克盐，每个瓶子最多可装36克，至少需要几个这样的瓶子？（进一法）（4）一块花布长20米，做一套衣服用2.6米，最多能做多少套衣服？（去尾法）（设计意图：通过快速辨析，强化学生对两种方法适用情境的敏感度，建立条件反射。）2.实践应用：选一选【高频考点】（出示题目，学生独立完成，并上台讲解）题目1：幼儿园老师买了50个奶油蛋糕，每8个装一盒，至少要用多少个盒子？列式：50÷8=6.25（个）≈7（个）（进一法）讲解：因为6个盒子只能装48个，还剩2个蛋糕也要装一个盒子，所以需要7个盒子。题目2：做一个奶油蛋糕要用7.5克奶油。50克奶油最多可以做多少个蛋糕？列式：50÷7.5≈6.666…（个）≈6（个）（去尾法）讲解：因为6个蛋糕用45克，剩下5克不够做一个蛋糕，所以最多做6个。题目3：一种电动汽车每行驶8.5千米耗电1千瓦时，行驶100千米大约耗电多少千瓦时？（得数保留整数）列式：100÷8.5≈11.764…（千瓦时）≈12（千瓦时）（四舍五入法）讲解：这道题没有“最多”或“至少”的限制，也没有容器或材料的限制，就是求一个大约的数值，所以用我们最常用的“四舍五入”法就可以了。（设计意图：通过三组对比练习，将“四舍五入”法、“进一法”、“去尾法”置于同一平台进行对比，让学生在应用中构建完整的知识结构，明确三种方法的适用范围。）3.思维拓展：议一议师：看来大家已经能灵活运用这三种方法了。那老师这里有个难题，想请大家帮帮忙。小华用零花钱给灾区小朋友买文具。一种自动铅笔每支2.5元，一种圆珠笔每支1.8元。小华带了20元钱，想买5支圆珠笔，剩下的钱全部买自动铅笔，他最多可以买几支自动铅笔？（这是一个两步计算的综合问题，需要学生先求出剩余的钱，再判断用何种方法求数量）生独立尝试后交流。生12：先算买5支圆珠笔花了1.8×5=9元，剩下209=11元。11÷2.5=4.4（支）。因为买自动铅笔不能拆开卖，不够钱买第5支，所以最多买4支，用“去尾法”。师：分析得非常完整！你不仅会算，更会思考问题的实际意义。（五）课堂总结，内化模型师：同学们，这节课我们学习了用商的近似值解决实际问题。请大家回顾一下，通过今天的学习，你对“求商的近似值”有了哪些新的认识？生13：我知道了求商的近似值不只是“四舍五入”法，还有“进一法”和“去尾法”。生14：我明白了在解决问题时，不能只盯着计算，还要看题目问的是什么，比如“最多”或者“至少”，还要看生活实际，比如钱够不够，东西能不能分开。师：说得很全面！正如同学们所言，数学来源于生活，又服务于生活。当我们用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界时，我们不能忘记，计算结果必须回归到现实中去接受检验，必须具有现实意义【核心素养】。希望大家在今后的学习中，能带着这份“求真务实”的精神，去解决更多有趣的数学问题。四、板书设计用商的近似值解决实际问题（进一法去尾法）情境一：买足球情境二：装油300÷45≈6（个）40÷3≈14（个）↓↓验算：45×6=270（元）验算：3×13=39（千克）剩下30元<45元剩下1千克≠装完不够再买一个还需要一个壶↓↓去尾法