二次函数基础练习题

二次函数基础练习题一、表达式与解析式求解1.已知二次函数的图像经过点(0,3)，(1,4)，(2,7)，求该二次函数的解析式。2.若二次函数的顶点坐标为(1,-2)，且经过点(2,1)，试确定其解析式。3.二次函数图像的对称轴为直线x=-1，且与x轴交于点(2,0)，若其开口向上，求满足条件的一个二次函数解析式（只需写出一个即可）。4.已知二次函数f(x)满足f(0)=3，f(1)=f(3)=0，求f(x)的表达式。5.若抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，且与y轴交于点(0,-3)，求此抛物线的解析式。二、图像与性质分析6.二次函数y=2x²-4x+3的图像开口方向如何？其顶点坐标和对称轴分别是什么？7.函数y=-x²+6x-5有最大值还是最小值？求出这个最值，并指出此时x的值。8.不画图像，试判断二次函数y=3x²-2x+1的图像与x轴是否有交点？请说明理由。9.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示（此处省略图像，假设图像开口向下，对称轴为x=1，与x轴交于(0,0)和(2,0)），试判断a、b、c及判别式Δ=b²-4ac的符号。10.对于二次函数y=x²-2mx+m²+1（m为常数），求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点。三、综合应用与拓展11.已知二次函数y=x²-4x+3。(1)求它的图像与x轴、y轴的交点坐标；(2)当x取何值时，y>0？当x取何值时，y随x的增大而减小？12.一个长方形的周长为20cm，若设其一边长为xcm，面积为ycm²，试写出y与x之间的函数关系式，并求出该函数的最大值。13.二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(-1,0)，(3,0)，且与y轴交于点(0,3)。(1)求此二次函数的解析式；(2)指出当x为何值时，y随x的增大而增大。---参考答案与解析一、表达式与解析式求解1.答案：y=x²+0x+3或y=x²+3解析：设一般式y=ax²+bx+c，将三点坐标代入得方程组：c=3；a+b+c=4；4a+2b+c=7。解得a=1,b=0,c=3。2.答案：y=3(x-1)²-2(或展开为y=3x²-6x+1)解析：设顶点式y=a(x-1)²-2，代入点(2,1)得a(2-1)²-2=1，解得a=3。3.答案：例如y=(x+1)²或y=x²+2x+1(答案不唯一)解析：对称轴为x=-1，可设顶点式y=a(x+1)²+k(a>0)，取a=1,k=0即可。4.答案：f(x)=-x²+4x-3解析：由f(1)=f(3)=0可知对称轴为x=2，可设交点式f(x)=a(x-1)(x-3)，代入f(0)=3得a(-1)(-3)=3，解得a=1？待查：f(0)=a(-1)(-3)=3a=3→a=1。则f(x)=(x-1)(x-3)=x²-4x+3。哦，之前答案写错了，应为f(x)=x²-4x+3。5.答案：y=x²-2x-3解析：设交点式y=a(x+1)(x-3)，代入(0,-3)得a(1)(-3)=-3，解得a=1。展开得y=x²-2x-3。二、图像与性质分析6.答案：开口向上；顶点(1,1)；对称轴x=1。解析：a=2>0开口向上。顶点横坐标x=-b/(2a)=4/(4)=1，代入得y=2(1)^2-4(1)+3=1。7.答案：最大值为4，此时x=3。解析：a=-1<0，有最大值。x=-b/(2a)=-6/(2*(-1))=3，代入得y=-(9)+18-5=4。8.答案：没有交点。解析：Δ=(-2)^2-4*3*1=4-12=-8<0，故与x轴无交点。9.答案：a<0,b>0(对称轴x=-b/(2a)=1→-b=2a→b=-2a，a<0则b>0),c=0(过原点),Δ=0(与x轴有两个相同交点？题目说交于(0,0)和(2,0)，是两个不同交点，故Δ>0)。修正：因为图像与x轴交于(0,0)和(2,0)两个不同点，所以Δ=b²-4ac>0。c=0（过原点）。10.证明：Δ=(-2m)^2-4*1*(m²+1)=4m²-4m²-4=-4<0。故不论m为何值，图像与x轴无公共点。三、综合应用与拓展11.(1)答案：与x轴交于(1,0)，(3,0)；与y轴交于(0,3)。解析：令y=0，x²-4x+3=0→x=1或3。令x=0，y=3。(2)答案：x<1或x>3时，y>0；x<2时，y随x增大而减小。解析：开口向上，对称轴x=2。12.答案：y=-x²+10x(0<x<10)，最大值为25cm²。解析：另一边长为(20/2-x)=10-x。面积y=x(10-x)=-x²+10x。当x=5时，y_max=25。13.(1)答案：y=-x²+2x+3解析：设交点式y=a(x+1)(x-3)，代入(0,3)得a(1)(-3)=3→a=-1。展开得y=-x²+2x+3。(2)答案：x<1时，y随x增大而增大。解析：对称轴x=-b/(2a)=-2/