高中数学圆锥曲线二级结论及相关练习（含答案解析）

专题03圆锥曲线中常考二级结论应用（题型突破·举一反三）题型01焦点三角形面积公式的应用题型02圆锥曲线的通径的问题题型03中点弦公式(点差法)题型04圆锥曲线的第三定义题型05焦比公式题型06焦半径公式题型07圆锥曲线中内切圆的问题题型08抛物线焦点弦的性质▌题型01焦点三角形面积公式的应用一、椭圆焦点三角形面积公式结论设椭圆标准方程为（），其中： 两个焦点为、（焦距，且满足）； 椭圆上任意一点为，则称为焦点三角形，记.焦点三角形面积有两个核心公式：1.角度式：；2.坐标式：.二、双曲线焦点三角形面积公式结论双曲线（），焦点、（），，则：【典例1】（2026·浙江·二模）已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程.【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，

于是的面积为，取，代入，可得，则直线轴，且，设的角平分线交轴于点，则，又，则得，故，则直线的斜率为，其方程为，即.【变式1-1】（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______．【答案】【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解.【详解】椭圆的方程为，.，，.又，得.在中，由余弦定理得：，..故答案为：【变式1-2】（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长.【详解】因为双曲线，则，所以.因为点在双曲线右支上，所以.令，则，又因为，，所以由余弦定理得，即，即，因为，解得，即，所以，则的周长为.【变式1-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______.【答案】48【分析】根据所给条件结合双曲线的定义求出.方法一：过点作的垂线交于，求出的高，即可求出三角形的面积；方法二：在中运用余弦定理求得，求得，进而求出三角形的面积；方法三：根据海伦公式求三角形的面积.【详解】由可得，，，，，方法一：过点作的垂线交于，则，，所以的面积为.方法二：在中，.因为，所以，所以.方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得.▌题型02圆锥曲线的通径的问题椭圆、双曲线通径公式结论抛物线通径公式结论（通径长，抛物线的最短焦点弦）【典例2】（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）通常把过椭圆的焦点且与过焦点的长轴垂直的弦称为椭圆的通径.已知椭圆的通径长为6，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先得出椭圆的焦点在轴上，根据椭圆通径的长为以及椭圆离心率的公式即可求解.【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，所以，，，因为椭圆的通径长为6，所以，即，解得，故椭圆的离心率.故选：C【变式2-1】（2026·天津北辰·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点.若是虚轴长的倍，则该双曲线的一条渐近线为___________；若，分别交轴于，两点，且的周长为8，则的最大值为___________.【答案】（或）【分析】由题意可知：.若是虚轴长的倍，列式整理可得，即可得渐近线方程；若的周长为8，分析可知，结合定义整理可得，代入结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：，且该双曲线的焦点在x轴上，若是虚轴长的倍，则，即，所以该双曲线的一条渐近线为（或）；由题意可知：∥，且为线段的中点，可知分别为，的中点，则，可得，结合对称性可知，又因为点A在双曲线上，则，即，可得，整理可得，解得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：（或）；.【变式2-2】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）（多选）已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（

）A．若，则B．若，直线与抛物线的另一个交点为，则C．若，则D．【答案】AB【分析】根据焦半径公式计算得出判断A，联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B，应用焦半径性质计算判断C，应用焦点弦计算判断D.【详解】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确；当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为，联立整理得，所以，，所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确；设，所以，解得，所以，故选项C错误；对于抛物线，所以，又，所以，当为通径时取等号，故选项D错误，故选：AB.【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率．【详解】椭圆的左、右焦点分别为，，，，，，，故轴，是椭圆的通径，即，，，故，，解得，即，．▌题型03中点弦公式(点差法)椭圆中点弦斜率：结论类型焦点在x轴椭圆焦点在y轴椭圆原始定义（长轴端点）过原点弦中点弦（中点）双曲线中点弦斜率：弦中点，则抛物线点差法结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率【典例3】（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________.【答案】【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围.【详解】设点，，点，，，，，的中点为，，相减得，，的中点在椭圆内，所以，化简得，则，令，因为，函数单调递增，所以，.【变式3-1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知椭圆：，斜率为2的直线与椭圆相交于，，的中点坐标为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出，的坐标，利用点差法及直线斜率、中点，得到与的关系，结合得到与的关系，代入离心率公式求解即可.【详解】设，，则，，.因为点，在椭圆上，所以，.所以，所以，即.又，所以.又椭圆的离心率，所以.【变式3-2】（25-26高三上·福建·开学考试）（多选）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为）．若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（

）A． B．C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D．【答案】ACD【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断是否等于可判断选项正误；D由，计算，，可判断选项正误.【详解】对于A，由题得离心率，故A正确；对于B，设，，则点，则，，两式作差得，则，故B不正确；对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率，所以，所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确；对于D，，，由C选项可知有，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【变式3-3】（2026·新疆·一模）在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________．【答案】【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程.【详解】由双曲线的方程可知,设，则，两式相减可得，即，所以，因为直线的斜率为，所以,所以，直线的方程为，即，经检验符合题意.故答案为：▌题型04圆锥曲线的第三定义一、椭圆第三定义及结论平面内，若动点与椭圆上原点对称端点、连线的斜率乘积为定值，则动点的轨迹为椭圆（除去、）。 椭圆类型长轴端点坐标斜率乘积定值焦点在x轴、焦点在y轴、二、双曲线第三定义及结论第三定义：A、B关于原点对称，在双曲线上（异于A、B），则【典例4】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程，得，，又，，又，，，，故B选项正确.【变式4-1】（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）设出点的坐标，利用对称性写出的坐标，再根据斜率公式表示出与，将已知斜率之积代入并化简，即可得到轨迹的方程.（2）设，依次写出、的坐标，设，由得出正切关系式，结合椭圆方程消去，解出，从而判断存在点.【详解】（1）设()，则.直线的斜率，直线的斜率.由，得，即.整理得，即，故(，即).所以的方程为().（2）设()在上，则.点与关于轴对称，故.直线的方程为，令，得，所以.直线的方程为，令，得，所以.设，如图所示：，.由，得，即.由，得.代入得，即.因为，所以，即.故存在点，坐标为或.【变式4-2】（25-26高二上·贵州安顺·期末）已知，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4．(1)求点的轨迹的方程．(2)过点能否作一条直线与轨迹交于，两点，且是线段的中点？若能，求出直线的方程；若不能，说明理由．【答案】(1)(2)不能，理由：假设存在符合题设的直线，设，则，两式相减整理得．又因为为线段的中点，所以，，所以直线的斜率．由点斜式方程可知，直线的方程为，即．由消去，整理得，（*）判别式，所以方程（*）无解，故直线与轨迹无交点，因此假设不成立，故过点不能作直线，使得与交于，两点，且是线段的中点．【分析】（1）设点，由两直线斜率之积化简求解方程；（2）假设存在符合题设的直线，由点差法求出直线斜率，验证可知直线不存在.【详解】（1）设点，则直线的斜率，直线的斜率，由题意知，即，化简整理得，所以点的轨迹的方程为．（2）略【变式4-3】（25-26高二上·安徽·期中）设两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线，的斜率之积是2.(1)求动点的轨迹方程；(2)直线与曲线交于两点，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）设，将用坐标表示，化简可得点的轨迹方程；（2）联立直线与曲线，通过韦达定理以及弦长公式即可求解的值.【详解】（1）设动点的坐标为，已知.直线的斜率，直线的斜率，由题意，，即，化简可得，；

（2）设，联立得，由韦达定理得，根据弦长公式,∴综上所述，弦的长为▌题型05焦比公式一、椭圆焦比公式焦比定义：（）离心率表达式：二、双曲线焦比公式设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足焦比（，），，则离心率【典例5】（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是__________.【答案】【分析】依题意，设，因为，则有，直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理得到，从而得到离心率.【详解】设，因为，所以，所以.联立整理得，则，，从而，整理得，故，故答案为：.【变式5-1】（25-26高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________．【答案】/【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得.【详解】

如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故，且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形，则可得点的坐标为，代入，整理得：，因，代入整理得：，即，解得，因，故.故答案为：.【变式5-2】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，点关于原点的对称点为，，且，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，分析出四边形为矩形，设，利用勾股定理可得出，然后在中利用勾股定理可求得双曲线的离心率的值.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，因为、的中点都为，且，故四边形为矩形，设，则，，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，由勾股定理可得，所以，，即，因此，双曲线的离心率为.故答案为：.【变式5-3】（25-26高二上·湖南郴州·期末）已知过抛物线的焦点F，斜率为的直线交抛物线于两点，且，则__________；若直线与抛物线C相交于两点，满足，则__________.【答案】2【解析】（1）联立方程后，采用焦点弦长公式写出弦长，得到关于的等式（2）同样联立方程，用焦半径公式表示等式，建立等式计算即可【详解】（1）设联立方程可得则得（2）联立可得设，由得即则，故答案为：（1）

（2）【点睛】焦半径公式如下：抛物线的焦点为F，为抛物线上的一点，则.▌题型06焦半径公式一、椭圆有关的焦半径公式焦半径定义：椭圆上任意一点到其中一个焦点的距离称为焦半径。以下分两种椭圆标准形式给出公式，其中，，离心率（）.（一）焦点在x轴上的椭圆（标准方程：） 左焦点对应的焦半径：； 右焦点对应的焦半径：.（二）焦点在y轴上的椭圆（标准方程：） 上焦点对应的焦半径：； 下焦点对应的焦半径：.设椭圆标准方程为（），焦点为、，，离心率.过右焦点的直线倾斜角为（），与椭圆交于（近焦点侧）、（远焦点侧）两点，则：1.焦半径公式： 近焦点侧：； 远焦点侧：；2.焦点弦长公式： 二、双曲线有关的焦半径公式1.焦半径（区分支）：右支（）：，左支（）：，过右焦点的直线倾斜角为，交双曲线于A、B1.与两支相交（）：2.与右支相交（）：过右焦点的直线交右支于A、B，则【典例6】（2027高二·全国·专题练习）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（

）A． B． C． D．与弦的斜率有关【答案】B【分析】法一：当直线的斜率不存在时，可得，即可得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关的韦达定理，再表示出、后，结合所得韦达定理计算即可得.法二：利用焦长公式计算即可得.【详解】法一：令，设，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得，则，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，整理得：，方程的判别式，所以，，设椭圆的离心率为，则，同理，所以，综上，；法二：由椭圆对称性，不妨设焦点为左焦点，设，则，；故．【变式6-1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆C:x29+y2b2=1的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________．【答案】或【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解.【详解】由椭圆，可得，则右顶点，设右焦点为，则，离心率为，设点在椭圆上，可得，则，又由直线和的斜率分别为，因为直线和的斜率之积为，可得，将代入上式，可得，整理得，即，即，所以，因为，由椭圆的焦半径公式，可得，又因为，可得，即，解得或，所以椭圆的离心率为或.【变式6-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为______．【答案】4【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断.【详解】设点，则．由焦半径公式得，故．∵，∴，即．又∵，解得，∴满足条件的点有4个．故答案为：【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．的最小值为4C．D．若，则内切圆的周长为【答案】BCD【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C；用三角形面积与内切圆公式计算选项D.【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则.选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以，且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误；选项B，由双曲线的定义可知，，所以，因为轴于点，则，且，当且仅当时取等，所以，所以B正确；选项C，因为，又渐近线的斜率为，所以，所以，所以C正确；选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积，又，，则，而，则，所以内切圆的周长为，所以D正确.故选：BCD.▌题型07圆锥曲线中内切圆的问题圆锥曲线中内切圆结论1.内心定义：的内心是三条内角平分线的交点，也是内切圆圆心，满足： 到三边距离相等（即内切圆半径）； 坐标公式：任意三角形内心坐标为，其中为三角形三边长度（对应顶点对边），为顶点坐标.【典例7】（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________.【答案】【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点，由椭圆定义可知，，又，，，，，得，，，所以，，，，由余弦定理得，即，化简得.【变式7-1】（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（

）A．点的横坐标为 B．的周长为C．小于 D．的内切圆半径为【答案】ABCD【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标；B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径.【详解】由双曲线得，，，焦点，，焦距.A.设，由面积公式：,即，得，将代入双曲线方程：，得，因在右支，，故，所以A正确；B.由，.所以的周长是，所以B正确；C.由余弦定理：,因余弦函数在单调递减，故，所以C正确；D.设的内切圆半径为，则，所以，所以D正确.【变式7-2】（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______.【答案】【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解.【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间，所以均在双曲线的右支上，如图：所以,设，则，在中，由余弦定理得，即，展开并化简得.因为，所以，所以.设的内切圆半径为r，则，由等面积法可得，解得.【变式7-3】（25-26高二上·云南昆明·期末）（多选）已知椭圆的左右焦点分别为，是上一点（为坐标原点），则以下说法正确的是（

）A．的周长为B．存在点使得C．若是直线被所截得线段的中点，则直线的方程为D．若，则的内切圆半径为【答案】AC【分析】由椭圆方程可求得，进而可求的周长判断A；求得的最小值可判断B；利用点差法求得直线的方程判断C；利用面积法求得内切圆的半径判断D.【详解】对于A，由椭圆，可得，所以，所以的周长为，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，又，所以的最大值为，故不存在点使得对于C，显然直线的斜率存在，设，则，所以，所以，所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确；对于D，因为，由B选项得，所以，解得，所以，设的内切圆半径为，所以，所以，解得，故D错误.故选：AC.▌题型08抛物线焦点弦的性质结论1：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式焦半径公式设抛物线上任意一点，则点到焦点的距离（焦半径）为结论2：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式焦半径公式焦点弦长公式结论3：与焦半径有关的定值的公式核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值.核心结论：过焦点的焦点弦，则为定值.结论4：与倾斜角有关的面积定值公式设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则的面积推论：当时，取得最小值.结论5：过焦点直线中四个相切圆设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，为原点，为在准线上的投影，则以下四个圆两两相切：1.以为圆心，为半径的圆；2.以为圆心，为半径的圆；3.以为圆心，为半径的圆；4.以为圆心，为半径的圆.结论6：抛物线中的中点弦问题点差法核心结论：设抛物线的弦的中点为（），则直线的斜率【典例8】（2026·安徽·模拟