2025-2026学年陕西省西安市鄠邑区第四中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年陕西省西安市鄠邑区第四中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为(

)A.23 B.14 C.342.(1−3i)2A.−8+6i B.−8−6i C.8+6i D.8−6i3.已知向量a,b满足|a+b|=1，A.12 B.13 C.−14.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为边AD的中点，若AB=a,AC=b，则EBA.14a−34b B.35.已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是(

)A.若m⊥l，n⊥l，则m//n

B.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C.若m⊥α，m//n，则n⊥α

D.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n6.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为60°和30°，则B、C两点的距离为(

)A.1003m

B.100(3−1)m7.某校高二年级16个班参加朗诵比赛的得分如下：

85 86 87 88 89 90 91 91 92 93 93 94 95 97 99 100

则这组数据的下四分位数为(

)A.88 B.88.5 C.89 D.90.58.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为32π3，则正四面体的棱长为(

)A.22 B.463 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=2i2+i，以下说法正确的是(

)A.复数z的虚部是45i B.|z|=1

C.复数z的共轭复数是z−=210.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是(

)A.两人都命中的概率为0.56 B.恰好有一人命中的概率为0.36

C.两人都没有命中的概率为0.6 D.至少有一人命中的概率为0.9411.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是(

)

A.异面直线AC与BC1所成的角为60°

B.直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°

C.二面角A−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，若sinAcosB=1一cosAsinB，则这个三角形是

三角形．13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10.则1a+1b的最小值为

14.在正三棱锥P−ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC/​/平面PDE；

③AB⊥平面PDE．

其中正确的个数是

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,2),b=(−3,4)．

(1)求|3a−b|的值；

16.(本小题15分)

周口市举行“高一年级π节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．

(2)按照分层抽样从[60,70)和[70,80)两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在[60,70)内的概率．17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=(a,c−b),b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，且a/​/b．

(1)求角C；

(2)若c=318.(本小题17分)

某项选拔共有四轮考核．每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．

(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率．

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为32，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】CD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】直角

13.【答案】1514.【答案】2

15.【答案】解：(1)3a−b=(6,2)，

∴|3a−b|=36+4=216.【答案】a=0.020，众数为85，平均成绩为77.5

71017.【答案】解：(1)∵a/​/b，a=(a,c−b)，b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，

∴a(sinA+sinB)=(c−b)(sinC+sinB)，

∴由正弦定理得a(a−b)=(c−b)(c+b)，

即a2+b2−c2=−ab，

由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=−12，

又C∈(0,π)，

则C=23π；

18.【答案】解：(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i=1,2,3,4)，

则P(A1)=45，P(A2)=35，P(A3)=25，P(A4)=15，

∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率19.【答案】证明：(1)在△PAD中，PA=AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD，

因为平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，

因为AE⊂平面PAD，所以AE⊥CD，

因为CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，PD∩CD=D，

所以AE⊥平面PCD；

解：(2)取AD的中点M，连接PM，MC，

在△PAD中，PA=PD=2，所以PM⊥AD,PM=3，

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

PM⊂平面PAD，所以PM⊥平面ABCD，

所以∠PCM为直线PC与平面ABCD所成的角，

在Rt△PMC中，tan∠PCM=PMMC=32，

所以MC=2，

在Rt△MCD中，MD=1，

所以DC=22−12=3