2026年高三上学期数学秋季开学摸底考(广东专用)

年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（

）A．2 B．3 C．5 D．72．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（

）A．B．C． D．5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C． D．6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（

）A．9 B． C． D．7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（

）A． B．2 C．4 D．8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（

）A．三棱锥的体积随的运动而变化B．平面C．D．平面平面10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（

）A． B．C．的周长可以为14 D．当时，11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（

）A． B．C．的周长为 D．的面积为3第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12．若函数的图象在点处的切线过点，则．13．已知数列满足，，则其通项公式为.14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率，第次传球后球在丙手里的概率.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：樱花迷非樱花迷男5m5女402m(1)求的值；(2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.附：参考公式：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前n项和.17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．(1)若平面与直线交于点，求的值；(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．(1)求椭圆E的方程；(2)求四边形的面积的最大值．19．（17分）若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”．(1)分别判断，是否为定义域上的“非负函数”，并说明理由．(2)已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围．(3)设，且，证明：．2026年秋季高三开学摸底考试模拟卷（广东专用）数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（

）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】C【详解】，则.故选：C2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于不等式，解得或，即集合或.已知，在集合中满足的元素有，，，所以.故选：A.3．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】双曲线的离心率为，可得，即，可得，由题意得双曲线的渐近线方程为，即为，即为故选：A.4．已知奇函数的图象的一条对称轴为直线，那么的解析式可以为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对于A，函数的定义域为，因为，所以为奇函数，因为，所以是的图象的一条对称轴，故A符合题意；对于B，函数的定义域为，因为，所以函数不是奇函数，故B不符题意；对于C，函数的定义域为，因为，所以函数不是奇函数，故C不符题意；对于D，函数的图象不是轴对称图形，故D不符题意.故选：A.5．若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，结合题意作出的大致图象，如图所示，由图可知，不等式的解集为.故选：B.6．如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（

）A．9 B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得质点P位移为，所以因为，，所以，设的夹角为，所以，因为所以，所以.故选：D7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】B【详解】由可得，故圆心，半径，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，因为所以点在圆内，由圆的性质可得当时，最小，周长最小，又，所以，此时，即直线，所以圆心到直线的距离，所以，所以，故选：B8．已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，由图知，且，由，得，即，故，由，则，由，则，所以，且在上单调递增，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的是（

）A．三棱锥的体积随的运动而变化B．平面C．D．平面平面【答案】BD【详解】A选项，因为，平面，而平面，所以平面，故上任意一点到平面的距离均相等，的面积为定值，则三棱锥的体积不变，故A错误；B选项，由正方体的性质可得且，又平面，都不在平面内，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故B正确；C选项，当与重合时，，所以为等边三角形，则与的所成角为，所以不成立，C选项错误；D选项，因为平面，平面，故，又因为，平面，所以平面，平面，故，因为平面，平面，，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故D正确.故选：BD.10．已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，又是抛物线过焦点的另一动弦，则以下结论正确的是（

）

A． B．C．的周长可以为14 D．当时，【答案】AC【详解】对于A，如图，

分别过，，作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，，由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为，又，∴，解得，故A正确；对于B，设直线的方程为，，，又抛物线：，由可得，则，，，（当且仅当时等号成立），故B错误；对于C，∵，，∴，设的周长为，如图：

过点向抛物线准线作垂线，垂足为，则，周长的最小值为，故C正确；对于D，如图：

∵，∴，∵，则，解得或（舍），∴，∴，故D错误.故选：AC11．记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（

）A． B．C．的周长为 D．的面积为3【答案】AB【详解】对A，已知，由正弦定理得到，因为，代入上式可得：，，因为，所以，得到，则，故选项A正确.对B，由，且，因为，，所以，可得，.已知，由正弦定理得，则，.，因为，所以.设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确.对C，因为，，，根据勾股定理，的周长为，故选项C错误.对D，的面积，故选项D错误.故选：AB.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12．若函数的图象在点处的切线过点，则．【答案】【详解】因为，所以，则，又，所以切线方程为：，因为切线方程经过点，所以，解得．故答案为：13．已知数列满足，，则其通项公式为.【答案】【详解】不妨设，则，由，经检验当时满足，故，解得，即数列的通项公式为.故答案为：.14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率，第次传球后球在丙手里的概率.【答案】/【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为，且，，即，又，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，则，故，当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为，且，，即，又，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，易得，则.故答案为：，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：樱花迷非樱花迷男5m5女402m(1)求的值；(2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望.附：参考公式：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【详解】（1）由题意可得，解得； 1分（2）零假设：“樱花迷”与性别无关联，根据列联表中的数据，经计算得到：， 3分根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即“樱花迷”与性别无关联； 5分（3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人，故的可能取值为0，1，2，则， 7分所以的分布列为012 11分故. 13分16．（15分）已知数列满足，，且对任意的，，都有.(1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式；(2)求数列的通项公式；(3)若，求的前n项和.【详解】（1）由有，所以，又，，解得，又因为，即， 3分所以数列是以公差为3，首项为的等差数列，所以， 6分（2）由（1）有，所以， 8分上式相加有，所以，所以； 10分（3）由（2）有，所以， 12分所以，所以. 15分17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点．(1)若平面与直线交于点，求的值；(2)若平面和平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．【详解】（1）在平面内作，因为平面，平面，平面，所以， 2分所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，，，，，，，，又，分别为，的中点，，，设，，，，共面，存在实数，，使得， 4分即，所以，解得，所以； 7分（2）设平面的法向量为，，解得，令得，， 9分又，，设平面的法向量为，，解得，令得，， 11分设平面和平面所成的角为，，整理得，，， 13分，，故点到平面的距离为． 15分18．（17分）已知椭圆E：（）的左、右顶点为，，焦距为．O为坐标原点，分别过椭圆的左、右焦点，作两条平行直线，与E在x轴上方的曲线分别交于点P，Q．(1)求椭圆E的方程；(2)求四边形的面积的最大值．【详解】（1）由已