青岛版初中七年级数学上册“有理数的乘法”教案

青岛版初中七年级数学上册“有理数的乘法”教案

一、课程设计的理念与思路

本节课的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，紧密围绕“有理数的乘法”这一核心概念展开。设计理念强调从具体情境中抽象数学本质，通过数学化的过程，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的完整认知路径，实现对有理数乘法法则的意义建构。本设计超越单纯法则记忆，致力于发展学生的符号意识、运算能力和推理能力。通过精心设计的问题链和探究活动，将数轴的直观、实际问题的背景与形式化的运算法则有机结合，促进学生对“负负得正”等关键算理的深度理解，体会数学规定的合理性与一致性。教学过程贯彻“以学生为中心”的原则，通过独立思考、合作探究、交流反思等多种学习方式，培养学生发现问题、提出问题、分析并解决问题的能力，落实数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的培养目标。

二、教学内容与学情分析

（一）教材内容分析

“有理数的乘法”是青岛版初中数学七年级上册第三章“有理数的运算”中的核心内容。它是在学生已经学习了有理数的概念、数轴、绝对值、相反数以及有理数的加法和减法之后，对有理数运算的进一步拓展和深化。从知识结构看，它承上启下：既是有理数加法运算的自然延伸（同为“一级运算”），又是后续学习有理数的除法、乘方以及整个代数式运算、方程求解的基石。教材通常从实际问题引入，利用数轴或具体模型（如水位变化、温度变化、运动方向等）探究规律，归纳出有理数的乘法法则，并重点阐释“符号法则”和“绝对值相乘”的运算步骤。理解并熟练运用乘法法则，特别是理解两个负数相乘结果为正的合理性，是本节课的数学本质所在。

（二）学情分析

七年级学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知特点如下：

1.已有知识基础：学生已经掌握了有理数的基本概念，能够在数轴上表示有理数，理解了绝对值和相反数的意义，并熟练掌握了有理数的加、减法运算。这为学习乘法提供了必要的知识储备。

2.认知经验与困难：学生对正数的乘法（小学算术乘法）有牢固的基础，但对于负数参与乘法运算，特别是“负数×负数”感到陌生和困惑。他们可能会机械记忆“同号得正，异号得负”的口诀，但对这一规则背后的数学逻辑和现实意义缺乏深刻理解，容易在符号确定上出错。同时，将实际问题抽象为乘法算式，以及运用乘法运算律简化计算，对他们而言也存在一定挑战。

3.心理与能力特征：该年龄段学生好奇心强，乐于参与探究活动，具备初步的观察、归纳和表达能力，但思维的严密性和系统性有待加强。他们需要在教师的引导下，经历从具体到抽象、从特殊到一般的完整思维过程，才能实现对新知的意义建构。

基于以上分析，本节课的教学难点在于引导学生理解有理数乘法法则，尤其是“负负得正”的算理。教学策略应侧重于创设丰富、贴切的情境，搭建从直观到抽象的思维阶梯，组织有效的探究活动，让学生在亲身体验中“发现”规则，感悟其合理性。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数的乘法法则。

2.能够熟练地进行有理数的乘法运算，特别是涉及负数的乘法运算。

3.了解有理数乘法与加法的联系与区别，知道有理数乘法仍满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

4.初步学会运用有理数的乘法解决简单的实际问题。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题抽象出数学问题，并探索有理数乘法法则的过程，体会类比、归纳、模型化等数学思想方法。

2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。

3.在运用乘法法则解决问题的过程中，培养运算能力和有条理的表达能力。

（三）情感、态度与价值观

1.通过探究“负负得正”等规律，感受数学规定的合理性、严谨性与和谐美，激发对数学的好奇心与求知欲。

2.在合作交流的活动中，敢于发表自己的见解，倾听并尊重他人的意见，培养团队协作精神。

3.体会数学与现实生活的紧密联系，认识数学的价值。

四、教学重难点

（一）教学重点

有理数乘法法则的推导、理解和运用。

（二）教学难点

1.“负负得正”这一乘法法则的理解与意义建构。

2.有理数乘法法则的归纳过程，以及将法则灵活、准确地应用于复杂情境和运算中。

五、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（包含问题情境动画、数轴动态演示、探究活动指引、分层练习题等）；实物投影仪或智慧黑板；课堂练习反馈系统（如答题器或在线平台）。

2.学生准备：复习有理数的相关概念及加减法运算；准备课堂练习本、作图工具（直尺）；预习教材相关章节，对有理数乘法提出自己的初步疑问。

3.环境准备：教室桌椅布置便于小组讨论与合作探究。

六、教学过程实施

（一）创设情境，问题导学（预计用时：8分钟）

活动一：唤醒经验，提出问题

教师利用多媒体呈现两组现实情境：

情境A（连续变化模型）：一辆汽车在一条东西向的公路上直线行驶。我们规定向东为正，向西为负。若汽车以每小时60千米的速度行驶。

问题1：如果汽车向东行驶3小时，它现在在出发点的哪个方向？距离多远？如何列式表示？

（学生易答：向东，180千米，(+60)×(+3)=+180）

问题2：如果汽车向西行驶3小时呢？

（引导学生列式：(-60)×(+3)=-180）

情境B（相反数模型）：某水库的水位每天下降5厘米。

问题3：如果今天的水位记为0点，那么3天前的水位比现在高还是低？高（或低）多少？如何表示？

（引导学生思考：“下降”记为负，“3天前”是时间回溯，记为负。水位变化：(-5)×(-3)=+15，即比现在高15厘米）

教师提问：观察这些算式，(+60)×(+3)、(-60)×(+3)我们已经能初步解释，那么(-5)×(-3)等于多少？它的结果为什么是正的？有理数的乘法究竟应该如何计算？由此引出课题：“今天，我们就一起来探究有理数的乘法法则。”

设计意图：从学生熟悉的生活和物理情境出发，赋予正负数及乘法运算以实际意义（方向与时间、变化量与时间），既能有效激发学习兴趣，又能为后续探究法则，特别是理解“负负得正”提供直观的现实原型和思考的起点。问题设计层层递进，自然引出认知冲突。

（二）合作探究，建构新知（预计用时：22分钟）

活动二：探究规律，归纳法则

步骤1：探究正数乘正数、负数乘正数、正数乘负数。

教师引导学生回顾情境A中的两个算式，并利用数轴进行动态演示：

1.(+60)×(+3)=+180：表示向东60km/h的速度，经过3小时，向东运动180km。

2.(-60)×(+3)=-180：表示向西60km/h的速度，经过3小时，向西运动180km。

提问：比较这两个算式，因数“+3”不变，另一个因数从“+60”变为“-60”（即符号相反），积发生了什么变化？（积的符号也变为相反，绝对值仍是60×3=180）

追问：如果把速度视为因数a，时间视为因数b，你能发现当b为正数时，积的符号与因数a的符号有什么关系？积的绝对值呢？

（学生归纳：正数乘正数得正，负数乘正数得负，积的绝对值等于各因数绝对值的积）

步骤2：核心探究——负数乘负数。

这是本节课的攻坚环节。教师组织学生进行小组合作探究。

探究任务：

3.观察下列算式的规律，并填空：

(+3)×3=+9

(+3)×2=+6

(+3)×1=+3

(+3)×0=0

(+3)×(-1)=?

(+3)×(-2)=?

（引导学生从“积递减3”的规律推出：(+3)×(-1)=-3，(+3)×(-2)=-6。此过程巩固“正数乘负数为负”）

4.继续观察另一组：

(-3)×3=-9

(-3)×2=-6

(-3)×1=-3

(-3)×0=0

(-3)×(-1)=?

(-3)×(-2)=?

（关键引导：观察第一列因数（-3）不变，第二列因数每次递减1，对应的积每次变化多少？从(-3)×3=-9到(-3)×2=-6，积增加了3；从-6到-3，又增加了3；从-3到0，还是增加了3。那么，按照这个“每次增加3”的规律，0后面应该是什么？）

学生通过规律推测：(-3)×(-1)=0+3=+3，(-3)×(-2)=+3+3=+6。

5.小组讨论：如何解释(-3)×(-1)=+3这个结果的现实意义？可以借鉴课前的水库水位问题或自行创设情境。

（小组分享：例如，水位每天下降3厘米（-3），那么“-1天前”（即昨天）的水位比现在高3厘米（+3）。）

步骤3：归纳与表述法则。

在各小组汇报探究成果的基础上，教师引导学生从符号和绝对值两个维度，完整归纳有理数的乘法法则：

6.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

7.任何数与0相乘，都得0。

教师强调：“同号得正”包含了“正正得正”和“负负得正”两种情况；“异号得负”包含了“正负得负”和“负正得负”。法则的核心是：先确定积的符号，再计算绝对值。

步骤4：理解法则的合理性。

教师进一步阐释：从“运算的延续性”和“现实模型的支撑”两个角度理解法则，特别是“负负得正”。它是为了保持乘法分配律等基本运算律在有理数范围内依然成立而做出的合理且必要的定义。通过动画演示数轴上点的运动或连续变化的过程，深化理解。

设计意图：本环节是突破难点的关键。通过有结构的算式序列，引导学生发现规律，进行合情推理，让“负负得正”成为学生自己“发现”的结论，而非强行灌输的规则。结合现实情境解释，赋予抽象的运算以具体意义。完整的归纳过程锻炼了学生的数学概括和表达能力。

（三）典例精析，巩固内化（预计用时：10分钟）

活动三：应用法则，规范运算

教师出示多层次例题，师生共同分析、解答，强调步骤的规范性。

例1：基础辨识与计算。

计算：(1)(-6)×7；(2)8×(-1.25)；(3)(-2/3)×(-9/4)；(4)(-2019)×0。

（教师板书示范(1)(3)，强调步骤：先判符号，再算绝对值。对于分数乘法，要约分。让学生板演(2)(4)，并点评。）

例2：符号判定与逆向思考。

(1)已知ab>0，则a,b的符号关系是______。

(2)已知ab<0，且a+b>0，则a,b中正数是______。

（引导学生根据乘法符号法则进行推理，并联系加法知识综合判断。）

例3：实际应用。

某冷库现在的温度是0℃。现有一批食品需要冷藏，要求每小时降温5℃。连续运行制冷设备6小时后，冷库温度将达到多少度？

（引导学生分析：“降温5℃”可记为-5℃/h，“6小时后”时间为+6h。列式：(-5)×6=-30，答：达到-30℃。）

设计意图：通过由易到难、类型丰富的例题，使学生及时巩固乘法法则。例1侧重运算的规范操作；例2深化对符号法则的理解，培养逆向思维和推理能力；例3回归实际问题，体现数学应用价值。讲练结合，注重反馈。

（四）变式拓展，深化理解（预计用时：12分钟）

活动四：探究运算律，提升思维

教师提出新问题：在小学，我们学过乘法的交换律、结合律和分配律。这些运算律在有理数的乘法中还成立吗？

探究活动：学生分组，任选几组有理数，通过具体计算验证：

交换律：a×b=b×a

结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

（例如，验证：(-4)×5与5×(-4)；[(-3)×2]×(-5)与(-3)×[2×(-5)]；(-2)×[(-3)+4]与(-2)×(-3)+(-2)×4）

各组汇报验证结果，得出结论：有理数乘法同样满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。

应用提升：运用运算律简化计算。

计算：(1)(-8)×(-5/12)×(-1.25)×(2/5)（提示：结合交换律，将易约分的数结合）

(2)(-36)×(7/9-5/6+3/4)（提示：使用分配律）

教师引导学生观察算式特点，灵活选择运算律，使计算简便。

设计意图：将运算律的验证作为探究活动，让学生亲身经历从具体实例归纳一般性质的过程，深化对有理数乘法运算整体结构的认识。应用提升环节培养学生观察算式特征、灵活运用运算律进行简便运算的能力，提升运算素养，为后续学习打下坚实基础。

（五）分层练习，诊断评价（预计用时：13分钟）

活动五：巩固训练，当堂反馈

教师通过多媒体或导学案，发布分层练习题，学生独立完成。教师巡视指导，关注学困生的掌握情况，收集典型错误。

A组（基础达标，全体必做）：

1.口答积的符号：(-7)×(+8)；(+1.5)×(-6)；(-0.2)×(-10)；(+100)×(-1)。

2.计算：

(1)(-12)×13

(2)(-15/4)×(-8/5)

(3)(-2.5)×(+4/15)×(-8)

(4)(-1)×(-2.5)×0×(+9)

3.高度每增加1千米，气温大约下降6℃。已知地面气温是20℃，那么5千米高空的气温大约是多少？

B组（能力提升，学有余力选做）：

4.用简便方法计算：(-8)×(-12)×(-0.125)×(-1/3)×(-0.1)。

5.已知|a|=5，|b|=2，且ab<0，求a+b的值。

6.设计一个实际问题情境，使其可以用算式(-4)×(-2.5)=+10来表示。

课堂反馈与讲评：利用实物投影或随机点名方式展示学生解答，重点关注步骤规范性、符号处理、运算律运用以及A组第3题、B组题的分析思路。针对典型错误（如符号判断错误、绝对值相乘出错、分配律使用不当等）进行集中剖析和纠正。

设计意图：分层练习设计尊重学生个体差异，使不同层次的学生都能获得成功的体验和有效的发展。A组题紧扣基础知识和基本技能，确保全体学生达标；B组题涉及综合运用、逆向思维和数学建模，挑战学有余力学生的思维。当堂反馈与讲评能及时诊断学情，解决困惑，强化正确认知。

（六）课堂小结，反思升华（预计用时：3分钟）

活动六：梳理脉络，构建体系

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行自主小结：

1.本节课我们学习了什么核心知识？（有理数的乘法法则：先定号，再算绝对值；以及乘法运算律在有理数范围依然适用。）

2.我们是怎样得到这些知识的？（经历了从实际情境抽象—观察特例—发现规律—归纳法则—验证推广的过程。）

3.在学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法？（模型思想、分类讨论思想、从特殊到一般的归纳思想、类比思想等。）

4.你还有哪些疑惑或新的想法？

教师进行总结性陈述，强调有理数乘法在数与代数知识体系中的重要地位，并预告下节课将学习有理数的除法，鼓励学生思考乘除法之间的联系。

设计意图：引导学生自主回顾学习历程，梳理知识脉络，提炼思想方法，实现认知的结构化。通过反思，将新知识融入已有的认知体系，并明确后续学习方向，保持学习的连贯性。

（七）布置作业，延伸拓展（预计用时：2分钟）

1.必做题：教材课后练习中对应“有理数的乘法”的基础练习题。要求步骤完整，书写规范。

2.选做题/探究题：

(1)查阅资料或自主思考：除了课堂上提到的几种模型，还能如何解释“负负得正”？写一篇简短的小报告。

(2)计算：1×(-1)×1×(-1)×…×(-1)（共2023个因数相乘）。你能找出快速判断结果符号的方法吗？

(3)联系生活，举出两个可以用有理数乘法解决的实际问题，并列出算式。

3.预习作业：预习“有理数的除法”一节，思考除法与乘法有何关系？尝试根据乘法的逆运算，推导有理数的除法法则。

设计意图：作业设计体现巩固性、拓展性和前瞻性。必做题夯实基础；选做题满足不同兴趣和层次学生的需求，鼓励深入探究和联系实际；预习作业建立知识联系，培养学生自主学习的能力。

七、板书设计

（左侧主板）

有理数的乘法

一、法则探究

情境：速度×时间，变化量×时间…

算式观察：

(+3)×3=+9(-3)×3=-9

(+3)×2=+6(-3)×2=-6

(+3)×1=+3(-3)×1=-3

(+3)×0=0(-3)×0=0

(+3)×(-1)=-3→(-3)×(-1)=+3

(+3)×(-2)=-6→(-3)×(-2)=+6

发现规律：积的符号…积的绝对值…

（中间主板）

二、乘法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.任何数与0相乘，都得0。

步骤：一判符号，二算绝对值。

三、运